255，江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份255，江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟．）
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________．
【答案】x=±2
【解析】
【详解】移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
2. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
3. 已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是________（选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）．
【答案】圆外
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外；点在园内，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
点与的位置关系是点在圆外，
故答案为：圆外．
4. 用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值．
【详解】解：，
，
，即，
，
故答案为：．
5. 圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
【答案】且
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则有且，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，且，
即，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．
7. 如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算．
【详解】解：由作图知∶垂直平分，
扇形的半径是2，
故答案为∶．
8. 如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝____．
【答案】32°##32度
【解析】
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO=90°，则利用互余计算出∠POC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算即可求解．
【详解】解：连接OC，如图
因为PC为切线，
∴ OC⊥PC，
∴∠PCO = 90°
∴∠POC= 90°-∠P= 90°- 26°= 64°
OA= OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠POC=∠A +∠OCA，
∠A=°=32°
故答案为：32°
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，一般要连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
9. 镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
10. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．
【答案】8
【解析】
【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
11. 如图，在中，直径与弦交于点，，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由切线的性质得出，从而得出，由圆周角定理得出，再求出，得到，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，连接，，，，则是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，由勾股定理计算出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点为线段的中点，，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. 2x﹣3＝xB. 2x+3y＝5C. 2x﹣x2＝1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
14. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，
则这个方程根的判别式为，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
15. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：是一元二次方程两个根，
，
故选：B．
16. 如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，由题意得出，，求出长即可得出答案，熟练掌握切线长定理是解此题的关键．
【详解】解：是的切线，切点分别是，
，，
，
，
故选：B．
17. 如图，点、、、为一个正多边形顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 5B. 10C. 12D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴，
∴这个正多边形的边数为=10．
故选：B．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
18. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
四个矩形的长为，宽为，
大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为，
，
大正方形的面积还可以表示为，
，
，
综上所述，，
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
，即，
，
解得：，；
【小问3详解】
解：，
，
，
或，
解得：，；
【小问4详解】
解：，
，
，
或，
解得：，．
20. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ=>0，求解即可；
（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，再用公式法求解方程即可．
【小问1详解】
解：由方程可知：
Δ=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=即：，
∴
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵，
∴k的最大整数值为0，
把，代入方程可得方程，
解这个方程得，．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：Δ>0，方程有两不相等实数根，Δ=0，方程有两相等实数根，Δ