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50， 山东省东营市垦利区（五四制）2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题
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这是一份50， 山东省东营市垦利区（五四制）2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共22页。试卷主要包含了数学试题答题卡共4页等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页．
2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．）
1. 的值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正切．熟练掌握特殊角的正切是解题的关键．
根据，作答即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 若反比例函数的图象经过点（﹣2，m），则m的值是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点（-2，m）代入反比例函数即可求出m的值．
【详解】把（﹣2，m）代入，得
．
故选C．
【点睛】本题考查了查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的坐标符合函数解析式．
3. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
4. 如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键．
【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置．
，
故选：C．
5. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是( )
A. 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B. 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D. 先向右平格6个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可
【详解】由题意得：
由抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律,掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．
6. 如图，小明和小刚分别设计了两个转盘（每一个转盘中的扇形面积均相等），两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用树状法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
【详解】解：画树状图如图所示，
共有12种等可能结果，其中能配成紫色的只有2种，
∴P（配成紫色）；
故选：C．
【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
7. 如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡比的意义设米，可知米，在中，利用勾股定理构建方程求出x即可得到．掌握坡比的定义是解答本题的关键．
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴米，则米，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍去），
∴．
故选D．
8. 如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．
【详解】解：在矩形中，
，
∵，
是等腰直角三角形，
，，
，
扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
圆锥的底面圆的半径为，
，
解得．
故选：A．
9. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12B. 9C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】∵点，中点，
∴点坐标，
∵在双曲线上，代入可得，
∴，
∵点在直角边上，而直角边与轴垂直，
∴点的横坐标为-6，
又∵点在双曲线，
∴点坐标为，
∴AC=3，
从而，
故选B
10. 如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】连接根据切线得到，结合垂线段最短找到P点即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，此时即为最小的，半径不变当最小时也最小，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
解得：，
∴，
∴，
∵是的一条切线，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，圆外一点到圆的最短距离，切线的性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是关键．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．）
11. 二次函数的顶点坐标为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式直接求出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数，
该函数图像的顶点为，
故答案为：
12. 在中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是正确计算出的长．
首先利用勾股定理计算出长，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：.
13. 二次函数的图象经过原点，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的半径是______．
【答案】5
【解析】
【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，结合图形可得出圆锥的高及底面半径，继而可求出圆锥侧面展开图的半径．
【详解】解：依题意知高h=4，底面半径r=6÷2=3，
由勾股定理求得母线长为：，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三视图的知识和勾股定理的应用，根据三视图判断出圆锥的高和底面圆的半径是解题的关键．
15. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
16. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.
17. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为______．
【答案】米
【解析】
【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．
【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形
，
由已知可得：，，米，，米，，
米，
米
米
解得米
米
故答案为：米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．
18. 下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同：②该函数的图象一定经过点：③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的形状由二次项系数决定，两个二次函数的二次项系数都为，则二次函数与二次函数的图象形状相同，即可判断①；求出当时，y的值即可判定②；根据二次函数的增减性即可判断③；求出二次函数的顶点坐标为，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数与二次函数的二次项系数都为，
∴二次函数与二次函数的图象形状相同，故①正确；
中，当时，，
∴二次函数一定经过点，故②正确；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，并不能得到当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的顶点坐标在函数的图象上，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】此题考查了特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算等知识，熟练特殊角的三角函数值和运算法则是解题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值、利用负整数指数幂、化简二次根式，再进行运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示．
（1）请画出这个几何体A的三视图．
（2）若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）；
（3）若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）4
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图：
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可；
（2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积；
（3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体；
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是，
则这个几何体的总面积为：；
故答案为：
【小问3详解】
解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个小正方体．
故答案为：4
21. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
【答案】（1）100名，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次被调查的学生有名；
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率是；
22. 如图，为直径，点C在上，平分，，垂足为E．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）详见解析
（2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等边对等角等等：
（1）连接，如图，由平分得到，于是可判断，根据平行线的性质得，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到，再判断，然后利用相似比可计算出，从而得到的半径．
【小问1详解】
证明：如图所示，连，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵点C在上，
∴为的切线．
【小问2详解】
解：如图所示，连，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的半径为。
23. 八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cs37°≈ 0.80，tan37°≈0.75
【答案】菜园与果园之间的距离为630米
【解析】
【分析】过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，则，
∵∠B=90°，
四边形是矩形，
，BC=EF，
在中，，
∴BE=240，
∴AE=AB-BE=210，
在中，，，
米．
∴BC=EF=DF+DE=180+450=630
答：菜园与果园之间的距离630米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
24. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
【解析】
【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得：
，解得：，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：
，
∴-2＜0，开口向下，对称轴为，
∵，
∴当时，w有最大值，即为；
答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
25. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】（1）
（2）
（3） 的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
【小问2详解】
解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
【小问3详解】
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
（考试时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页．
2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．）
1. 的值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正切．熟练掌握特殊角的正切是解题的关键．
根据，作答即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 若反比例函数的图象经过点（﹣2，m），则m的值是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点（-2，m）代入反比例函数即可求出m的值．
【详解】把（﹣2，m）代入，得
．
故选C．
【点睛】本题考查了查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的坐标符合函数解析式．
3. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
4. 如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键．
【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置．
，
故选：C．
5. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是( )
A. 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B. 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D. 先向右平格6个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可
【详解】由题意得：
由抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律,掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．
6. 如图，小明和小刚分别设计了两个转盘（每一个转盘中的扇形面积均相等），两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用树状法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
【详解】解：画树状图如图所示，
共有12种等可能结果，其中能配成紫色的只有2种，
∴P（配成紫色）；
故选：C．
【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
7. 如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡比的意义设米，可知米，在中，利用勾股定理构建方程求出x即可得到．掌握坡比的定义是解答本题的关键．
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴米，则米，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍去），
∴．
故选D．
8. 如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．
【详解】解：在矩形中，
，
∵，
是等腰直角三角形，
，，
，
扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
圆锥的底面圆的半径为，
，
解得．
故选：A．
9. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12B. 9C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】∵点，中点，
∴点坐标，
∵在双曲线上，代入可得，
∴，
∵点在直角边上，而直角边与轴垂直，
∴点的横坐标为-6，
又∵点在双曲线，
∴点坐标为，
∴AC=3，
从而，
故选B
10. 如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】连接根据切线得到，结合垂线段最短找到P点即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，此时即为最小的，半径不变当最小时也最小，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
解得：，
∴，
∴，
∵是的一条切线，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，圆外一点到圆的最短距离，切线的性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是关键．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．）
11. 二次函数的顶点坐标为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式直接求出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数，
该函数图像的顶点为，
故答案为：
12. 在中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是正确计算出的长．
首先利用勾股定理计算出长，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：.
13. 二次函数的图象经过原点，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的半径是______．
【答案】5
【解析】
【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，结合图形可得出圆锥的高及底面半径，继而可求出圆锥侧面展开图的半径．
【详解】解：依题意知高h=4，底面半径r=6÷2=3，
由勾股定理求得母线长为：，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三视图的知识和勾股定理的应用，根据三视图判断出圆锥的高和底面圆的半径是解题的关键．
15. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
16. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.
17. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为______．
【答案】米
【解析】
【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．
【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形
，
由已知可得：，，米，，米，，
米，
米
米
解得米
米
故答案为：米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．
18. 下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同：②该函数的图象一定经过点：③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的形状由二次项系数决定，两个二次函数的二次项系数都为，则二次函数与二次函数的图象形状相同，即可判断①；求出当时，y的值即可判定②；根据二次函数的增减性即可判断③；求出二次函数的顶点坐标为，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数与二次函数的二次项系数都为，
∴二次函数与二次函数的图象形状相同，故①正确；
中，当时，，
∴二次函数一定经过点，故②正确；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，并不能得到当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的顶点坐标在函数的图象上，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】此题考查了特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算等知识，熟练特殊角的三角函数值和运算法则是解题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值、利用负整数指数幂、化简二次根式，再进行运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示．
（1）请画出这个几何体A的三视图．
（2）若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）；
（3）若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）4
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图：
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可；
（2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积；
（3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体；
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是，
则这个几何体的总面积为：；
故答案为：
【小问3详解】
解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个小正方体．
故答案为：4
21. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
【答案】（1）100名，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次被调查的学生有名；
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率是；
22. 如图，为直径，点C在上，平分，，垂足为E．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）详见解析
（2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等边对等角等等：
（1）连接，如图，由平分得到，于是可判断，根据平行线的性质得，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到，再判断，然后利用相似比可计算出，从而得到的半径．
【小问1详解】
证明：如图所示，连，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵点C在上，
∴为的切线．
【小问2详解】
解：如图所示，连，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的半径为。
23. 八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cs37°≈ 0.80，tan37°≈0.75
【答案】菜园与果园之间的距离为630米
【解析】
【分析】过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，则，
∵∠B=90°，
四边形是矩形，
，BC=EF，
在中，，
∴BE=240，
∴AE=AB-BE=210，
在中，，，
米．
∴BC=EF=DF+DE=180+450=630
答：菜园与果园之间的距离630米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
24. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
【解析】
【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得：
，解得：，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：
，
∴-2＜0，开口向下，对称轴为，
∵，
∴当时，w有最大值，即为；
答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
25. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】（1）
（2）
（3） 的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
【小问2详解】
解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
【小问3详解】
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
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