高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=( )
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
2.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”。“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽。如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E为BF的中点，则AE=( )
A. 45a+25bB. 25a+45bC. 43a+23bD. 23a+43b
3.如图，在同一个平面内，向量OA、OB、OC的模分别为1、1、 2，OA⊥OC，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则m+n=( )
A. 2B. 2 2C. 2+1D. 2+2
4.点O在△ABC的内部，且满足：OA→+2OB→+4OC→=0→，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是
( )
A. 72B. 3C. 52D. 2
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG=
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
6.已知OA=1，OB=3，OA⋅OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=xOA+yOB(x,y∈R)，则xy=( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
7.已知平面向量OA、OB、OC为三个单位向量，且OA⋅OB=0，若OC=xOA+yOB(x,y∈R)，则x+y的取值不可能为
A. 0B. 1C. 2D. 2
8.正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=( )
A. 65B. 85C. 2D. 83
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，OP=mAB+nAC，(m,n∈R)，则( )
A. 若OP//BC，则m+n=0
B. 若点P在BC上，则m+n=1
C. 若PA+PB+PC=0，则m−n=0
D. 若AP在AC方向上的投影向量是(2,1)，则m−n=1
10.下列说法正确的是( )
A. 若点G是▵ABC的重心，则AG=13AB+13AC
B. 已知a=−1,2，b=x,x−1，若b−2a//a，则x=−1
C. 已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若AM=xAB+2x−1AC，则x=12
D. 已知正方形ABCD的边长为1，点M满足DM=12MC，则AM⋅AC=43
11.下列说法中正确的为
( )
A. 若a//b，b//c，则a//c
B. 向量e1=(2,3)，e2=(12,-34)能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)
D. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为30°
12.下列说法中错误的有
( )
A. 若a=(1,3),b=(3,1)，则a=b
B. 向量e1→=(2,−3)，e2→=12,−34不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若a=(2,0)，b=(1,4),则a+b=25
D. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则x−y的取值范围是____．
14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，AP=12AB+λAC，λ∈[0,13]，那么关于点P的说法正确的是 .(填序号)
①点P不在△ABC以外的区域;
②点P的轨迹是一条线段;
③点P的轨迹长是13;
④点P的轨迹长是12．
15.已知向量a=(csθ,sinθ)，b=(− 3,1)，则|2a−b|的最大值为
16.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1， 2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n= ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a，AB=b，四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；(2)求点B的坐标．
18.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点P为CD的中点，点Q在BC上，且BQ=2．
(1)求AP⋅AQ；
(2)若AC=λAP+μAQ(λ,μ∈R)，求λμ的值．
19.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60∘，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示AM；
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为C52, 32，求点M的坐标．
20.(本小题12分)
如图，在ΔABC中，AB⋅AC=0，AB=8,AC=6，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点．
1求AD⋅CB的值； 2判断AE⋅CB的值是否为一个常数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)，∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34，
∴AG=34AB+34AD．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
建立直角坐标系，设AB=1，利用勾股定理求出E的坐标，设AE=mAB+nAD，由坐标运算性质即可得出．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB=1，BE=x，则AE=2x．
∴x2+4x2=1，解得x= 55．
设∠BAE=θ，则sinθ= 55，csθ=2 55．
∴xE=2 55csθ=45，yE=2 55sinθ=25．
设AE=mAB+nAD，
则(45,25)=m(1,0)+n(0,1)．
∴m=45，n=25．
∴AE=45a+25b，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，属于中档题．
根据OC=mOA+nOB结合向量数量积的坐标运算，可得关于m、n的方程组，解方程组即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，
OC=mOA+nOB，|OC|= 2，|OA|=1，|OB|=1，∠AOC=90°，∠BOC=45°，
则OC·OC=mOA·OC+nOB·OC，OC·OA=mOA·OA+nOB·OA，
所以2= n×1× 2cs45°，0=m×12+12×ncs135°，
即m− 22n=0 22n= 2，
解得m= 2，n=2，
所以m+n= 2+2．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生
灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
法一：延长BO交AC于点P，由向量的线性运算，计算求得BP=72OP，即可求解得到答案；
法二：以CA边所在的直线为x轴，以过点B且垂直于AC的直线为y轴，垂足为原点，建立直角坐标系，设A(a,0),B(0,b),C(c,0),O(x,y)，运用平面向量的坐标运算，计算求解即可．
【解答】解：法一：延长BO交AC于点P，
由OA+2OB+4OC=0，
得BA-BO+2OB+4(BC-BO)=0，
即BO→=17BA→+47BC→=57(15BA→+45BC→)=57BP→，
所以BP=72OP，所以S△ABCS△AOC=72，
故选A．
法二：以CA边所在的直线为x轴，以过点B且垂直于AC的直线为y轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，
设A(a,0),B(0,b),C(c,0),O(x,y)，
则OA=(a-x,-y),OB=(-x,b-y)，OC=(c-x,-y)，
由OA+2OB+4OC=0，
得(a-x,-y)+2(-x,b-y)+4(c-x,-y)=(0,0)，
所以-y+2b-2y-4y=0,所以by=72，
所以S△ABCS△AOC=|b||y|=72，
故选A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于基础题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)；
∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34；
∴AG=34AB+34AD．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查考查平面向量的基本定理和坐标运算，由已知建立直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，然后利用平面向量的基本定理进行坐标运算即可求解．
【解答】
解：因为OA⋅OB=0，所以OA⊥OB，
所以以O为原点，以OA，OB所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
则A(1,0)，B(0,3)，
由题意可设C( 3m,m)，
由OC=xOA+yOB可得，
( 3m,m)=x(1,0)+y(0,3)=x,3y，
所以x= 3m,y=m3，
所以xy=3 3．
选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用、坐标运算，考查三角函数性质的利用，以向量OA、OB方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量OC=(cs θ,sin θ)，可计算x+y=cs θ+sin θ取值范围，即得结果．
【解答】
解：依题意，OA、OB是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA、OB作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点Ccs θ,sin θ(θ表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量OC，θ∈[0,2π),

因为OA=(1,0)，OB=(0,1)，OC=(cs θ,sin θ)，OC=xOA+yOB，
所以x=cs θ,y=sin θ，故x+y=cs θ+sin θ= 2sin (θ+π4)，θ∈[0,2π),
故x+y∈[− 2, 2]，故可以是选项中的0，1， 2．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用．
根据已知条件建立平面直角坐标系，列方程组解出λ，μ即可求解．
【解答】
解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
∵设正方形边长为1，M，N分别是BC，CD的中点，
∴AM=(1,12)，BN=(−12,1)，AC=(1,1)．
∵AC=λAM+μBN，
∴λ−12μ=112λ+μ=1，
∴λ=65μ=25，
∴λ+μ=85．
故选B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理与投影向量，以及平面向量的坐标运算，属于基础题．
由平面向量的相关知识，逐项排除即可．
【解答】
解：AB→=(1,2),AC→=(2,1)，
因为OP→=mAB→+nAC→，所以OP→=(m+2n,2m+n)，
由OP→=(m+2n,2m+n),BC→=(1,−1)，
若OP//BC，得m+n=0，选项A正确;
若P在BC上，则AP→=OP→−OA→，
AP=(mAB+nAC)−OA
=(mAB+nAC)−(13AB+13AC)
=(m−13)AB+(n−13)AC，
所以(m−13)+(n−13)=1，即m+n=53，选项B错误;
由PA→+PB→+PC→=0→，解得OP→=(2,2)，
由m+2n=2,2m+n=2，得m−n=0，选项C正确;
若AP在AC方向上的投影向量是2,1，
则可设 AP→=AC→，此时点P与点C重合，
即m+2n=32m+n=2,解得{m=13n=43，则m−n=−1，选项D错误．
故本题选：AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查向量的基本定理和坐标运算，属于中档题．
利用向量的基本定理和坐标运算依次判断各个选项即可．
【解答】
解：对于A，由G是重心连接AG并延长，必交于BC中点D，且AG=2GD，易知AG=23AD，
而AD=12AB+AC，故AG=13AB+13AC
则E点与点D重合，
所以D是边BC的中点，所以A正确；
对于B，b−2a=(x+2,x−5),a=(−1,2),(b−2a)//a,
所以2x+2=−x−5，
所以x=13，所以B不正确;
对于C，若x=12，则AM=xAB+(2x−1)AC=12AB，
所以M为AB的中点，但条件没有，所以C不正确;
对于D，AM⋅AC=(AD+DM)(AD+DC)
=AD2+AD⋅DC+DM⋅AD+DM⋅DC
=1+13=43，所以D正确．
故选：AD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断选项的结论．
【解答】
解：对于A：若a//b，b//c，(b≠0)，则a//c，故A错误；
对于B：向量e1=(2,3)，e2=(12,-34)，
又2×(−34)−3×12=−3≠0，所以e1与e2不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B正确；
对于C：已知a=(1,2)，b=(1,1)，则a+λb=(1+λ,2+λ)，
因为a与a+λb的夹角为锐角，
所以a⋅(a+λb)>0，且a和(a+λb)不共线．
即(1+λ)+2(2+λ)>0，且2+λ−2(1+λ)≠0，
解得λ> -53且λ≠0，故C错误；
对于D：非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，
则以a、ba−b为边长的三角形为等边三角形，
所以a与a+b的夹角为30°，故D正确．
故答案选：BD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，向量的模，向量的基底及向量的夹角等，属于中档题．
利用向量的夹角公式，向量的基底，以及平面向量基本定理逐项分析，即可推出结果．
【解答】
解：A:因为a=(1,3),b=(3,1)，所以可得a≠b，故错误;
B:因为向量e1→=(2,−3)= 4(12,−34)=4e2，即e1， e2共线，故不能作为平面内所有向量的一组基，故正确;
C:因为向量a=(2,0)，b=(1,4),所以a+b=(3,4)，即可得a+b= 32+42=5，故错误;
D:因为 a=(1,2)， b=(1,1)， a与 a+ λb的夹角为锐角，
所以 a ⋅( a+ λb)=(1，2) ⋅(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0且λ≠0(λ=0,
此时a与a+λb的夹角为0)，即λ>−53且λ≠0，故错误．
故选ACD．
13.【答案】[−1,1]
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其应用，三角函数的值域，属于中档题．
建立平面直角坐标系，进行求解即可．
【解答】
解：设扇形OAB的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图，
其中A(12, 32)；B(1,0)；
设∠BOC=θ(0≤θ≤π3)，则C(csθ,sinθ)，
由OC=xOA+yOB，得(csθ,sinθ)=x(12, 32)+y(1,0)；
整理得：12x+y=csθ； 32x=sinθ，
解得x=2sinθ 3，y=csθ−sinθ 3，
则x−y=2sinθ 3−csθ+sinθ 3= 3sinθ−csθ=2sin(θ−π6)，
由0≤θ≤π3，
得−π6⩽θ−π6⩽π6，
所以2sin(θ−π6)∈[−1,1]，
所以x−y的取值范围是[−1,1]．
故答案为：[−1,1]．
14.【答案】①②③
【解析】【分析】
本题考查向量的基本定理应用，考查向量坐标运算，属于较难题．
依题意，根据12+λ0,λ⩾0，所以点P在△ABC内部或边界上，可判断①，建立平面直角坐标系，设P(x,y)，得y=− 3x,x∈−14,−112，进而判断②，③，④
【解答】
解：因为AP=12AB+λAC，λ∈[0,13]，
所以12+λ0,λ⩾0，所以点P在△ABC内部或边界上，故①正确;
以BC所在直线为x轴，线段垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(0, 32)，B(−12,0)，C(12,0)，设P(x,y)，
则AP=x,y− 32，AB=−12,− 32，AC=12,− 32，
又AP=12AB+λAC，所以x=−14+12λy− 32=− 34− 32λ,λ∈[0,13]，
消去λ得y=− 3x,x∈−14,−112，所以点P的轨迹是一条线段，故②正确，
线段两端点坐标P1(−14, 34)，P2(−112, 312)
点P的轨迹长为|P1P2|= −14−−1122+ 34− 3122=13，故③正确，④错误，
15.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习，属于基础题．
先根据向量的线性运算得到2a−b的表达式，再由向量模的求法表示出|2a−b⇀|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．
【解答】
解：∵2a−b⇀=(2csθ− 3,2sinθ+1)，
∴|2a−b|= (2csθ− 3)2+(2sinθ+1)2= 8+8sin(θ−π3)≤4．
∴|2a−b|的最大值为4．
故答案为4．
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．
【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，
由OA与OC的夹角为α，且tanα=7，
∴csα=15 2，sinα=75 2，∴C(15,75)，
cs(α+45°)= 22(csα−sinα)=−35，
sin(α+45°)= 22(sinα+csα)=45，
∴B(−35,45)．
∵OC=mOA+nOB(m,n∈R)，
∴15=m−35n，75=0+45n，
解得n=74，m=54，
则m+n=3．
故答案为：3．
17.【答案】解：(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM=OA⋅cs45​∘=4× 22=2 2，AM=OA⋅sin45​∘=4× 22=2 2，
∴A(2 2,2 2)，故a=(2 2,2 2)，
∵∠AOC=180°−105°=75°，∠AOy=45°，∴∠COy=30°，
又OC=AB=3，∴C−32,3 32，
∴AB=OC=−32,3 32，即b=(−32,3 32).
(2)OB=OA+AB=(2 2,2 2)+(−32,3 32)=(2 2−32,2 2+3 32)，
∴点B的坐标为2 2−32,2 2+3 32．

【解析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
(1)作AM⊥x轴于点M，由已知可求出A(2 2,2 2)，从而可得a的坐标，进而根据AB=OC=(−32,3 32)，即可求出b的坐标；
(2)根据OB=OA+AB可求出B的坐标．
18.【答案】解：(1)以A点为坐标原点，AB和AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系
则A(0,0)，B(4,0)，D(0,3)，C(4,3)
又P为CD中点和BQ=2
∴P(2,3),Q(4,2)，AP=(2,3),AQ=4,2
∴AP⋅AQ=8+6=14
(2)∵AP=12AB+AD，AQ=AB+23AD
且题中已知AC=λAP+μAQ(λ,μ∈R)
∴AC=λ2AB+λAD+μAB+2μ3AD=(λ2+μ)AB+(λ+2μ3)AD，
又因为AC=AB+AD，
∴λ2+μ=1λ+2μ3=1，解得λ=12μ=34
∴λμ=23．
【解析】本题考查了向量坐标的线性运算，向量数量积的坐标运算考查了基本运算求解能力，属于基础题．
(1)分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解，求出AP=(2,3),AQ=4,2，即可计算．
(2)用AP，AQ表示AC，列方程即可求解．
19.【答案】解：(1)BD=AD−AB=b−a，
又∵M为BO中点，
∴BM=14BD=14(b−a)；
∴AM=AB+BM=a+14(b−a)=34a+14b；
(2)由题意可如图建系，
∴可得A(0,0)，D(2,0)，B(12, 32)，
∴可得AB=a=(12, 32)，AD=b=(2,0)，
∴AM=34a+14b=3412, 32+142,0=78,3 38，
∴可得M78,3 38．
【解析】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的线性运算，平面向量基本定理，属中档题．
(1)利用平面向量的线性运算的应用即可表示出AM;
(2)由点C的坐标可建系，然后利用向量的坐标建系求解可得．
20.【答案】解：方法一： (1)AD⋅CB
=12(AB+AC)⋅(AB−AC)
=12AB2−12AC2
=12×64−12×36=14．
(2)AE⋅CB=(AD+DE)⋅CB
=AD⋅CB+DE⋅CB=14，
故AE⋅CB的值为常数．
方法二： (1)以点D为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，DE的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意易知|BC|=10，则D(0,0)，B(−5,0)，C(5,0)，
设A(x,y)，则AB⋅AC=(−5−x,−y)⋅(5−x,−y)=x2+y2−25=0，
|AB|2=(−5−x)2+(−y)2=x2+10x+25+y2=64，
所以x=75，y=245，即A(75,245).
此时AD=(−75,−245)，CB=(−10,0)，
所以AD⋅CB=−75×(−10)+(−245)×0=14．
(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0)，此时AE=(−75,y−245)，
所以AE⋅CB=−75×(−10)+(y−245)×0=14，
故AE⋅CB的值是常数．

【解析】本题考查向量的数量积、平面向量的坐标运算，属于中档题．
方法一：(1)由题意及图形，可把向量AD，CB用两个向量AB，AC表示出来，再用数量积的公式进行计算；
(2)将向量AE用AD与DE表示出来，再由向量的数量积公式求出数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
方法二：(1))以点D为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，DE的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义求出AD，CB的坐标表示，由向量的数量积公式进行求解即可；
(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0)，表示出AE的坐标，再由向量的数量积公式进行求解即可．