河南省西华县第三高级中学高三数学九省联考新题型寒假提升卷（一）数学试题及参考答案

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数和对应点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可得复数，利用乘法运算，可得答案.
【详解】由题意可知：，，
则.
故选：A.
2. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. y=±2xB. y=C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
3．若点P（x，y）是圆C：x2+y2﹣8x+6y+16＝0上一点，则x2+y2的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x+6y+16＝0可化为（x﹣5）2+（y+3）4＝9．
x2+y2表示点P（x，y）到点O（0，
因为，
所以x2+y2的最小值为（2﹣3）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的一般式方程，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属基础题．
4. 已知，则（ ）
A. B. 32C. 495D. 585
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法，分别将赋值为，利用方程的思想，可得答案.
【详解】令，可得，解得；
令，可得，则；
令，可得，则；
令，，则.
故选：C.
5．（5分）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个B．12个C．18个D．24个
【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可．
【解答】解：当首位为2时，这样的五位数有个；
当首位为8时，这样的五位数有个，
综上，这样的五位数共有6+12＝18个．
故选：C．
6．设数列an的前n项和为Sn，若SnS2n为常数，则称数列an为“吉祥数列”.已知等差数列bn的首项为2，且公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为（ ）
A．bn=2nB．bn=n+1C．bn=3n−1D．bn=4n−2
6．D设等差数列bn的公差d，则Sn=2n+nn−12d，∴SnS2n=2n+nn−12d4n+2n2n−12d=2+n−12d4+2n−1d．
又数列bn为“吉祥数列”，∴SnS2n为常数，不妨设SnS2n=2+n−12d4+2n−1d=k，
则得d2n+2−d2=k4+2n−1d=2kdn+4k−kd，则d2=2kd,2−d2=4k−kd，解得：k=14,d=4，
∴bn=2+4n−1=4n−2.
7．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A．MC⊥ANB．平面DCM//平面ABN
C．直线GB与AM是异面直线D．直线GB与平面AMD无公共点
7．7．D因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，则MD//NB，
取AB,CD,AN的中点F,E,H，连接EF,EG,FH,GH，如图，点G为MC的中点，
则EG//MD//NB//FH，且EG=12MD=12NB=FH，于是四边形EFHG是平行四边形，
GH//EF,GH=EF，在正方形ABCD中，EF//AD,EF=AD，则GH//AD,GH=AD，
因此四边形ADGH为平行四边形，AN//DG，而MD=CD=1，点G为MC的中点，
有DG⊥MC，所以MC⊥AN，A正确；
因为MD//NB，MD⊂平面DCM，NB⊄平面DCM，则NB//平面DCM，
又AB//CD，CD⊂平面DCM，AB⊄平面DCM，则AB//平面DCM，
而NB∩AB=B,NB,AB⊂平面ABN，所以平面DCM//平面ABN，B正确；
取DM中点O，连接GO,AO，则有GO//CD//AB,GO=12CD=12AB，即四边形ABGO为梯形，
因此直线AO,BG必相交，而AO⊂平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；
显然点A∈平面ABGO，点M∉平面ABGO，直线BG⊂平面ABGO，点A∉直线BG，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.
D因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，则MD//NB，
取AB,CD,AN的中点F,E,H，连接EF,EG,FH,GH，如图，点G为MC的中点，
则EG//MD//NB//FH，且EG=12MD=12NB=FH，于是四边形EFHG是平行四边形，
GH//EF,GH=EF，在正方形ABCD中，EF//AD,EF=AD，则GH//AD,GH=AD，
因此四边形ADGH为平行四边形，AN//DG，而MD=CD=1，点G为MC的中点，
有DG⊥MC，所以MC⊥AN，A正确；
因为MD//NB，MD⊂平面DCM，NB⊄平面DCM，则NB//平面DCM，
又AB//CD，CD⊂平面DCM，AB⊄平面DCM，则AB//平面DCM，
而NB∩AB=B,NB,AB⊂平面ABN，所以平面DCM//平面ABN，B正确；
取DM中点O，连接GO,AO，则有GO//CD//AB,GO=12CD=12AB，即四边形ABGO为梯形，
因此直线AO,BG必相交，而AO⊂平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；
显然点A∈平面ABGO，点M∉平面ABGO，直线BG⊂平面ABGO，点A∉直线BG，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.
8．已知a=lnsin1.01，b=1.01101，c=ln1.01，则（ ）
A．a8．D 因为sin1.010,c>0.
令x=0.01，则b=x1+x，c=ln(1+x)，
若y=c−b=ln(1+x)−x1+x，且x>0，
则y′=21+x−(2+x)2(1+x)1+x=−(1+x−1)22(1+x)1+x<0，
所以y在(0,+∞)上递减，则y综上，a二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A．
B．
C．
D．2cs78°+2cs42°
【分析】利用三角恒等变换，即可化简，即可求解．
【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，2cs78°+2cs42°＝7cs（60°+18°）+2cs（60°﹣18°）＝4cs60°cs18°＝，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，属于基础题．
10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别为BB1CD的中点，点P满足BP=λBC1，λ∈0，1，则（ ）
A．A1F⊥平面AD1E B．三棱锥P−AD1E的体积与P点的位置有关
C．DP+B1P的最小值为4+22 D．当λ∈0，13时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
10．AD A选项，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A4,0,0，E4,4,2，D10,0,4，F0,2,0，A1=4,0,4
则AD1=−4,0,4，A1F=−4,2,−4，AE=0,4,2，
A1F⋅AD1=−4×−4+0×2+4×−4=0，
A1F⋅AE=−4×0+2×4+−4×2=0，
所以A1F⊥AD1，A1F⊥AE，
又AE∩AD1=A，AE⊂平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，
所以A1F⊥平面AD1E，故A正确；
B选项，因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//C1D1且AB=C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，因此BC1//AD1，
又BC1⊄平面AED1，AD1⊂平面AED1，所以BC1//平面AED1，
因此棱BC1上的所有点到平面AED1的距离都相等，又P是棱BC1上的动点，
所以三棱锥P−AED1的体积始终为定值，故B错；
C选项，B4,4,0，C10,4,4，B14,4,4，因为BP=λBC1，λ∈0，1，所以P4−4λ,4,4λ，
所以DP=4−4λ,4,4λ，B1P=−4λ,0,4λ−4
DP+B1P=DP+B1P=32λ2−32λ+32+32λ2−32λ+16
=32λ−122+24+32λ−122+8，
又λ∈0，1，
当λ=12时，DP+B1P有最小值，最小值为26+22，故C错误；
D选项，连接EC，取AA1中点为G，当EC与BC1交点为点P时，平面PEF截正方体截面图形ECDG为四边形，如图1，
此时△PMC∼△EBC，△PMB∼△C1CB，PMEB=MCBC，PMCC1=BMBC，此时λ=13，
当0<λ<13时，如图2，截面为五边形EBFKL，故D正确；
11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的离心率为63，点A,B均在椭圆C上，直线l：bx+ay−4=0，则下列描述正确的为（ ）
A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b
B．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为x23+y2=1
C．若l上任意一点Q都满足QA⋅QB>0，则b>1
D．若b=1，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB，则△AOB面积的最大值为32
11．BD
由离心率e=ca=63且a2=b2+c2得：a2=3b2，C的蒙日圆方程为：x2+y2=4b2，
对于选项A，由于原点O到蒙日圆上任意一点的距离都为2b，O到椭圆上任意一点的距离最大值为a=3b，
所以C上任意一点A与C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2−3)b，选项A错误；
对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线l与蒙日圆：x2+y2=4b2相切，
则圆心O到直线l的距离为d=4a2+b2=42b=2b，所以b=1，
则C的方程为：x23+y2=1，选项B正确；
对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点Q应在蒙日圆外，所以直线l与蒙日圆：x2+y2=4b2相离，
则圆心O到直线l的距离为d=4a2+b2=42b>2b，所以0对于选项D，椭圆C的方程为：x2+3y2=3，蒙日圆方程为：x2+y2=4，
设M(x0,y0)，则x02+y02=4，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则MA:x1x+3y1y=3，MB:x2x+3y2y=3，
将M(x0,y0)代入MA、MB方程中，则x1x0+3y1y0=3，x2x0+3y2y0=3，
所以直线AB的方程为x0x+3y0y=3，
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立：x2+3y2=3x0x+3y0y=3，
得：(x02+3y02)x2−6x0x+(9−9y02)=0，
所以x1+x2=6x0x02+3y02，x1x2=9−9y02x02+3y02，所以AB= 2(1+2y02)2+y02，
又因为原点O到AB的距离为d'= 3x02+9y02 =34+8y02，
所以S△AOB=12AB⋅d'= 32⋅1+2y022+y02，设t=1+2y02∈[1,3]，
则S△AOB= 3⋅tt2+3= 3⋅1t+3t，因为t+3t≥2t×3t=23，所以S△AOB=3⋅1t+3t≤32，
当且仅当t=3t，即t=3时，等号成立，所以选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a2＝1，a2+a3＝2，则S5＝ ．
【分析】先求得等比数列{an}的首项和公比，从而求得S5．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则，
由a1+a2＝3，可得3a1＝3，即，
所以Sn＝，
可得．
故答案为：．
13. 抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设，抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义可得，所以，
故点到轴的距离为7，
故答案为：7.

14．（5分）某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，[40，60），80），[80，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为 65 ．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：数据[20，40），60），80），100]对应的频率分别为0.1，4.4，
因此第40百分位数一定位于[60，80）内，
故所求的第40百分位数为65．
故答案为：65．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
15．已知A是圆C:x2+y2=9上一点，过点A作垂直于x轴的直线，垂足为B，点P满足AB=3AP.若点F1−5,0，F25,0，则1PF1+1PF2的取值范围是 .
15．23,32由题意设Px,y，所以Bx,0，因为AB=3AP，所以Ax,32y.

将点Ax,32y带入圆C:x2+y2=9，则点P满足椭圆E:x29+y24=1的方程.
所以1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1PF2=2aPF12a−PF1
=6PF16−PF1=6−PF12+6PF1=6−PF1−32+9，
又a−c≤PF1≤a+c，即3−5≤PF1≤3+5，
当PF1=3时，−PF1−32+9最大，1PF1+1PF2最小且为23；
当PF1=3−5或3+5时，−PF1−32+9最小，1PF1+1PF2最大且为32，
即23≤6−PF1−32+9≤32，即23≤1PF1+1PF2≤32，
所以1PF1+1PF2的取值范围为23,32.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝500 ml以上为“常喝”，体重超过50 kg为“肥胖”．
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415．（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）判断能否依据小概率值α=0.005 的独立性检验认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由；
已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中n=a+b+c+d .
15．（1）设全部30人中的肥胖学生共x名,则x+230=415,解得x=6.∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.列联表如下:
（2）有;
理由:由已知数据可求得K2=30×6×18−2×4210×20×8×22≈8.522>7.879,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A,B,C,D,女生为E,F,则任取两人, 可能的结果有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF, 共15种,其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF, 共8种.故正好抽到一男一女的概率为815.
16．（12分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝DD1＝4．
（1）证明：平面A1BD⊥平面B1BCC1．
（2）求平面A1BD与平面DCC1D1夹角的余弦值．
【分析】（1）由题意只需证明BD⊥平面B1BCC1即可，而通过解三角形知识可得BD⊥BC，由线面垂直的性质可得BB1⊥BD，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证．
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式即可得解．
【解答】证明：（1）由题意可知BB1⊥底面ABCD，
因为BD⊂底面ABCD，所以BB1⊥BD．
在梯形ABCD中，AB⊥AD，
可得，又AB∥DC，
所以，
又因为DC＝4，所以由余弦定理可得：，
所以BD2+BC2＝DC2，故BD⊥BC．
因为BC∩BB1＝B，BC5⊂平面B1BCC1，
所以BD⊥平面B6BCC1，
又因为BD⊂平面A1BD，所以平面A2BD⊥平面B1BCC1．
解：（2）由题意DD3⊥底面ABCD，DA，
所以DD1⊥DA，DD1⊥DC，
又因为AB∥DC，AB⊥AD，
所以DA，DC7两两互相垂直，
以D为原点，DA，DD1所在直线分别为x，y，z轴，
因为AB∥DC，AB⊥AD，DC＝DD1＝8．
所以．
取为平面DCC5D1的一个法向量．
设平面A1BD的法向量为，则，
所以，得
取z＝﹣1，则y＝﹣2，得平面DCC2D1的一个法向量为，
所以．
故平面A1BD与平面DCC1D8夹角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明和平面与平面所成角的求法，属于中档题．
17. 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）设点坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，
又离心率为，
即椭圆方程为：；
【小问2详解】
设直线，，
则，
因为以线段为直径的圆恒过点，所以，
联立直线与椭圆，
所以，则，
由，
，
整理得或，
易知时不符题意，所以.
20. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）判断极值点的个数，并说明理由．
【解析】
【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解.
（2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解.
（3）根据（2）中分类讨论的情况，然后求出相应的解，从而求出单调区间，从而求解.
【小问1详解】
由题意知，定义域为，所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程，即.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以，单调递增，在单调递减.
【小问3详解】
个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有个极值点.
21. 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
（1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
（2）若，证明：；
（3）设，若，求的最小值．
【解析】
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
【小问1详解】
31是，1024不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故31是可表数，1024不是可表数；
【小问2详解】
由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
【小问3详解】
由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.705
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
合计
10
20
30