浙江省金华市义乌市宾王中学2023-2024学年九年级上学期学科学习能力诊断联考数学试题（含答案）

这是一份浙江省金华市义乌市宾王中学2023-2024学年九年级上学期学科学习能力诊断联考数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了已知二次函数，则，定义等内容，欢迎下载使用。
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．考生答题前，须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
3．答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，答案写在本试题卷上无效．
参考公式：二次函数的顶点坐标是．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若非零实数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的（ ）
A．是原来的4倍B．周长是原来的2倍
C．对应边长是原来的4倍D．对应中线长是原来的4倍
4．在一个不透明的盒子中装有3枚仅有颜色不同的棋子，其中1枚白色棋子和2枚黑色棋子．从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色后放回，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，则两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数，则（ ）
A．函数图象的对称轴为直线B．函数的最大值为2
C．当时，随的增大而增大D．函数图象与轴的交点坐标为
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
7．定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，互为半余角，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点在线段上，在的同侧作等腰三角形和等腰三角形，分别与交于点．设，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．
9．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则（ ）
A．B．C．或4D．或4
10．设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算：______．
12．一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为______m．
13．如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内郑点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为______．
14．如图，点在上，点在的内部．若四边形为平行四边形，则______．
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为______．
16．如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，连结，若与的面积相等，则______．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分6分）
如图，扇形的圆心角为，半径为．
（1）求出此扇形的面积．
（2）若将此扇形围成一个圆雉的侧面（不计接缝），求圆雉的底面半径．
18．（本题满分6分）
杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：A．大莲花奥体中心，B．黄龙体育中心，C．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率
19．（本题满分6分）
20．（本题满分8分）
如图，四边形是菱形，点在延长线上，．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
21．（本题满分8分）
在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，且是的相切函数，为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式______．
（2）当分别取以下两组值时，①；②，不等式是否成立？说明理由．
22．（本题满分10分）
如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到）
23．（本题满分10分）
【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长．
24．（本题满分12分）
如图，在中，是的外接圆，连结并延长交于点，连结．在上取一点，使，连结与交于点．
（1）试求与的数量关系．
（2）求证：．
（3）已知的半径为2，若，
①试判断的形状；②求的面积．
九年级（上）数学学科学习能力诊断卷（一）
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1-5：CABDC6-10：BBDCC
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11． 12．10 13．36 14．60° 15．15 16．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分）
17．（本题满分6分）
解：（1）扇形的面积等于．
（2），则圆雉的底面周长为．
设圆雉的底面半径为，则，解得．
即圆雉的底面半径为．
18．（本题满分6分）
解：（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的结果有1种，小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率是．
19．（本题满分6分）
解：（1）的度数是60°．
（2）护坡石坝的垂直高度为2米．
（3）．
20．（本题满分8分）
解：（1）证明：四边形是菱形，．
．
．
（2）．
，
．
21．（本题满分8分）
解：（1）点的坐标为与的关系式为．
方法1：当时，，即，
，
，
由题意得，即．
将代入中，则，即切点的坐标为．
方法2：当时，，即，
，
，即．
将代入中，
得，又，
，即，
将代入中，，即切点的坐标为．
（2）方法1：①当时，，
要使成立，即使，即，
而，
当时，不能使成立；
②当时，，
要使成立，即使，
，即，
当时，能使成立．
方法2：要使成立，即使成立，
由（1）知，即，
，即，
，
，又，即，
当时，成立，
①当时，不成立；
②当时，成立．
（任选一种方法，4分）
22．（本题满分10分）
解：（1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：，
由此可求得抛物线的表达式为．
（2）由（1）知二次函数，
当时，，
即此时水面的宽度是．
23．（本题满分10分）
解：（1）如图1，证，可得，即．
（2）如图2，连结交于点，证出，
则．
（3）．
提示：如图3，连结交于点，延长交的延长线于点．
证，则．
，
．
由得，
由得，即，
．
24．（本题满分12分）
解：（1）．理由如下：
，
．
．
是直径，，
．
，
．
（2）证明：连结，
垂直平分，
，
．
，
．
，
，
．
（3）①，
．
．
，
，
．
，
为等腰直角三角形．
②连结并延长交于点．
为等腰直角三角形，
，
，
．
，
，
，
．
数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据
活动1
如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是______．
活动2
如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁（点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度．
实践活动总结归纳
大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用表示出护坡石坝的垂直高度．