福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，设等差数列的前n项和为，若，则，在等比数列中，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5mm黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．
5．设正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
6．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，直线，P为l上的动点，过点P作的切线PA，PB，切点为A、B，当AB弦长最小时，则直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则m的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
10．在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与之间的距离为4D．
12．如图，在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ）
A．存在点P，使得平面B．存在点P，使得平面
C．当时，的最大值为1D．当时，的最小值为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，且，，共面，则x的值为__________．
14．已知平面内的动点P到两定点，的距离分别为和，且，则点P到直线的距离的最大值为__________．
15．“康托尔尘埃”具有典型的分形特征，其生成过程如下：在单位正方形中，首先将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为；然后将保留的4个小正方形分别继续9等分，继续分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；以此类推．若操作过程不断进行n次，则__________．
16．斜率为1的直线与双曲线（，）交于两点A，B，点C是曲线E上的一点，满足，和的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为，，，若，则双曲线E的离心率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线AB与平面BMN所成角的余弦值．
19．（12分）
已知数列中，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
20．（12分）
习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业、根据规划，2021年抆入1000万元，以后每年投入将比上一年减少．当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：，，）
21．（12分）
在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
22．（12分）
已知F是椭圆的右焦点，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，的最大值为．当时，的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B为椭圆的左、右顶点，点P满足，当M与A、B不重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM、BN交于点T，求的最大值．
厦门双十中学2023~2024学年（上）第二次月考
高二数学试题参考解答
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
【详解】设正四面体OABC棱长为1，设，，，
则，，
，，．
，F分别为AB，OC的中点，，是等边三角形，
，，，
．
异面直线OE与BF所成角的余弦值为．故选：D．
8．【答案】C
【详解】由题设，，则，半径，如下图示，
等腰中，要使最小，只需最小，即有最大，
当且仅当，即最小时，最大，此时，且，
所以，而，，
所以，
所以到直线AB的距离，
令直线，则或，
由图知：，即宜线．故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD
10．【答案】ABC
11．【答案】BC
12．【答案】BC
【详解】对于A：由题意得P在正方形ABCD的内部（包括边界），
在正方体中，平面，
若平面，则P在直线上，不符合题意，A错误．
对于B：如图，当，P与C重合时，连接AC，．
是正方形，，
平面ABCD，平面ABCD，，，，平面，
平面，平面，．
是正方形，，
平面，平面，，，，平面，
平面，平面，．
，BD，平面，平面，B正确．
对于CD：如图，当时，得，
则P在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，
设，，，
则有，得，得，
，
由，得，则，C正确，D错误．故选：BC．
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答穿】5
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
【详解】若直线与双曲线有两个交点G，H，设G，H的中点为K，
联立方程组，整理得，
可得，则，
又由在直线上，可得，
所以，所以，
即直线l与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l的斜率之积为定值，
如图所示，取AC，BC的中点M，N，
因为的重心P在中线OM上，的重心Q在中线ON上，
所以，，可得，即，
又由，可得，可得，
因为，且的外心为点R，则R为线段AB的中点，可得，
因为，所以，所以，所以，
所以．故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解】（1）由题意知：，，
即：，化简得．
所以数列的通项公式．
（2）因为，
所以①
①：②
①-②：，
，
化简得：．
18．（12分）
【解】（1）证明：（法一）：
取BC的中点G，连接GN，，
直三棱柱中，M为的中点，所以，且，
因为G，N分别BC，AC的中点，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，故平面．
（法二）：
取AB的中点K，连接MK，NK，由直三棱杜可得四边形为平行四边形，
又为的中点，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，故平面．
点N，K分别为AC，AB的中点，，
又平面，平面，平面，
而，平面MNK，平面MNK，平面平面，
而平面MNK，故平面．
（2）在直三棱柱中又有，
，BA，两两垂直，分别以直线BC，BA，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设是平面BMN的法向量，则，取，则，
设直线AB与平面BMN所成的角为，则，
所以直线AB与平面BMN所成的角的余弦为．
19．（12分）
【解】（1）法一：因为，所以，
所以，所以，所以是常数列，
所以，所以．
法二：因为，①
所以，②
②-①，得，所以，所以是等差数列，
由中令得，
又，故，所以等差数列的公差，所以．
（2），
当n为偶数时，．
当n为奇数时，，
所以或．
20．（12分）
【解】（1）2021年投入为1000万元，第n年投入为万元，
所以n年内的总投入为，
2021年收入为500万元，第2年收入为万元，第n年收入为万元，
所以n年内的总收入为．
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即，化简得，
设，代入上式并整理得，解此不等式，得或（舍去）．即，
不等式两边取常用对数可得，即，
所以，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入．
21．（12分）
【解】（1）设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为．
动圆P与圆内切，且与圆外切，，
动圆P的圆心的轨迹E是以，为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中，，，，
从面轨迹E的方程为：．
（2）解法一：设m型直线：
①直线AB，DG有一条斜率不存在时，可知四边形ADBG面积；
②当直线AB，DG斜率都存在时，则斜率必都不为0，
设直线AB的方程为，，，
由可得：，
，，，
．
，，则由对称性
同理可得，
，不难知道AB，DG交点必在曲线E内部，
四边形ADBG面积，
（思路一），
等号当且仅当时取，即时，此时，所以．
（思路二）令，，，则，
当，即时，此时，所以．
解法二：设k型直线：
①直线AB，DG有一条斜率不存在时，可知四边形ADBG面积；
②当直线AB，DG斜率都存在时，则斜率必都不为0，
设直线AB的方程为，，，则，
由可得：．
，，
．
，，则同理可得，
，不难知道AB，DG交点必在曲线E内部，
四边形ADBG面积，
（思路一），
等号当且仅当时取，即时，此时，所以．
（思路二）令，，，则，
当，即时，此时，所以．
22．（12分）
【解】（1）解：设点，则，，
因为，所以，，
设椭圆左焦点为E，因为，所以．即，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
因为此时，所以，所以，所以．
因为，所以，，所以椭圆E的方程为．
（2）解：设点，，，
因为点P满足，则，解得，所以，
由题知MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，、，
联立方程组，消x整理得，
则，，，
因为AM的方程为，AN的方程为，
两直线方程联立得：．
因为，所以，解得，
所以动点T的轨迹方程为．
由椭圆的对称性不妨设，直线TA、TB的倾斜角为、，
由图可知，且，
因为，则，
因为，，
所以，
当且仪当时等号成立，此时，，所以的最大值为．