湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 考试时量：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则等于（ ）
A．2B．3C．8D．9
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
6．已知函数（且）是增函数，那么的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）
9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．已知，则，
B．，为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．是无理数
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．下图是函数的部分图象，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．函数的图象为，如下结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．对任意的，都有
C．在上是增函数
D．由的图象向右平移个单位长度得曲线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．不等式解集为______．
14．已知，且，函数若存在最小值，则实数的取值范围为______．
15．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为______天．（注：为自然对数的底数，）
16．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则______．
四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，函数的定义域为．
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（12分）已知关于的不等式解集为
（1）求和的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
19．（12分）已知函数为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值．
20．（12分）已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）的以下数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
21．（12分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间．
22．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．答案 A 解析 由得，所以．
2．答案 D 解析 当时，，
∴函数的图象恒过定点，
设，则，解得，∴，∴．
3．答案 A
4．答案 D
5．答案 C
6．答案 B 解析 依题设知，且的定义域为，
∴在上是减函数．
7．答案 D 解析 因为，所以，当且仅当，时，等号成立．
8．答案 A 解析∵的定义域为，
且，
∴函数是偶函数，且当时，单调递增，
∴不等式等价为．
∴，且，即且．
∴且．
∴不等式的解集为．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）
9．答案 AC 解析 对A，是全称量词命题，是真命题，故A正确；
对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．
10．答案 ACD
11．答案 BC
12．答案 BC 解析．因为的最小正周期为，故A错误；又，则函数关于成中心对称，对任意的，都有成立，故B正确；当时，，此时在上是增函数，故C正确；由的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．答案
14．答案
15．答案 62 ∵，∴，，
则，解得．
16．答案 解析 因为将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数图象，所以函数的对称轴为直线，所以．因为，所以．
四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解 （1）∵，∴．
又，∴．
（2）若，则，解得，满足．
若，则由，可知或
解得或，综上可知，的取值范围是．
18．解 （1），
（2）的取值范围为．
19．解 （1）设最高点为，相邻的最低点为，则．
由勾股定理得，．∴．．
又，∴，，由于是偶函数，知．
又，则，所以．
（2）∵，∴，∴．
∴．
20．解 （1）若选择函数模型，则该函数在上单调递减，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型；
若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型．
由试验数据得即解得
故所求函数解析式为．
（2）设超级快艇在段的航行费用为（万元），则所需时间为小时，其中，
结合（1），可得，
所以当时，．故当该超级快艇以1百公里/小时航行时，可使段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元．
21．解 （1）由题图可知，故，所以．
又由，得，即，
解得．又，∴当时，．
又，∴．∴，∴．
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向右平移个单位长度，
得到的图象．
由，得．
故的单调递增区间为．
23．解 （1）由函数是偶函数可得，
∴，则，
即对于，恒有．解得．
（2）由（1）知，，
令，则，
①当时，在上单调递增，∴，不符合题意；
②当时，图象的对称轴，
则在上单调递增，∴，∴（舍）；
③当时，图象的对称轴，
（ⅰ）当，即时，，∴，∴；
（ⅱ）当，即时，
，∴，∴（舍），
综上，存在使得的最小值为0．0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3