高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品综合训练题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.己知向量e1，e2不共线，向量m=λe1+e2，n=e1+λe2且m//n，则λ的值为
( )
A. 1B. −1C. ±1D. 2
2.在▵ABC中，|AB|=1，|AC|=2，|AB+AC|=|BC|，则AC在BC上的投影向量是( )
A. −45BCB. − 55BCC. 55BCD. 45BC
3.如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=( )
A. 1115a−815bB. 23a−815bC. −1115a+815bD. −23a+815b
4.在正△ABC中，向量AB在CA上的投影向量为
( )
A. 12CAB. −12CAC. 32CAD. − 32CA
5.若a=3，b=4，a与b的夹角为150​∘，则a⋅b等于
( )
A. −3 2B. −6 2C. −6 3D. 6 2
6.若四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E,F分别为BC,CD的中点，则AE⋅EF=．( )
A. −12B. 12C. −32D. 32
7.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1，若点E为边CD上的动点，则AE⋅BE的最小值为
( )
A. 2116B. 32C. 2516D. 3
8.如图，在ΔABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，若AB⋅AC=4，则AP的最小值为( )
A. 2B. 4C. 2 63D. 83
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b的夹角为π6，|a|=3，|b|=1，t∈R，则
( )
A. b在a方向上的投影向量的模为 32
B. a+ 3b在a方向上的投影向量的模为 32
C. ta+b的最小值为14
D. ta+b取得最小值时，a⊥(ta+b)
10.下列四式可以化简为PQ的是
( )
A. AB+(PA+BQ)B. (AB+PC)+(BA−QC)
C. QC+CQ−QPD. PA+AB−BQ
11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB//CD，AB=2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是
( )
A. AC=AD+12ABB. CM=12CA+12CB
C. MN=AD+14ABD. BC=AD+12AB
12.如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE=2DE，则下列结论中正确的有( )
A. AB=DC
B. AD+AB=AC
C. AB−AD=BD
D. AE=AD+13AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，若(DB+DC−2DA)·(AB−AC)=0，则△ABC的形状一定是 ．
14.如图，在四边形ABCD中，DA=DB=DC，且DA+DC=DB，则∠ABC= ．
15.如图，圆M为▵ABC的外接圆，AB=5，AC=7，N为边BC的中点，则AN⋅AM= ．
16.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AB，则向量BA在向量BC上的投影向量为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC=2OB.过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN．
(1)求2m+n的值;
(2)若tm+tn≥2+ 2恒成立，求实数t的最小整数值．
18.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=2，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．
(1)若DE=12DC，求AC⋅EF的值；
(2)求EA⋅EF的取值范围．
19.(本小题12分)
如图所示，在▵ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设PB=λAP，QC=μAQ，其中λ，μ>0．
(1)试用AB与AC表示AD，BC；
(2)求证：λ+μ为定值，并求此定值．
20.(本小题12分)
已知向量a，b，若a=1，b=2，a与b的夹角为60∘．
(1)求a+2b；
(2)当λ为何值时，向量λa−b与向量a+3b互相垂直？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量共线的条件、平面向量基本定理的应用．
根据两个向量平行的关系，写出两个向量共线的充要条件，解方程组即可．
【解答】
解：∵m=λe1+e2，n=e1+λe2，m//n，
∴λe1+e2=k(e1+λe2)，
∴λe1+e2=ke1+λke2，
∴k=λ1=λk，解得k=1λ=1或 k=−1λ=−1，
∴λ=±1．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的概念，是中档题．
根据投影向量的概念进行求解．
【解答】
解：在△ABC中，|AB|=1，|AC|=2，|AB+AC|=|BC|=|AC−AB|，
则AB2+AC2+2AB·AC=AB2+AC2−2AB·AC，
∴AB·AC=0，
∴AB⊥AC，
∴BC= AB2+AC2= 12+22= 5，
在直角△ABC中，，
AC与BC的夹角与C相等，
∴AC在BC上的投影向量为|AC|csC·BCBC=2×2 5×BCBC=45BC，
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
按照三角形法则依次求出对应的向量即可．
【解答】
解：因为AB=a，AC=b，
所以 BC=AC−AB=b−a ，
因为 BD=2DC ，
所以 BD=23BC=23(b−a) ，
所以AD=AB+BD=a+23(b−a)=23b+13a ，
又因为 AE=4ED ，
所以 DE=15DA=−15(23b+13a)=−215b−115a ，
所以 BE=BD+DE=23(b−a)−215b−115a=−1115a+815b ．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
利用投影向量的公式即可求解．
【解答】
解：AB在CA上的投影向量为|AB|⋅csAB,CA⋅CA|CA|=−12CA．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，属于基础题．
根据向量的数量积的定义计算即可．
【解答】
解：因为a=3，b=4，a与b的夹角为150​∘，
所以a⋅b=abcs150∘=3×4×− 32=−6 3．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的计算和向量的运算法则，涉及了平行四边形和三角形中位线的性质，属于基础题．
易得AB⋅AD的值，依题意，AE⋅EF=12(−AB2+12AD2+12AB⋅AD)，代入即可得出结果．
【解答】
解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，
可得AB⋅AD=2×2×cs60∘=2，
∵E,F分别为BC,CD的中点，
∴BD=2EF，
则AE⋅EF=(AB+12AD)⋅12BD
=12(AB+12AD)⋅(AD−AB)
=12(−AB2+12AD2+12AB⋅AD)
=12(−4+12×4+12×2)
=−12．
故选A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，涉及平面向量，二次函数，向量的坐标运算，属于拔高题．
解法1：建立坐标系，利用平面向量，设点E(0,t)，写出t的范围，再表示出AE·BE，利用二次函数求出最小值．
解法2：设DE=λDC，利用向量的加减数乘运算，得到AE⋅BE的表达式，利用二次函数求出最小值．
【解答】
解：解法1：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(1,0)，B(32, 32)，C(0, 3)，
令E(0,t)，t∈[0, 3]，
∴AE⋅BE=(−1,t)⋅(−32,t− 32)=t2− 32t+32．
∵t∈[0, 3]，
∴当t=−− 322×1= 34时，AE⋅BE取得最小值，
(AE⋅BE)min=316− 32× 34+32=2116．
解法2：令DE=λDC(0⩽λ⩽1)，由已知可得DC= 3，
∵AE=AD+DE=AD+λDC，
∴BE=BA+AE=BA+AD+λDC，
∴AE⋅BE=(AD+λDC)⋅(BA+AD+λDC)
=AD⋅BA+|AD|2+λDC⋅BA+λ2|DC|2
=3λ2−32λ+32．
当λ=−−322×3=14时，AE⋅BE取得最小值2116．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理以及平面向量数量积，考查基本不等式求最值，属于拔高题．
先由点D为BC的三等分点，利用AD表示AB，即可将AP表示为mAC+12AD，由于P、C、D三点共线，则m+12=1，再结合面积公式，借助基本不等式得解．
【解答】
解：∵AD=2DB，∴AB=32AD，
∴AP=mAC+13AB=mAC+12AD，
由于P、C、D三点共线，
则m+12=1，
∴m=12，即AP=12AC+13AB，
设AC=b,AB=a，
∵AB⋅AC=4，∠BAC=π3，
∴12ab=4，解得ab=8，
∴AP2=14b2+19a2+43≥2× b24×a29+43=4(当且仅当a=32b时取等号)．
∴AP≥2，即AP的最小值为2．
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查投影向量的模、数量积和向量的模，属于一般题．
利用投影向量的模、数量积和模长的关系以及向量垂直逐个判断即可．
【解答】
解：因为b在a方向上的投影向量的模为|b|csπ6= 32，故A正确;
因为a+ 3b在a方向上的投影向量的模为(a+ 3b)⋅a|a|=a2+ 3b⋅a|a|=32+ 3×3×1×csπ63=92，故B错误;
|ta+b|2=t2a2+2ta⋅b+b2=9t2+2t×3 32+1=9t2+3 3t+1=9(t+ 36)2+14，
当t=− 36时，|ta+b|取得最小值14，此时a⋅(ta+b)=ta2+a⋅b=9t+3 32=9×(− 36)+3 32=0，
所以a⊥(ta+b)，故C，D正确．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的加法与减法运算，属于基础题．
分别利用向量的加法和减法运算法则逐项进行计算得出选项．
【解答】
解：A项中，AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)−AP=AQ−AP=PQ；
B项中，(AB+PC)+(BA−QC)=(AB−AB)+(PC+CQ)=PQ；
C项中，QC+CQ−QP=−QP=PQ；
D项中，PA+AB−BQ=PB−BQ≠PQ．
故选ABC．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，属于基础题．
根据平行四边形法则和三角形法则逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：因为AB/​/CD，AB=2CD，M，N分别为AB，CD的中点，根据平行四边形法则得：
对于A:AC=AD+AM=AD+12AB，故A正确；
对于B：CM=12CA+CB=12CA+12CB，故B正确；
对于C：MN=12MC+MD=12MC+12MD=12AD+12AD−AM=AD−12AB，故C错误；
对于D：BC=MC−MB=AD−12AB，故D不正确，
故选AB．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量的加法与减法法则，属于基础题．
根据向量加法的平行四边形法则以及减法法则，以及平行四边形的性质逐个判断各个选项即可求解．
【解答】
解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB=DC，故A正确，
根据向量加法的平行四边形法则可得：AB+AD=AC，故B正确，
根据向量的减法法则可得：AB−AD=DB，故C错误，
由图知，AE=AD+DE=AD+13DC=AD+13AB，故D正确，
故选：ABD．
13.【答案】等腰三角形
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减法运算以及向量数量积．
根据向量的加减运算以及数量积运算得到|AB|2−|AC|2=0，继而即可判定三角形的形状．
【解答】
解：∵(DB+DC−2DA)⋅(AB−AC)=[(DB−DA)+(DC−DA)]⋅(AB−AC)
=(AB+AC)⋅(AB−AC)=AB2−AC2=|AB|2−|AC|2=0，
∴|AB|=|AC|，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
14.【答案】120∘
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案．
【解答】
解：因为DA+DC=DB，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为DA=DB=DC，所以四边形ABCD 是菱形，
且∠DAB=60∘，所以∠ABC=120∘．
故答案为：120∘
15.【答案】372
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．
由三角形中线性质可知 AN=12AB+AC ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知 AMcs∠BAM=12AB ，同理可得 ，再由数量积运算即可得解．
【解答】
解： ∵ N 是BC中点，
∴AN=12AB+AC ，
∵ M为 ▵ABC 外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
∴AM⋅AB=AMABcs∠BAM=12AB2=12×52=252 ，
同理可得 AM⋅AC=12AC2=492 ，
∴AM⋅AN=AM⋅12(AB+AC)
=12AM⋅AB+12AM⋅AC
=12×252+12×492=372 ．
故答案为： 372 ．
16.【答案】14BC
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量，考查了运算求解能力，属于基础题．
因为2AO=AB+AC，则△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，由此可求出向量BA在向量BC上的投影向量．
【解答】
解：∵2AO=AB+AC，
∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：
又∵OA=AB
则|OA|=|OB|=|AB|，
∴△ABO为正三角形，∠ABO=60°
∴向量BA在向量BC上的投影向量为12BO=14BC．
故答案为14BC．
17.【答案】解：(1)连接AO.因为OC=2OB，AB=mAM，AC=nAN，(由题易知m，n都是正数)
所以AO=23AB+13AC=23mAM+13nAN．
因为M，O，N共线，
所以23m+13n=1，2m+n=3．
(2)显然t>0，所以tm+tn≥2+ 2等价于1m+1n≥2+ 2t，
即(1m+1n)min≥2+ 2t．
因为1m+1n=13(1m+1n)(2m+n)=13(3+2mn+nm)≥1+23 2，当且仅当n= 2m，
即m=3−3 22，n=3 2−3时，1m+1n取到最小值1+23 2=( 2+1)23．
于是( 2+1)23≥( 2+1) 2t，t≥6−3 2.故实数t的最小整数值是2．
【解析】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，涉及利用基本不等式求最值，属于一般题．
(1)求出AO=23mAM+13nAN，由M，O，N共线，所以23m+13n=1，即可求2m+n的值;
(2)由题意得，(1m+1n)min≥2+ 2t，再利用基本不等式即可求解．
18.【答案】解：(1)由图知：AC=AD+DC，CB=AB−AC=AB−AD−DC，
所以EF=EC+CF=12DC+12CB=12(AB−AD)，
所以AC⋅EF=12(AD+DC)⋅(AB−AD)=12(AD⋅AB+DC⋅AB−AD2−DC⋅AD)，
又AB=2AD=2CD=2，AB//CD，∠DAB=90​∘，
所以AC⋅EF=12×(0+1×2−12−0)=12．
(2)由(1)知：EF=EC+CF=EC+12CB=EC+12(AB−AD−DC)，
令EC=λDC且0≤λ≤1，则EA=DA−DE=DA−(1−λ)DC，EF=(λ−12)DC+12(AB−AD)，
所以EA⋅EF=(λ−12)DA⋅DC−(1−λ)(λ−12)DC2+12(DA⋅AB+AD2)−1−λ2(DC⋅AB−DC⋅AD)=(λ−1)(λ+12)+12=(λ−14)2−116．
则EA⋅EF∈[−116,12]．

【解析】本题考查平面向量的数量积运算及平面向量基本定理及平面向量的线性运算，属于中档题．
(1)由AC=AD+DC、EF=13DC+12(AB−AC)，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求AC⋅EF即可．
(2)令ED=λCD且0≤λ≤1，同(1)应用向量数量积的运算律得到EA⋅EF关于λ的表示式，即可求值．
19.【答案】解：(1)因为点D为BC的中点，
由向量的平行四边形法则，可得AD=12(AB+AC)=12AB+12AC，
在▵ABC中，由向量的三角形法则，可得BC=AC−AB．
(2)证明：在▵ABC中，
∵PB=λAP,QC=μAQ，
∴AB=AP+PB=(1+λ)AP，AC=(1+μ)AQ，
∵点D为BC的中点，且点E为AD靠近A的三等分点，
∴AE=13AD=13×12(AB+AC)=16(AB+AC)=1+λ6AP+1+μ6AQ，
∵P,E,Q三点共线，
∴1+λ6+1+μ6=1，
∴λ+μ=4，
即λ+μ为定值4．

【解析】本题考查向量运算，考查平面向量共线基本定理，属于基础题．
(1)根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解；
(2)由题意求得AE=1+λ6AP+1+μ6AQ，结合P,E,Q三点共线，得到1+λ6+1+μ6=1，即可求解．
20.【答案】解：(1)由已知可得， a2=a2=1 ， b2=b2=4 ， a⋅b=abcs60∘=1×2×12=1 ，
所以， a+2b2=a+2b2 =a2+4a⋅b+4b2=1+4+4×4=21 ，
所以， a+2b= 21 ．
(2)由已知可得 λa−b⋅a+3b=0 ，
即 λa2+3λ−1a⋅b−3b2=0 ，
所以有 λ+3λ−1−12=0 ，解得 λ=134 ．

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．
(1)由已知可求得 a2=1 ， b2=4 ， a⋅b=1 ，然后根据数量积的运算律即可求出 a+2b2 的值，开方即可得出答案；
(2)由已知可得 λa−b⋅a+3b=0 ，展开代入已知，即可得出答案．