广东省深圳市南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试卷，共24页。试卷主要包含了的相反数是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共30分）
1．的相反数是
A．B．C．D．3
2．如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是
A．B．C．D．
3．据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客63862000人次，将数63862000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．关于的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是
A．B．C．D．
6．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则
A．B．C．D．
7．在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是
A． B． C． D．
8．如图，的半径为，四边形内接于，连接、，若，则的长为
A．B．C．D．
9．如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，，，则的值为
A．B．C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式： ．
12．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为 ．
13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为 米．
15．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则 ．
三．解答题（共55分）
16．（5分）计算：．
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，，，．五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ，扇形统计图中的圆心角度数为 ；
（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在 组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
19．（8分）已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
20．（8分）如图，是的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，连接，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（9分）综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
操作探究：
（1）如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ．若是的中点，连接，则与的数量关系是 ．
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
拓展应用：
（3）如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标；
（3）点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的相反数是
A．B．C．D．3
【解答】解：的相反数是，
故选：．
2．如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、主视图为长方形，故本选项符合题意；
、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
、主视图为圆，故本选项不符合题意．
故选：．
3．据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客63862000人次，将数63862000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：将数63862000用科学记数法表示为．
故选：．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
故选：．
5．关于的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是
A．B．C．D．
【解答】解：由数轴表示不等式解集的方法可知，这个不等式组的解集为，
故选：．
6．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由作法知，
，
，，
在中，，
．
故选：．
7．在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：小刚平均每小时比小敏多植1棵树，
；
小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
8．如图，的半径为，四边形内接于，连接、，若，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形内接于，
，
，，
，
解得：，
，
劣弧的长；
故选：B．
9．如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：，
，
根据图象可知，当，函数与轴有两个交点，故①正确；
，
，
，故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，该函数和轴的另一个交点为；
当，函数，故③错误；
，，
，故④正确．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，，，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点作轴，垂足为，
由于反比例函数的图象经过点，可设点，则，
点，点，点是的中点，
点，，
又反比例函数的图象经过点，
，
解得，
经检验是原方程的根，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，即，，，
，
，
点，，
，
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式： ．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
12．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为 16 ．
【解答】解：设黑球的个数为，则根据题意可得：
摸到白球的概率为，
解得，
经经验，是原方程的解，
黑球个数为16，
故答案为：16．
13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△
，
解得：．
故答案为：．
14．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为 1.2 米．
【解答】解：如图，过点作地面的平行线，过点作，
太阳光与地面的最大夹角为，
，
垂直于地面，
，
，，
四边形是矩形，
，，
米，米，
（米，
米，
，
，即，
解得（米，
遮阳棚水平宽应设计为1.2米．
故答案为：1.2．
15．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则 ．
【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
三．解答题（共7小题）
16．计算：．
【解答】解：原式
．
17．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
，
当时，原式．
18．为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，，，．五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1） 40 ， ，扇形统计图中的圆心角度数为 ；
（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在 组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
【解答】解：（1）根据条形图和扇形图可得：，
，
，
扇形统计图中的圆心角度数为，
故答案为：40，20，；
（2）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而这两个数据均落在组，所以学生每天完成作业时间的中位数落在组；
故答案为：；
（3）组人数有：（人，
（人，
答：估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有800人．
19．已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
【解答】解：（1）设梨子的价格是元箱，则苹果的价格是元箱，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：苹果的价格是80元箱，梨子的价格是50元箱；
（2）设购进苹果箱，则购进梨子箱，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种水果总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买这两种水果总费用的最小值为4200元．
20．如图，是的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，连结，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连结，
是的切线，是切点，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，
，
，，
是的直径，
，
于点
，，
，
，
，
，
，
．
21．综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
操作探究：
（1）如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 90 ．若是的中点，连接，则与的数量关系是 ．
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
拓展应用：
（3）如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
【解答】解：（1）为等边三角形，将绕点旋转，得到，
，
，，
，
；
是的中点，是的中点，
，
故答案为：90；；
（2）由旋转的性质，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，
；
（3）分以下两种情况进行讨论：
①如图．当点在下方时，
根据题意，得为等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中点，
，
；
②如图，当点在上方时，
同理，可得，．
综上所述，的长为或1．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标；
（3）点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
，
，
；
（2）如图1，
，
，
作轴，交于，
，
，
，
， ，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，
；
（3）如图2，
设交轴于，作，交直线于，过点作轴，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，，
直线的解析式为，
由得，
（舍去），，
当时，，
，
如图3，
设射线交轴于，
，，
，
由上知：，，，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由得，
（舍去），，
当时，，
，
综上所述：或．