21，浙江省杭州市临浦片2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份21，浙江省杭州市临浦片2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1. 平移函数的图象，得到新的图象的表达式为，则平移的方式是（ ）
A. 向左平移1单位，向下平移5单位
B. 向右平移1单位，向上平移5单位
C. 向左平移1单位，向上平移5单位
D. 向右平移1单位，向下平移5单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：．
故选：B．
2. 一个不透明袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，共8个球，从袋中任意摸出一个球是黄球的可能性有5种，
∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率的求法是关键．
3. 如图，已知中，，以点B为中心，顺时针旋转得到，点E恰好在上．若，，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果．明确旋转前后对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵由旋转所得，
∴，
∴，
故选：B．
4. 已知的半径为8，点A在内，则的长可能为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．由点A在内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解．
【详解】解：∵的半径为8，且点A在内，
∴，
故选A．
5. 已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A. 4B. 2C. 4πD. 2π
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的半径为 先利用扇形的面积：求解扇形的半径，再利用扇形的弧长公式直接计算即可得到答案.
【详解】解：设扇形的半径为
圆心角为120°的扇形面积为12π，

解得： （负根舍去）
扇形的弧长
故选C
【点睛】本题考查的是扇形的面积的计算与扇形的弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的面积公式与弧长公式，并能够熟练运用.
6. 如图，点D，E，F在的边上，，．下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．本题根据相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，，
∴，，
∴，故B符合题意；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
∵，
，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
7. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】解：由表可得时，时，
二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间，
的一个近似解的范围为，
故选：C．
8. 如图，四边形内接于，对角线，交于点，延长，交于点．下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出结论．
【详解】解：A．，，，故选项A不符合题意；
B．，，，故选项B不符合题意；
C．不能证明，故选项C符合题意；
D．，，，故选项D不符合题意；
故选：C．
9. 如图，二次函数的图象经过点，，，点是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为；
②若，则；
③若，则；
④一元二次方程的两个根为和．
其中正确的是（ ）

A. ①B. ①②C. ②③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】利用交点式得到，即，根据二次函数的性质可对①进行判断；分别计算和时的函数值，由于在范围内且 y有最小值，从而可对②进行判断；根据二次函数的性质有得到C点到直线的距离比点D到直线的距离大，得到，解不等式可对③进行判断；把代入一元二次方程，化简得，然后解方程可对④进行判断．
【详解】解：二次函数的图象经过点，，
设二次函数解析为，
，
抛物线开口向上，
二次函数的最小值为，故①结论正确；
当时，；当时，；当时，y有最小值，
若，则，故②结论错误；
若，则C点到直线的距离比点D到直线的距离大，
，
，
解的：或，故③结论错误；
，
一元二次方程化为，
即，
解得，，故④结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键．
10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：
①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断．
【详解】解：①平分，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；故①正确；
②是的直径，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，故②正确；
③，
，
平分， 平分，
，，
，，
，
，
为的外心，故③正确；
④，
，即的最大值为，故④正确；
故选：D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 掷一枚均匀的硬币次，前九次朝上的面次数为反次，正次，那么第十次反面朝上的概率是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是概率的意义，根据独立实验概率的意义，即可求解．
【详解】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同，
即第十次反面朝上的概率是，
故答案为：．
12. 如图，是的直径，是的弦，若，，则弧的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，连接，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据弧长公式计算．牢记弧长公式：（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解决问题的关键．
详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长．
故答案为：．
13. 如图，在中，点E，F分别在边上，．若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，先证明，进而证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
14. 如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．
【答案】45°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得BC=BP=BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，由外角的性质可求∠PAH=135°-90°=45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC=BP=BA，
∴∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，
∵，
∴∠CPA=∠AHC+∠PAH=135°，
∴∠PAH=135°-90°=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于k的不等式是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再由函数的性质得到k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，y的值随x值的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
16. 如图，是的外接圆的直径，连接．若，，则的半径为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，先根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得：，
则的半径为，
故答案为：．
三、解答题：本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足，求k的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】此题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握其性质，以及换元法；
（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）根据，则，利用求出k的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
【小问2详解】
解：设，
则，
，
．
18. 将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出可得所有等可能的结果，以及所抽取的两位数恰好是5的倍数的结果，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
数字2，3，5中，是奇数的有3，5，
∴随机抽取一张，抽到奇数的概率为；
【小问2详解】
画树状图如下：

共有6种等可能出现的结果：23，25，32，35，52，53，
其中所抽取的两位数恰好是5的倍数的有：25，35，共2种，
∴所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率为．
19. 如图，在中，于点D，E是上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，的面积为25，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线定义、余角性质以及平行线的判定，解题的关键是：根据各角之间的关系，找出；牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”．
（1）由于点D，可得出，结合，利用等角的余角相等，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”，可证出，则可得出；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出的面积．
【小问1详解】
证明：∵于点D，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】
20. 已知二次函数的图象经过点和．
（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）当x在什么范围内时，？
【答案】（1）当时，y随x的增大而增大
（2）当时，
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象经过点和，可以求得该抛物线的解析式，并将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到x在什么范围内时，y随x的增大而增大；
（2）根据（1）中的函数解析式求出抛物线与x轴的交点的横坐标，进而可以得到x在什么范围内时，．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
即该二次函数的解析式为；
∴，
∴该函数的对称轴是，函数图象开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，，
∴当时，．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据待定系数法求出二次函数的解析式．
21. 如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD=8，BH=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）连接AB，若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH．
【答案】（1）⊙O的半径为5；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH=DH=4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r2=42+（r-2）2，解得r=5；
（2）连接CF，如图，根据垂径定理得到=，而∠EAB=∠EBA，所以=，则=，得到AD=BF，所以BF=2AH．
详解】（1）解：连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH=DH=4，
在Rt△OHA中，OH=r-2，OA=r，
∴r2=42+（r-2）2，
解得r=5，
即⊙O的半径为5；
（2）∵AD⊥OB，
∴=，AH=DH，
∵∠EAB=∠EBA，
∴=，
∴=，
∴=，
∴BF=AD=2AH．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
22. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC；
（2）若BD=4，CE=3，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠GDB=∠FEC=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠EFC=∠B，即可证明△DBG∽△EFC；
（2）根据正方形的性质可得GD=EF=DE，根据相似三角形的性质列方程即可求出DE的长．
【详解】（1）∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDB=∠FEC=90°，
∴∠EFC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠EFC=∠B，
∴△DBG∽△EFC．
（2）∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=EF=DE，
∵△DBG∽△EFC，
∴，
∵BD=4，CE=3，
∴DE2=BD·CE=12，
解得：DE=．（负值舍去）
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
23. 已知二次函数（k是常数）．
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当时，该函数有最大值3，求k的值．
【答案】（1）
（2）
（3）、、
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式配方得到顶点式，即可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数在对称轴两侧随着的增大而变化即可确定k的范围；
（3）分三种情况讨论，当对称轴在给定范围上变化时，函数的最大值也随即发生变化，根据对称轴在不同的位置，得到关于k的方程，解方程即可求得．
本题主要考查含参数二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于将二次函数一般式转化成顶点式求顶点坐标，函数值随自变量的变化范围，以及求函数最值问题，是一道综合题．
【小问1详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为，
，
∴抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
∵由，可知图象开口向下，如图，

由图可知，在对称轴直线左边随着的增大而增大；在对称轴右边随着的增大而减小，
又∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
【小问3详解】
①如图，当对称轴直线，在0的左边时，函数最大值在处取得，

∴将代入，得到
，
∴；
②如图，当对称轴直线，在0和1之间时，函数最大值在处取得，

此时，代入，得到
，
解得，或；
③如图，当对称轴，在1的右边时，函数最大值在处取得，

此时，将代入，得到
，
得到，．
综上，、、．
24. 如图，已知锐角三角形，点A在三角形内，，，．作的外接圆，交于点F，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，
①求的取值范围．
②求的面积S的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形得，则，再利用同弧所对的圆周角相等可知：，根据证明；
（2）由全等可知：，，因此设，则，根据等式的性质得，则是等腰直角三角形，计算得，则，根据勾股定理得，求出的取值为，同时由圆的面积公式计算得：，根据二次函数的增减性得出：．
【小问1详解】
证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
①∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
②设，则，
，
∵，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线，
∴当时，S随x增大而增大，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，综合考查了等腰直角三角形、三角函数和二次函数及圆的性质；本题要想求出圆面积的取值，从圆的面积公式入手，知道圆的面积与直径有关，因此可设或与有关系的边为x，根据等量关系列式得一函数，再利用该函数的最值问题求出结论．
x
…
…
y
…
…