北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理教学课件ppt

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了温故知新，学习目标，余弦定理，课文精讲，典型例题，正弦定理，由正弦定理得，综合练习等内容，欢迎下载使用。
1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现余弦定理与正弦定理，并了解其向量证法；（难点）2.掌握余弦定理与正弦定理，并能运用其解三角形.（重点）
问题提出 三角形中边角关系很丰富，本节继续研究.如已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢?已知三条边，又怎么求出它的三个角呢?
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2-2bccsAb2=a2+c2-2accsBc2=a2+b2-2abcsC
利用余弦定理，可以由三角形的三条边，求出它三个角的大小.
例1：如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h，4. 5 km/h. 3 h后两人相距多远?(精确到0.1km)
解：经过3 h，甲到达点P，|OP|=4×3=12(km)， 乙到达点Q，|OQ|=4.5×3=13.5(km).
所以∠DAB≈80°.
对等边三角形，这个等式无疑也成立；对其他三角形，它是否仍然成立呢?
因此，对锐角三角形，以上等式仍然成立.
探究：当△ABC是钝角三角形时，以上等式是否仍然成立？
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
运用由特殊到一般的方法发现了正弦定理，这种思想方法经常用于发现客观规律.
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=450，C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0. 01 cm)
解：将BD，CE分别延长相交于点A(如图)，在△ABC中，BC=2.57 cm，B=45°，C=120°，
A=180°-(B+C)=180°- (45°+120°)=15°.
同理AB≈8.60(cm).因此，原玉佩另两边的长分别约为7.02 cm，8.60 cm.
思考 对于钝角三角形(如图(2))、锐角三角形(如图(3))，上述结论还成立吗?
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：如图，设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.
假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC中，AB=300 km， AC=250 km，BC=40t km，B=45°.
所以角C有两个解(如图①)：∠AC1B≈121.95°，∠AC2B≈58.05°.
当∠AC1B≈121.95°时，∠C1AB=180°-(B+∠ AC1B)≈180°-(45°+121.95°)=13.05°.
思考： 已知两条边的边长和其中一条边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.
用正弦定理、余弦定理解三角形
在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个(至少含一边长)，那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素.具体情形如下:
情形1：已知两个角的大小和一条边的边长. 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小，然后依据正弦定理求得另外两条的边长.
情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小. 先由余弦定理求出第三条边的边长，然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.
情形3：已知三条边的边长. 由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和等于180°求出第三个角.
情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的大小. 首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时，要判断是两解、一解还是无解.然后，根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后，由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求∠BAD的正弦值和BD的长.
分析：观察到BD为△BDC和△ABD的公共边，由于△BDC中已知量较少，故考虑通过解△ABD求出BD的长.
分析：在△ABD中已知边AB的长及其所对角∠ADB的度数，故只需要求出∠BAD的正弦值，就可以利用正弦定理求出BD的长.
分析：我们发现∠ABC与∠BAD互补，而∠ABC所在的△ABC中已知两边及其中一边的对角，可以由正弦定理求出∠ABC的正弦值，再由∠BAD与∠ABC互补的条件，求出∠BAD的正弦值，进而求出BD的长.
解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足球同时到达的地方.如图(2)，设该机器人最快可在点C处截住足球，BC=x dm，由题意，CD=2x dm，AC=AD-CD=(17-2x)dm.
解：因此，该机器人最快可在线段AD上离点A处7 dm的点C处藏住足球.
例10：自动卸货汽车采用液压机构(如图).设计时需要计算油泵顶杠BC的长度，已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确到0.01 m)
解：如图，在△ABC中，AB= 1.95 m，AC=1.40 m，∠BAC=60°+ 6°20′=66°20′. 由余弦定理，得BC2=AB2+AC2=2AB·ACcsA =1.952+1.402-2×1.95×1.40cs66°20′ ≈3.571. ∴BC≈1.89 (m)
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱在点C1，D1的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
解：如图，在△BC1D1中，∠BD1C1=180°-60°=120°，∠C1BD1=60°-45°=15°，C1D1=CD=12.
例12:如图(1)，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处.
某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a 的距离.(精确到0.01km)
解:(1)依题意，PA- PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x-12)km，PC=(18+x)km.
在△PAB中，AB=20 km，
由cs∠PAB=cs∠PAC，
解:(2)如图(2)，过点P作a的垂线，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcs∠APD=PAcs∠PAB
因此，静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.