2023-2024学年吉林省长春重点学校高一（下）期初数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年吉林省长春重点学校高一（下）期初数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈R|−2A. {x|x<6}B. {x|−2−2}D. {x|2≤x≤6}
2.“a>b”是“ac>bc”的什么条件( )
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.某公司每个月的利润y(单位：万元)关于月份n的关系式为y=n2−9n+114，则该公司12个月中利润大于100万的月份共有( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
4.若x>0，则函数y=x+12x+1的最小值为( )
A. 2+12B. 2−12C. 2+1D. 2−1
5.已知函数f(x)=lg2x,x>0,f(x+2),x≤0,则f(−5)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1ax,x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,13)C. [16,13)D. (16,13)
7.定义两种运算：a⊕b= a2−b2，a⊗b= (a−b)2，则f(x)=2⊕x2−(x⊗2)是( )
A. 奇函数B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数
8.若函数f(x)=ln(x2−ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4]B. (−∞,52)C. (−∞,52]D. (52,4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是奇函数又在(0,1)上单调递增的是( )
A. y=1xB. y=sin(x−π2)C. y=sinxD. y=tanx
10.下列结论正确的是( )
A. −π3是第三象限角
B. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35
C. 若角α为锐角，那么2α是第一或第二象限角
D. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
11.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最不可能的三个值是( )
(参考数据：lg3≈0.48)
A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093
12.已知定义在[0,π4]上的函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，( )
A. 若f(x)恰有两个零点，则ω的取值范围是[5,9)
B. 若f(x)恰有两个零点，则ω的取值范围是(5,9]
C. 若f(x)的最大值为ω5，则ω的取值个数最多为2
D. 若f(x)的最大值为ω5，则ω的取值个数最多为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题∃x∈R，x2+3x+2>0的否定是______．
14.函数y=3tan(x−π4)的定义域是______．
15.若sin(α+7π6)=13，则cs(α+5π3)=______．
16.若θ是三角形的一个内角，且函数y=csθ⋅x2−4sinθ⋅x+6对任意实数x均取正值，那么θ所在区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式：
(1)(214) 12−(−9.6)0−(338) −23+(1.5)−2；
(2)lg34273+lg25+lg4+7lg72．
18.(本小题12分)
已知csα= 55，且−π2<α<0，求下列各式的值．
(1)sinα+2csα3sinα+csα；
(2)tan(−α−π]⋅sin(2π+α)cs(−α)⋅tanα．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x+4x+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用定义证明：函数f(x)在(0,+∞)为减函数．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[−1,1]上的最大值与最小值之差为32．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)若g(x)=f(x)−f(−x)，当a>1时，解不等式g(x2+2x)+g(x−4)>0．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6)+2sin2x．
(1)求f(x)的单调递增区间及最小正周期；
(2)若α∈(0,π2)，且f(α2)=2，求sinα．
22.(本小题12分)
已知f(x)=lg4(4x+1)+mx是偶函数．
(1)求m的值；
(2)已知不等式f(x)+12x≥lg4(a⋅2x)对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x∈R|−2∴∁RB={x|x≥2}．
则A∪(∁RB)={x|x>−2}．
故选：C．
求出集合A，∁RB，由此能求出A∪(∁RB)．
本题补集、并集的求法，考查补集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：若c=0，则由“a>b”不能推出“ac>bc”，故充分性不成立；
若c<0，则由“ac>bc”不能推出“a>b”，故必要性不成立；
所以“a>b”是“ac>bc”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
根据充分条件与必要条件的定义判断即可得结论．
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：
n2−9n+114>100，
解得：n>7或n<2，
故n=1，8，9，10，11，12，
故选：C．
结合题意得到关于n的不等式，解出即可．
本题考查了解不等式问题，考查函数的应用，是一道基础题．
4.【答案】B
【解析】解：x>0，
函数y=x+12x+1=(x+12)+(12x+12)−12≥2 12−12= 2−12，当且仅当x= 2−12时取等号．
∴函数y=x+12x+1的最小值为 2−12．
故选：B．
构造思想，函数y=x+12x+1变形为y=(x+12)+(12x+12)−12，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=lg2x,x>0,f(x+2),x≤0,
则f(−5)=f(−3)=f(−1)=f(1)=lg21=0．
故选：B．
由已知函数解析式可得f(−5)=f(1)，然后把x=1代入函数解析式即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1ax,x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，
∴3a−1<00故选：C．
利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得a的范围．
本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性的判断，注意判断定义域是否关于原点对称，并化简函数式，考查运算能力，属于中档题和易错题．
由新定义，可得f(x)= 4−x22−|x−2|，再求定义域，并化简，再计算f(−x)与f(x)比较，即可判断f(x)的奇偶性．
【解答】
解：由新定义，可得：
函数f(x)=2⊕x2−(x⊗2)= 4−x22− (x−2)2= 4−x22−|x−2|，
由4−x2≥0且2−|x−2|≠0，
解得−2≤x≤2且x≠0，
则定义域关于原点对称，则有f(x)= 4−x2x，
由于f(−x)=−f(x)，
则f(x)为奇函数．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．
根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：设g(x)=x2−ax+1，
则要使f(x)=ln(x2−ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增，
则满足a2≤2g(2)=5−2a≥0，即a≤4a≤52,
得a≤52，
即实数a的取值范围是(−∞,52],
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】解：A．y=1x在(0,1)上单调递减，
B.y=sin(x−π2)=−csx是偶函数，
故选CD．
利用奇偶性可排除B，利用单调性可排除A，利用函数性质可解．
本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，涉及三角函数的定义，扇形面积，象限角等基本知识的考查，属于基础题．
通过象限角，扇形面积，任意角的三角函数的定义，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于A：−π3是第四象限角，所以A不正确；
对于B：若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−3 (−3)2+42=−35，所以B正确；
对于C：若角α为锐角，所以α∈(0°,90°)，所以2α∈(0°,180°).所以C不正确；
对于D：若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为：12×π×ππ3=3π2.所以D正确；
故选：BD．
11.【答案】ABC
【解析】解：由题意得MN=33611080，
所以lgMN=lg33611080=361lg3−80≈361×0.48−80≈93，
所以MN≈1093．
故选：ABC．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及分类讨论的思想，属于中档题．
若f(x)恰有两个零点，则π≤π4ω−π4<2π，解得ω的取值范围，进行分类讨论，借助正弦函数的性质及图象可得结果．
【解答】
解：令θ=ωx−π4∈[−π4,π4ω−π4]，
若f(x)恰有两个零点，则π≤π4ω−π4<2π，
解得ω的取值范围是[5,9)．
若f(x)的最大值为ω5，分两种情况讨论：
①当π4ω−π4≥π2，即ω≥3时，
根据正弦函数的单调性可知，f(x)max=1=ω5，解得ω=5;
②当π4ω−π4<π2，即0<ω<3时，
根据正弦函数的单调性可知，y=sinx在[−π2,π2]上单调递增，
则f(x)max=sin(π4ω−π4)=ω5>0，
函数y=sin(π4x−π4)与y=x5在(0,3)上的图象如下图所示：
可知存在唯一的ω∈(0,3)，使得sin(π4ω−π4)=ω5．
综上可知，若f(x)的最大值为ω5，则ω的取值个数最多为2．
故选：AC．
13.【答案】∀x∈R，x2+3x+2≤0
【解析】解：根据题意，命题∃x∈R，x2+3x+2>0的否定为∀x∈R，x2+3x+2≤0．
故答案为：∀x∈R，x2+3x+2≤0．
根据题意，根据存在量词命题的否定形式写出即可．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
14.【答案】{x|x≠kπ+3π4,k∈ Z}
【解析】解：令x−π4≠π2+kπ,k∈Z，
解得x≠kπ+3π4,k∈Z，
所以函数y=3tan(x−π4)的定义域为{x|x≠kπ+3π4,k∈ Z}，
故答案为：{x|x≠kπ+3π4,k∈ Z}.
利用正切函数的定义域以及整体代换思想即可求解．
本题考查了正切函数的定义域问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】−13
【解析】解：因为sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−13，所以sin(α+π6)=13，
cs(α+5π3)=cs(α+π6+π2)=−sin(α+π6)=−13，
故答案为：−13．
利用正余弦的诱导公式化简即可求解．
本题考查了诱导公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】(0,π3)
【解析】解：由题意知，y=csθ⋅x2−4sinθ⋅x+6>0对x∈R恒成立，
所以csθ>0Δ=16sin2θ−24csθ<0，即csθ>02(1−cs2θ)−3csθ<0，解得csθ>12，
又θ是三角形的一个内角，所以θ∈(0,π3).
故答案为：(0,π3).
根据二次函数的图象与性质可得csθ>0Δ=16sin2θ−24csθ<0，再结合余弦函数解之，即可．
本题考查不等式的恒成立问题，还涉及三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，同角三角函数的平方关系，余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=32−1−49+49=12，
(2)原式=−14+lg100+2=−14+2+2=154．
【解析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可，
(2)根据对数的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题
18.【答案】解：(1)因为csα= 55，且−π2<α<0，
所以sinα=−2 55，则tanα=−2，
所以sinα+2csα3sinα+csα=tanα+23tanα+1=0；
(2)原式=−tanα⋅sinαcsα⋅tanα=−tanα=2．
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令x<0，则−x>0,f(−x)=−3x+4−x+1=3x−4x−1，
因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−3x−4x−1，
因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(−0)=−f(0)所以f(0)=0，
f(x)=3x+4x+1x>00x=0−3x−4x−1x<0；
(2)证明：设x1，x2为区间(0,+∞)上的任意两个值，且x1f(x1)−f(x2)=3x1+4x1+1−3x2+4x2+1=(3x1+4)(x2+1)−(3x2+4)(x1+1)(x1+1)(x2+1)=x2−x1(x1+1)(x2+1)，
因为00，x1+1>0，x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,+∞)为减函数．
【解析】(1)令x<0则−x>0，将−x代入f(x)=3x+4x+1，可得函数f(x)在x<0的解析式，又f(0)=0，综合可求得f(x)的解析式；
(2)设x1，x2为区间(0,+∞)上的任意两个值，且x1本题主要考查函数的解析式和单调性，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)当a>1时，f(x)max=a，f(x)min=1a，则a−1a=32，解得a=2；
当0综上得a=2或12；
(Ⅱ)当a>1时，由(Ⅰ)知a=2，
g(x)=2x−2−x为奇函数且在R上是增函数，
∴g(x2+2x)+g(x−4)>0⇔g(x2+2x)>−g(x−4)=g(4−x)
⇔x2+2x>4−x⇔x>1或x<−4，
所以不等式g(x2+2x)+g(x−4)>0的解集为(−∞,−4)∪(1,+∞)．
【解析】(Ⅰ)讨论a>1，0(Ⅱ)当a>1时，由(Ⅰ)知a=2，g(x)=2x−2−x为奇函数且在R上是增函数，化简所求函数式，解二次不等式即可得到解集．
本题考查指数函数的单调性和运用，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2sin2x
=sin2x⋅csπ6−cs2x⋅sinπ6+1−cs2x
= 32sin2x−32cs2x+1
= 3sin(2x−π3)+1，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z，
函数f(x)的周期为T=2π2=π．
(2)因为α∈(0,π2)，
所以f(α2)= 3sin(α−π3)+1=2，
所以sin(α−π3)= 33，
因为α∈(0,π2)，
所以cs(α−π3)= 63，
故sinα=sin[(α−π3)+π3]=sin(α−π3)csπ3+cs(α−π3)sinπ3
= 33×12+ 63× 32=3 2+ 36．
【解析】(1)先利用和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期公式即可求解；
(2)由f(α2)=2可求sin(α−π3)= 33，然后结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∀x，f(x)=f(−x)，即lg4(4x+1)+mx=lg4(4−x+1)−mx，
∵2mx=lg4(4x+14−x+1)=lg44−x=−x对x∈R恒成立，
∴m=−12．
(2)由题意得lg4(4x+1)≥lg4(a⋅2x)对x∈R恒成立，
∵函数y=lg4x在(0,+∞)上单调递增，
∴4x+1≥a⋅2x对x∈R恒成立，即a≤2x+12x对R恒成立，
∵2x+12x≥2，当且仅当2x=12x，即x=0时等号成立，
∴a≤2，
又∵a⋅2x>0，∴a>0，即a的取值范围是(0,2]．
【解析】(1)由题意可得：∀x，f(x)=f(−x)，化简整理即可得出．
(2)由题意得lg4(4x+1)≥lg4(a⋅2x)对x∈R恒成立，根据函数y=lg4x在(0,+∞)上单调递增，可得4x+1≥a⋅2x>0对x∈R恒成立，即0本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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