湖南省2024届高三数学新改革提高训练五（九省联考题型）试卷（Word版附解析）

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（九省联考题型）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（ ）
A. 74B. 78C. 83D. 91
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.
因为，
所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.
故选：C.
2. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由代入即可求得.
【详解】，当时，，
当也满足，
所以数列的通项公式为.
故选：D
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】由，
由，
．
故选：C
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线和平面平行和垂直的性质即可判断出它们的位置关系，逐项得出结论即可.
【详解】对于A，若，则可能平行或相交，可得A错误；
对于B，若，则，即B正确；
对于C，若，则或，可知C错误；
对于D，若，则或，可知D错误；
故选：B
5. 已知，，且，则（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式求出的表达式，根据题意列方程，即可求得n的值.
【详解】的通项公式为，
二项式的展开式中项的系数为，
项系数为，
，，
即，即
，（负值舍），
故选：A.
6. 圆和圆的公切线方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
7. 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】取线段的中点，则，
，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，
连接，则，
同理，
由正六边形的几何性质可知，，
所以，，
则、、三点共线，则，即，
当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，
同理可知，，
当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，
所以，当取最大值时，点在折线段上运动，
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、、
、，设点，
（1）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
则；
（2）当点在线段上运动时，，，则，
所以，；
（3）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
所以，，
因为函数在上单调递增，
故.
综上所述，的最大值为，故，
故的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD.
【详解】由题意知，，则，
所以曲线在点处的切线方程分别为
，
因为切线均过原点，所以，
即，得，故AB错误；
由，得，画出函数与图象，如图，
设，如上图易知：，
由正切函数图象性质，得，即，
又，所以，
即，解得，故C正确，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换可得，即可代入验证求解对称轴以及对称中心，利用整体法即可判断D，根据周期公式即可求解A.
【详解】，
对于A，的最小正周期为，故A错误，
对于B, ,故的图象关于直线对称，B正确，
对于C，，故的图象关于点对称，C正确，
对于D，时，，故在上单调递增，D正确，
故选：BCD
10. 若、为复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用共轭复数的定义、复数的加法可判断B选项；利用复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘法可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，，则，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A错；
对于B选项，设，，
则，，
，，则，所以，，B对；
对于C选项，不妨取，，则，，，
所以，，故，C错；
对于D选项，设，则，所以，，
所以，，D对.
故选：BD.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 则的面积最小值为D. 则的面积大于
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似比可得解；对B，易证，可得为等边三角形，得解；对C，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出，表示出利用三角函数求出最小值，对D，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出可证，得解.
【详解】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，
故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，又，则为等边三角形，
所以，且，，故B正确；

对于C，分两种情况：
当点都在第一象限，如图1所示，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，
所以，
同理令，且，
，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，
则，所以，即，，
当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于C,D选项，关键是利用抛物线焦半径公式求出，从而易求出三角形面积.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，关于x不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，得到答案.
【详解】，令得，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
其中，
则的解集为，
要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，
此时解集为，此时.
故答案为：
13. 如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为__________.

【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得两两垂直，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，补成长方体后计算体对角线即可得其外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】如图，由题意，当平面平面，
是的中点，，即两两垂直，
又，
如图，作长方体，则三棱锥的外接球，
即是长方体的外接球，
设长方体的外接球的半径为，
则，
.
当三棱锥体积最大时，
其外接球的体积为.
故答案为：.
14. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先讨论m的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，

则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，
因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用m，n的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点

（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，如图所示，

为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
小问2详解】
，易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，
.
16. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？
（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列.
【答案】（1）甲班 （2），
（3）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；
（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则需要求和，而这需要先求和，再根据全概率公式求出，最后用贝叶斯公式求解即得；
（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得的分布列.
【小问1详解】
由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.
【小问2详解】
由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；
乙班中有的学生分数低于128分
设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，
则，，，，
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.
【小问3详解】
依题的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以的分布列为：
17. 设，为实数，且，函数（），直线．
（1）若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；
（2）当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由条件可得，即，令，构造，求导得其单调性，即可得到切点在直线上，即可得证；
（2）根据题意，转化为有2个不同的解，即证，然后构造函数有其单调性即可得证.
【小问1详解】
设切点横坐标为，可得，
得，即，
化简得，
令，得，
记，
所以时，单减，且时，
当，单增，，所以，，
，所以切点在直线上．
【小问2详解】
当时，由（1）得切线的斜率为，
直线与函数有两个不同的交点，得，
即有2个不同的解，
由题意得，，
做差得，即，
欲证，即证，即证，即
令，，即证即
下面先证明，令，
即证，即，
先证，令，
，单调递增得，因为，
所以，证得成立，
用替换，可得成立，
所以，即成立，得.
18. 已知圆，与x轴不重合的直线l过点，且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．
（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．
【答案】（1），
（2），且
【解析】
【分析】（1）根据平面几何可得，故点的轨迹为椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹的方程；
（2）设直线：，，直线与曲线联立方程组，根据的范围得且，再根据四边形的面积为，代入即可求解.
【小问1详解】
圆，
，
，
，，
，
∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．
【小问2详解】
设直线，由题意知且，
设，
，
由，
则，
所以
，
令且，
，
当时，；
当，；
当时，；
，且，
，且．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”.
（1）已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）
（2）已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；
（3）已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.
【答案】（1）、均为“数列”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出前4项，判断是否满足定义即可；求出前5项，判断是否满足定义.
（2）由题意知、，所以有穷数列为等差数列.
（3）抓住且为正整数，从而根据即可解题.
【小问1详解】
、均为“数列”
【小问2详解】
∵在“数列”中，，
又也是“数列”，则，
∴，
又的各项互不相同，
∴，
∴有穷数列为等差数列，
∵，，
则公差，
∴有穷数列的通项公式为.
【小问3详解】
∵“数列”是的一个排列，
∴当时，且为正整数.
又∵且，
∴①若，则，；
此时为连续自然数，且，
当，不符合题意；
当，不符合题意；
当，不符合题意；
当，或，符合题意；
当，
若为连续递增自然数，
当时，，与是的一个排列矛盾，舍去，
当时，与是的一个排列矛盾，舍去，
若为连续递减自然数，
当时，与是的一个排列矛盾，舍去，
当时，，与是的一个排列矛盾，舍去；
②若，则，；
此时为连续自然数，且，
当，不符合题意；
当，不符合题意；
当，不符合题意；
当，不符合题意；
当，
若为连续递增自然数，
当时，，与是的一个排列矛盾，舍去，
当时，又，与是的一个排列矛盾，舍去，
若为连续递减自然数，
当时，又，与是的一个排列矛盾，舍去，
当时，，与是的一个排列矛盾，舍去；