218，浙江省杭州市杭州观成实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份218，浙江省杭州市杭州观成实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理求得斜边的长，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：
，
．
故选：B．
2. 二次函数的图象经过原点，则下列对系数的判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过坐标原点，将（0，0）代入，得c=0.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过坐标原点，
∴将（0，0）代入，
c=0，
∴c=0
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3. 已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3，
∴线段OA的长度＞3．
故选：D．
【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
4. 如图，点C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理；先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5. 已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，求得，进一步计算即可求解．
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴图象的顶点坐标为．
故选：A．
6. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A. B. 平分C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A；结合角平分线的定义可判断B；结合直角三角形两个锐角互余可判断C；D选项没有条件可判断和相似．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，故A能判断，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴，故B能判断，不符合题意；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，故C能判断，不符合题意；
∵，结合题意没有满足使和相似的条件，
∴不能判断，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
7. △ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AE=2AM=．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（ ）
A. 100°B. 105°C. 110°D. 115°
【答案】B
【解析】
【分析】设BD交OC于E，连接OD，OA，求出OE=OD，求出∠ODE=30°，求出∠ODC=60°，根据圆周角定理求出∠AOD，求出∠ADO=∠OAD=45°，再求出答案即可．
【详解】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，
∵BD垂直平分OC，
∴OE=OC=OD，∠OED=90°，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOC=90°-30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=（180°-∠AOD）=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+60°=105°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，圆周角定理等知识点，能求出∠AOD和∠ODC的度数是解此题的关键．
9. 已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A. y1< y2< y3B. y1 < y3< y2C. y3< y1< y2D. y2< y3< y1
【答案】B
【解析】
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵y=x2－2ax +1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【点睛】本题的关键是二次函数的对称性和增减性,根据二次函数解析式确定函数图像的对称轴是解答本题的关键．
10. 在中，D，E分别为上的点，且，连结，交于点F，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过D作DG∥AC交BE于G，可得△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，根据相似三角形的性质可得x与y 的数量关系.
【详解】解：如图，过D作DG∥AC交BE于G，
∴△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，
∴，，
∵AC＝2EC，
∴AE＝CE，
则
∴，
∴，
∵x＝CD：BD，y＝AF：FD，
∴1+x＝y，
∴y＝x+1，
故选：A．
．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 如图，四边形内接于，则的度数为_______，则的度数为_______．
【答案】 ①. ##度 ②. ##度
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半得到，再根据圆内接四边形对角互补可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴ ．
故答案为：；．
12. 如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，，，，米．则点C到的距离=_______米；线段的长度为_________米．
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定理，根据，得到，过点C作于点E，根据角度关系得到从而得到，最后结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：过点C作于点E，
∴，
∵，（米），
∴（米），
∴点C到的距离是米；
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴（米），
在中，，米，
∴，
∴（米），
由勾股定理得，（米），
∴线段的长度是米．
故答案为：；．
13. 如图，在中，，，若的周长为6，则的周长为 _______；若，则_______．
【答案】 ①. 15 ②. 16
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．
由得到，根据“相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方”即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：15；16
14. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元．
【答案】 ①. 360 ②. 10240
【解析】
【分析】设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
【详解】设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
15. 如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接．连接并延长，与的延长线相交于点E．若，半径，则的长为_____；的长为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据直径所对圆周角为90°得出是解题关键．
先证明，得出，即可求出的长，连接，则，根据勾股定理求出和的长度即可求解．
【详解】解：∵为直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
连接，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴．
故答案：4；．
16 如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连结AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：_____；②m＝_____（用含S1，S3的代数式表示m）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为 则 再表示正方形ABCD的面积为： 正方形EFGH的面积为： 正方形IJKL的面积为： 可得；由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得： 可得 同理： 证明 同理：再证明 同理： 可得四边形是正方形，再证明 可得 求解 可得 从而可得答案．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为
则
正方形ABCD的面积为：
正方形EFGH的面积为：
正方形IJKL的面积为：



由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得：

同理：
由正方形EFGH可得：


同理：
四边形是矩形，
正方形IJKL，




同理：
四边形是正方形，
由









正方形ABCD的面积为：
正方形EFGH的面积为：
正方形IJKL的面积为：

故答案为：，
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的运用，分式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（第17题4分，18、19题各6分，第20、21、题各8分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共66分）
17. 计算求值：（1）已知，求的值；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件设a=3k，b=4k，然后把它们代入中计算分式的运算即可；
（2）利用特殊角的三角函数值直接代入求出答案．
【详解】解：（1）∵
∴设，
则；
（2）
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及比例式，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可．
（2）先求出抛物线C顶点坐标，再根据平移的性质求出抛物线的顶点坐标即可．
【小问1详解】
解：将点和分别代入抛物线中
可得
解得
∴抛物线C的解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线C的解析式为
∴
∴当时，
∴抛物线C的顶点坐标为
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为
【点睛】此题考查了抛物线的问题，解题的关键是掌握抛物线的性质、待定系数法以及平移的性质．
19. 如图，正方形中，为上一点，过E作交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，根据“同角的余角相等”可得，由此可证；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
，，
，
，
，
．
20. 某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面处出发，沿坡角为的山坡直线上行一段距离到达处，再沿着坡角为的山坡直线上行米到达处，通过测量数据计算出小山高．
（1）已知与交于点，求的长度（结果精确到，参考数据：，）；
（2）求该数学小组行进的水平距离（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过作于，过作于，则四边形是矩形，在中，根据，即可求解．
（2）先求得，解，求得，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：过作于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
在中，，，
（），（），
【小问2详解】
，，
（），
在中，，
，
（），
（），
答：该数学小组行进的水平距离约为．
21. 如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）72°
【解析】
【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可知∠ADB+∠ACB＝180°，即可证明∠ACB＝∠ADE．再由等腰三角形的性质可知∠ABC＝∠ACB．根据圆周角定理又可推出∠ABC＝∠ADC，从而即可得出∠ADC＝∠ADE，即AD平分∠EDC；
（2）根据（1）得出∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，再由三角形内角和定理即可求出的大小，最后根据圆周角定理即可求出的大小，即的度数．
【小问1详解】
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
【小问2详解】
由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的定义以及三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题的关键．
22. 已知二次函数（a为常数，）．
（1）若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设，是该函数图象上两点，其中，当时，都有，求a的取值范围．
【答案】（1），
（2）该二次函数的图象与x轴没有交点
（3）且
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出a的值，即得二次函数的解析式；利用顶点坐标公式计算，即得顶点坐标；
（2）计算判别式的值，即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数；
（3）将，得坐标代入，然后计算所表示的代数式，得到，再通过，及，即可推得a的取值范围．
小问1详解】
将点的坐标代入函数解析式，得，
解得；
因此，二次函数的解析式为；
，，
该二次函数的顶点坐标为；
【小问2详解】
令，则，
当时， ，
则该二次函数的图象与x轴没有交点；
【小问3详解】
，是该函数图象上的两点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
且．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
23. 如图1，是的直径，弦，垂足为点E，连接．连接并延长交于点G，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，若，设，．
①用含有x的代数式表示的长；
②求y关于x的函数关系式．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）①；②．
【解析】
【分析】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程等知识点，能正确构建方程，利用换元法解方程是解本题的关键．
（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到结论；
（2）如图1，连接，先根据垂径定理得：，根据三角函数可得的长，设，则，利用勾股定理列方程可得的长，最后根据三角形中位线定理可得的长；
（3）①如图2，连接，解直角三角形即可得到结论；
②根据圆周角定理得到根据平行线的性质得到根据相似三角形的性质得到求得得到如图3，连接，推出根据三角函数的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
【小问2详解】
解：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴．
【小问3详解】
解：①如图2，连接，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图3，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即 ，
两边同时除以，得： ，
设，则原方程变形为：，
，
，
∴（舍），，
∴，
∴，
∴．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）坐标系见解析，；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象上点的坐标特征．
（1）建立如图所示坐标系，得出顶点R的坐标为，点，设抛物线的表达式为：，将点R和点B代入，求出h和k的值，即可得出右侧抛物线的表达式为；再根据对称性，即可得出左侧抛物线的表达式为．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，求出当时，（不合题意，舍去）．则，进而得出，即可得出G的坐标为．
（3）先得出则中间抛物线的表达式为：，根据水柱的最高点与点P的高度差为，和顶点纵坐标的表达水，求出，则抛物线的表达式为，再将点H的坐标代入抛物线表达式求出c的值即可解答．
【详解】解：（1）建立如图所示坐标系，
由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点，
设抛物线的表达式为：，
则，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则右侧抛物线的表达式为：；
由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
当时，即，
解得：（不合题意，舍去）．
∴．
又，
∴．
∴G的坐标为：．
（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
则中间抛物线的表达式为：，
∵水柱的最高点与点P的高度差为，
即：该抛物线的最高点，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
由（2）知，点，
将点H的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即．
如何设计喷水装置的高度？
素材1
如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．
素材2
如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件：
①不能碰到图2中的水柱；
②落水点G，M的间距为；
③水柱的最高点与点P的高度差为；
④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2
探究落水点位置
在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3
拟定喷水装置的高度
求出喷水装置的高度．