15，浙江省湖州市吴兴区第四中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份15，浙江省湖州市吴兴区第四中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了必须在答题卷的对应答题位置答题等内容，欢迎下载使用。

1．本卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，时间120分钟．
2．必须在答题卷的对应答题位置答题．
一．选择题（共10小题）
1. ⊙O的半径为4，点A在⊙O内，则的长可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：点A在⊙O内，
故选A
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，明确半径与点到圆心距离的大小关系是解题关键．
2. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为，
故选：C．
3. 如表是某一项实验中结果出现的频率统计表，请估计在一次实验中结果出现的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.37C. 0.38D. 0.39
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动．通过已知实验得到事件的频率稳定在0.38附近，即可得出答案．
【详解】解：由实验可知，结果出现的频率稳定在0.38附近，
即结果出现的概率为0.38，
故选：C．
4. 如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A. （+1）aB. （﹣1）aC. （3﹣）aD. （﹣2）a
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【详解】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE=AB=2a=（﹣1）a．
故选B．
【点睛】考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
5. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数解析式与点的关系，对称性，图象上点的坐标满足函数的解析式，计算判断即可．
【详解】当点，，在同一直线上时，设直线解析式为，
根据题意，得，
解得，
与矛盾，
故A错误；
当点，，在同一反比例函数图象上时，
则，
设反比例函数解析式为，
根据题意，得，
解得，
与矛盾，
故C错误；
由，在同一个函数图象上，
故图象关于轴对称，由，，可知在轴的左侧，随的增大而增大，故B符合题意；D不符合题意，
故选：B．
6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角的性质即可求解.
【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.
【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
7. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据半径为R的圆中有一条长度为R的弦，知这条弦和两条半径组成了一个等边三角形．则该弦所对的圆心角是60°，要进一步求其所对的圆周角，应分情况考虑：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得此圆周角等于30°；当圆周角的顶点在劣弧上，根据圆内接四边形的性质，此圆周角和第一种的圆周角互补，即150°．
【详解】∵半径为R，长度为R的弦，
∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，
∴该弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于150°．
故选B．
【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：此类题一定要分情况考虑．即一条弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况中的角是互补的关系．
8. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，由圆周角定理得到为圆O的直径，勾股定理得到米，则圆的半径米，由中位线定理得到米，即可得到改造后门洞的最大高度米．
【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，

∴点O为线段的中点，，
∴为圆O的直径，
∵宽为米，高为2米，
∴（米），
∴圆的半径（米），
∵，
∴点D为的中点，
又∵点O为线段的中点，
∴是的中位线，
∴（米），
则改造后门洞的最大高度（米）；
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、中位线定理、矩形的性质等知识，求出圆的半径是解题的关键．
9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于，两点，已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 当且时，有最小值B. 当且时，有最大值
C. 当且时，有最小值D. 当且时，有最大值
【答案】A
【解析】
【分析】设直线，联立直线与抛物线解析式得出是方程的两根，进而根据，得出在的下方，得出，则，即可得出，进而结合选项，进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，过点的直线交抛物线于两点，
设直线，
联立，
即，
∴是方程的两根，
即，，
∵，
∴在的下方，
联立，
解得：或，
∴，
∵在抛物线上，则，
∴，
∴，
当且，
∴，
∴有最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的计算，正确理解公式，是解题的关键．根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵，
∴顶点坐标是，
故答案为：．
12. 掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方形骰子，则向上一面的数不大于5的概率是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式计算．
【详解】解：根据题意，不大于5的面有1，2，3，4，5，
则向上一面的数不大于5的概率是．
故答案为：．
13. 已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和线段的比例中项，则______厘米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义得到，据此可得答案．
【详解】解；∵线段是线段和线段的比例中项，线段厘米，厘米，
∴，
∴厘米，
故答案为：4．
14. 如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及扇形的弧长．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理先后求得的长，以及和的度数，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
，，
∴，，
∴点翻滚到位置时共走过的路径长为：，
故答案为：．
15. 已知函数在时有最大值5，则______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先证明，再求出抛物线对称轴为直线，进而分当时，当时，两种情况利用最大值为5结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，原函数为，不符合题意，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴直线，
当时，则当，且当时，函数有最大值，
∴，
∴；
当时，则离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴；
综上所述，或，
故答案为：或．
16. 如图，正六边形的边长是3，点、是正六边形边和边上的动点，且满足．点是的中点．
（1）______．
（2）线段的最小值是______．
【答案】 ①. 60°##60度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，正六边形的性质，三角形外角的性质，圆的性质．
（1）证明，结合正六边形的性质计算即可．
（2）设正六边形的中心是点O，连接，点Q在的外接圆上，根据正六边形的性质，圆的性质计算即可．
【详解】（1）∵正六边形的边长是3，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）设正六边形的中心是点O，连接，
则，
∵，
∴，
∴点Q在的外接圆上，
设的外接圆的圆心为点G，
连接，延长交于点R，
则，
∴直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵正六边形的边长是3，点是的中点，
∴，
∴，
，
∴，
连接，交圆G于点T，
∴，
，
当点Q与点T重合时，取得最小值，且最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17. 线段a、b、c，且
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足，求的值；
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案；
（2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）设，则，，，
由得：，解得，
所以，，，
所以．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
18. 已知抛物线的部分图象如图所示．
（1）求，的值；
（2）写出当时，的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）把和分别代入解析式，确定b，c的值即可．
（2）根据对称性，确定抛物线与x轴的另一个交点，根据数形结合思想，解答即可．
【小问1详解】
把和分别代入得
，
解得．
【小问2详解】
根据题意，得抛物线解析式为
，
∴抛物线对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，
解得，
∵，
∴．
19. 如图，直角坐标系中，有一条圆心角为的圆弧，且该圆弧经过网格点，，．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为__________．
（2）求扇形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，
由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点M(-2， 0)，
故答案为：M(-2， 0)；
【小问2详解】
解：扇形的半径，
∵AM2=22+42=20，CM2=22+42=20，AC2 = 22+62=40，
∴AM2+CM2=AC2，
∴∠AMC=90°，
∴．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标，求出扇形所在圆的半径和相应圆心角度数是求扇形面积的前提．
20. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是______；
（2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由，
【答案】（1）
（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）第一次的可能性有三种，直接求解即可．
（2）列出表格 ，得到两次数字的积，直接判断即可．
【小问1详解】
第一次摸出求的可能性有3种可能的结果，摸到标有奇数的乒乓球有2种可能的结果
那么第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是
【小问2详解】
列表如下：
那么两次摸到的乒乓球上所标数字之积为分别为1，2，3，2，4，6，3，6，9，其中偶数有5种可能的结果，奇数有4种可能的结果
若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，
即，
，因此小李的胜利的可能性更大一些，游戏规则不公平．
【点睛】此题考查概率，解题关键是将事件分步骤计算可能性．
21. 日前正在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品，某商家进购了一批吉祥物钥匙扣，进价为每个30元，若该钥匙扣每个的售价是50元时，每天可售出200个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
（1）设该吉祥物钥匙扣每个售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）求每个售价定为多少元时，每天销售玩偶所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）每个售价定为90元时，每天销售玩偶所获利润最大，最大利润是7200元．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式：
（1）根据每个的售价是50元时，每天可售出200个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个进行求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大值为7200，
∴每个售价定为90元时，每天销售玩偶所获利润最大，最大利润是7200元．
22. 如图，在中，，，交于点，为的直径，．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数；
（3）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角，弦，弧的关系证明即可．
（2）运用圆的内接四边形的性质，得到，结合，，继而得到，结合为的直径，得到，；根据，结合三角形的外角性质，计算即可．
（3）连接，证明出是等边三角形，求出，根据，计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
∴；
∴
解得．
【小问3详解】
∵，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式．解题的关键是掌握以上知识点．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【问题】如何设计隧道内车道的限高及车道宽方案？
【素材一】图1隧道是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度16m，拱顶离地面4m．
【素材二】如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽2m，每条机动车道宽均2.5m．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度）
【素材三】如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条0.5m的绿化带，非机动车道最高高度不低于1.8m，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽相等．
【任务一】确定隧道所在圆弧的半径．
【任务二】探究原计划该隧道下方机动车道一的限高要求．
【任务三】新方案下当机动车宽度最大的情况下，机动车道的宽度与原来相比是变宽了还是变窄了？求出新方案下机动车道的最大宽度．
【答案】【一】10m
【二】2m
【三】变窄了，
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，
【任务一】设圆的圆心为点O，如图，过点O作于点H，交圆于点M，利用勾股定理，列出方程解答计算即可．
【任务二】连接，过点F作于点G，则四边形是矩形，根据，确定，利用勾股定理计算，结合，计算即可．
【任务三】当，则，于是，根据勾股定理计算得到，计算出两个绿化带的宽度，计算即可．
【详解】【任务一】设圆的圆心为点O，如图，过点O作于点H，交圆于点M，
根据题意，，，，
根据勾股定理，得，
故，
解得，
故圆的半径为．
【任务二】连接，过点F作于点G，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【任务三】当，则，
∴，
∴，
根据前面的计算得
∴机动车道宽为：，
故变窄了．
24. 已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，，且，求证：，，三点共线；
（3）小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）的面积为定值，其面积为2
【解析】
【分析】（1）将代入，即可求出答案；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设直线对应的函数表达式为，
∵为中点，
∴．
又∵，
∴，
解得，
∴直线对应的函数表达式为．
∵点在抛物线上，所以，
∴
解得，或．
又∵，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴满足直线对应的函数表达式，
∴点在直线上，即三点共线；
【小问3详解】
解：的面积为定值，其面积为2．理由如下：
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．
设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，
∴的面积不为定值．

如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，
∴的面积小于的面积，则的面积不为定值．
又∵中存在面积为定值的三角形，
∴的面积为定值，
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，
联立，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为2，
综上所述，的面积为定值，其面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
试验次数
500
1000
1500
2000
2500
3000
频数
125
380
540
780
925
1140
频率
0.25
038
0.36
0.39
0.37
0.38