山东省东营市第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省东营市第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试数学试卷（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了02）， 设，随机变量的分布列为， 在展开式中，的系数为， 椭圆具有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，随机变量的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
3. 在展开式中，的系数为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
4. 已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A. B. 6C. 或4D. 4或6
5. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（ ）

A. 6B. 8C. 9D. 10
6. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A 2B. C. 3D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9. 4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A. 若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B. 若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C. 若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D. 若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
10. 在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B. 若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C. 若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D. 若，为曲线上一点，则的取值范围是
11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ）
A B.
C. D.
12. 在棱长为2的正方体中，为平面上一动点，下列说法正确的有（ ）
A. 若点在线段上，则平面
B. 存在无数多个点，使得平面平面
C. 当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1
D. 若，则点轨迹为抛物线
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 已知为正整数，且，则__________.
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率______.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求值及二项式系数最大项；
（2）求的值（用数值作答）.
18. 如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）点在线段上，若，求与平面所成的角的大小．
19. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．
20. 已知抛物线，为的焦点，直线与交于不同的两点、，且点位于第一象限.
（1）若直线经过的焦点，且，求直线的方程；
（2）若直线经过点，为坐标原点，设的面积为，的面积为，求的最小值.
21. 如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为上的一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
（1）求的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.5
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2023-2024学年度第二学期收心考试
高二数学（2024.02）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.
【详解】因为双曲线方程为：，
所以渐近线方程为：.
故选：D
2. 设，随机变量的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分布列的性质，列式计算即得.
【详解】由，得，
所以.
故选：D
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】写出每一项的表达式，即可得出的系数.
【详解】由题意，
在中，每一项为，
当即时，，
故选：D.
4. 已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A. B. 6C. 或4D. 4或6
【答案】D
【解析】
【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可.
【详解】点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，
所以，所以或.
故选：D.
5. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（ ）

A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可.
【详解】底面为菱形，，
,
为棱的中点,
，
解得.
故选: A.
6. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时，取得最大值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由点是圆上的一点，是圆上的两点，
可得圆心，半径，
根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时，
此时取得最大值，此时，
可得，所以，所以.
故选：B.
7. 今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对观看《长安三万里》的人数进行分类讨论，利用排列和组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）小明和其中一人同时看《长安三万里》，另外两人看剩余三部电影中的两部，
此时，所求概率为；
（2）观看《长安三万里》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，
再将这两组人分配给两部电影，此时，所求概率为.
综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为.
故选：B .
8. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合椭圆性质以及光学性质得，再结合即可得解.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，
则.
故，解得.
又，所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用来表示，由此即可顺利得解.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9. 4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A. 若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B. 若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C. 若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D. 若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用相邻与不相邻、有位置限制及定序的排列问题，列式计算判断即可.
【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误；
对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起，
与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确；
对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确；
对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确.
故选：BCD
10. 在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B. 若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C. 若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D. 若，为曲线上一点，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程即可判断选项AB，利用椭圆和双曲线方程中的关系即可判断选项C，根据椭圆定义，化简求解即可判断选项D.
【详解】设曲线的半焦距为.
对于A，若为双曲线，则，
所以，解得，则，
双曲线的焦距为，所以A错误；
对于B，的一条渐近线方程为，，
所以点到渐近线的距离，
又，则，
所以，所以B正确；
对于C，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，故C正确；
对于D，设，，则，
，
又，
所以当时，，
当或时，，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.
【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”，
则，，，
，，，故A正确，B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，，故D正确．
故选：ACD．
12. 在棱长为2正方体中，为平面上一动点，下列说法正确的有（ ）
A. 若点在线段上，则平面
B. 存在无数多个点，使得平面平面
C. 当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1
D. 若，则点的轨迹为抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断AD的正误，对于C，可先求出的轨迹为直线，再结合点线距可求轨迹被球截得的长度，故可判断其正误，对于D，可先求出的轨迹，据此可判断其正误.
【详解】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
A，因为点在线段上，故，其中，故，
设平面的法向量为，而，
故，故，取，则，故，
故，故，而平面，故平面，故A正确.
B，，而，故平面，
当时，确定一个平面，此时平面，故平面平面，故B正确.
C，设，则，
设平面的法向量为，又，
故即，取，故，故，
因为平面，故即，
所以，故的轨迹为直线，而，
故到直线的距离为，
故点的轨迹（即直线）被以为球心，为半径的球截得长度为，故C正确.
D，因为，故在以为顶点，为轴的圆锥面上，且圆锥轴截面的顶角的半角为，
在平面上，故在平面与圆锥面的截面上，但平面，故该截线为双曲线的一支，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：如果圆锥的轴截面顶角为，圆锥的对称轴与平面所成的角为，则当时，平面与圆锥面的截面为抛物线；当时，平面与圆锥面的截面为椭圆，当时，平面与圆锥面的截面为双曲线的一支.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 已知为正整数，且，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得.
故答案为：.
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率______.
【答案】
【解析】
【分析】由题知该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，根据相互独立事件同时发生的概率公式代入计算即可．
【详解】由题，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，设A，B，C元件能正常工作为事件A，B，C，该电路正常工作为事件D，由题A，B，C相互独立，则
故答案为：．
15. 如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.
【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为，

∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，
∴在上扫过面积为.
故答案为：.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求值及二项式系数最大项；
（2）求的值（用数值作答）.
【答案】（1）
（2）3281
【解析】
【分析】（1）根据题意知最大得出的值，再计算即可；
（2）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得出的值.
【小问1详解】
因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
即仅有最大，所以，故.
即，二项式系数最大项为第5项：；
【小问2详解】
令，得，
令，得.
两式相加可得.
18. 如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）点在线段上，若，求与平面所成的角的大小．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，求解即可；
（2）作交于点，连接，则与平面所成的角为，由勾股定理求出，即可得出答案.
【小问1详解】
因为为正方形，则，
则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，
因为正方形的边长为1，三角形是等边三角形．
所以，平面平面，
所以，所以，
．
所以异面直线与所成的角为．
【小问2详解】
作交于点，连接，
平面平面，
则与平面所成的角为，
因为，所以，则，
所以
，
则与平面所成的角的大小为
19. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【小问1详解】
记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”．
则，，
设事件C表示“学生甲被录取”，则，
所以，
所以学生甲被录取的概率为.
【小问2详解】
由题分析知，的可能取值为2，3，4.
所以的分布列为
20. 已知抛物线，为的焦点，直线与交于不同的两点、，且点位于第一象限.
（1）若直线经过的焦点，且，求直线的方程；
（2）若直线经过点，为坐标原点，设的面积为，的面积为，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式求出的值，即可得出直线的方程；
（2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，可得出，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得的最小值.
【小问1详解】
解：依题意知，.
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，则，
由韦达定理可得，
所以，，
解得，所以，直线的方程为或，
即或.
【小问2详解】
解：若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，则，
由韦达定理可得，则，即.
不妨设，则，
所以，的面积为，
的面积为，
所以，，
当且仅当时，即时取等号.
所以的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21. 如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为上的一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，从而得平面，由面面垂直的判定可证得结论；
（2）取中点，可得平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据二面角的向量求法可求得的值，利用点到平面的距离的向量求法求得结果.
【小问1详解】
在梯形中，取中点，连接,

∵，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
【小问2详解】
取中点，连接，
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
，分别为，中点，，平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
∴，
，
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，则，
∵平面与平面夹角的余弦值为，
又平面的一个法向量，
则，解得，
∴，又，
∴点到平面的距离.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
（1）求的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点代入方程计算即可得；
（2）分直线的斜率存在与不存在进行计算，结合题意得到、的表示形式，结合韦达定理计算即可得；
（3）结合题意设出直线、方程，结合第二问得到的值，得到交点的横纵坐标的关系或通过联立联立直线方程计算交点纵坐标即可得.
【小问1详解】
由题意知，所以，
所以的标准方程为；
【小问2详解】
直线的方程为，所以，
当直线的斜率不存在时，
①若，
则；
②若，
则，
所以，
当直线的斜率存在时，设，
直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，
所以
，
综上，；
【小问3详解】
直线的方程为，直线的方程为，
设交点，
法一：，
即，
因为，所以，即点在定直线上.
法二：由（2）得，
由，得，
即点在定直线上.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键在当直线的斜率存在时，需联立直线的方程与椭圆方程，借助韦达定理得到交点坐标间的关系，从而计算的值.
5
8
9
2
3
4