2023-2024学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线3x− 3y−2=0的倾斜角α=( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.若平面α，β的一个法向量分别为m=(−16,13,−1)，n=(12,−1,3)，( )
A. α/​/βB. α与β相交但不垂直
C. α/​/β或α与β重合D. α⊥β
3.双曲线x2−4y2=4的渐近线方程为( )
A. y=±12xB. y=±2xC. y=±14xD. y=± 52x
4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于( )
A. 4B. 6C. 12D. 16
5.2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行.环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km.已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A. 340B. 125C. 18D. 35
6.如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，AA′=2，AB=BC= 5，AC=2，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线AC′与A′B所成角的余弦值为( )
A. 13
B. 33
C. 26
D. 63
7.已知抛物线D：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若|PA|=|AF|，则|PF|=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)c>aB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 2， 5， 8， 11,⋯，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 3n−1B. 5 2是它的第17项
C. 此数列的通项公式是 3n+1D. 5 2是它的第18项
10.下列求导正确的是( )
A. (e2x)′=2exB. (3x+1)′=3
C. ( 2x)′=1 2xD. (xsinx)′=sinx+xcsx
11.已知直线l1：ax+2y+3a=0和直线l2：3x+(a−1)y+7−a=0，下列说法正确的是( )
A. 当a=25时，l1⊥l2
B. 当a=−2时，l1//l2
C. 直线l1过定点(−3,0)
D. 当l1，l2平行时，两直线的距离为513 13
12.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，正方体OBCD−O1B1C1D1的棱长为1，且DE⊥OC1于点E则OE=( )
A. (13,13,13)
B. 33
C. 23OC1
D. 13OB+13BC−13O1O
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=lnx+2x，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{2anan+1}的前2020项和为______．
15.已知两个圆x2+y2=9，x2+(y−6)2=r2，若两圆相切，则半径r为______．
16.已知Rt△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=π2，以B、C为焦点的双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点A，与AB边交于点D，则|AD||BD|的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=(13x+2)x2，求f(x)在闭区间[−1,1]上的最大值与最小值．
18.(本小题12分)
已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(−3,0)，B(−1,2)．
(Ⅰ)求圆C的标准方程；
(Ⅱ)过点P(0,2)斜率为34的直线l与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(12)an+n，求数列{bn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
已知点P(1,m)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，F为焦点，且PF=3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点T(4,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OA⋅OB的值．
21.(本小题12分)
如图，已知ACDE是直角梯形，且ED/​/AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=12AB，P是BC的中点．
(１)求证：DP/​/平面EAB；
(２)求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．
22.(本小题12分)
记椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F2AB的周长为8且点P(1,32)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)请问：x轴上是否存在定点M使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得直线3x− 3y−2=0的斜率为 3，
直线倾斜角为α，0°≤α0时，h(x)=f(x)ex，
因为f′(x)a．
故选：C．
根据结论特点，结合已知条件，构造函数h(x)=f(x)e|x|，然后研究该函数在(0,+∞)上的单调性解决问题．
本题考查导数在函数的单调性问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了数列通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
观察数列的每项，找到规律得到通项公式，根据通项公式即可求出．
【解答】
解：由 2= 3−1， 5= 2×3−1， 8= 3×3−1， 11= 4×3−1，
可得此数列的通项公式是an= 3n−1，故A正确；
当 3n−1=5 2，解得n=17，故B正确．
故选：AB．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，(e2x)′=2e2x，故A错误；
对于B，(3x+1)′=3，故B正确；
对于C，( 2x)′=12×(2x)−12×2=1 2x，故C正确；
对于D，(xsinx)′=sinx+xcsx，故D正确．
故选：BCD．
利用导数的计算公式逐个判断各个选项．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当a=25时，那么直线l1为25x+2y+65=0，
直线l2为3x−35y+7−25=0，此时两直线的斜率分别为k1=−15和k2=5，
所以有k1⋅k2=−1，所以l1⊥l2，故A选项正确；
对于B，当a=−2时，那么直线l1为x−y+3=0，直线l2为x−y+3=0，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线l1：ax+2y+3a=0，整理可得：a(x+3)+2y=0，故直线l1过定点(−3,0)，故C选项正确；
对于D，当l1，l2平行时，a(a−1)=6，且2(7−a)≠3a(a−1)，a(7−a)≠3⋅3a，解得：a=3，
可得直线l1为：3x+2y+9=0，l2为：3x+2y+4=0，
此时两直线的距离d=|9−4| 32+22=5 1313，故D选项正确．
故选：ACD．
对于A，通过k1⋅k2=−1是否成立来判断；对于B，将a=−2代入即可判断；对于C，将直线l1变形为a(x+3)+2y=0，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解．
本题考查两条直线的位置关系的判断方法，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：根据题意，可得O(0,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，
则DO=(0,−1,0)，OC1=(1,1,1)，
设OE=λOC1=(λ,λ,λ)，DE=DO+OE=(λ,λ−1,λ)，
因为DE⊥OC1，则DE⋅OC1=0，即λ+λ−1+λ=0解得λ=13，所以OE=(13,13,13)，故A正确；
所以OE=13OC1=13(OB+OD+OO1)=13OB+13BC−13O1O，故D正确．
故选：AD．
根据空间向量的坐标运算可得OE=13OC1，从而可求解．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】3x−y−1=0
【解析】解：由f(x)=lnx+2x，得f(1)=2，f′(x)=1x+2，
故切线的斜率k=f′(1)=1+2=3，
所以切线方程为y−2=3(x−1)，即3x−y−1=0．
故答案为：3x−y−1=0．
先求出f(1)=2，求出导函数，得到f′(1)=1+2=3，进而求出切线方程．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．
14.【答案】40402021
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
由a5=5，S5=15，可得a1+4d=5，5a1+10d=15，
解得a1=d=1，
则an=1+n−1=n，
2anan+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
则数列{2anan+1}的前2020项和为2(1−12+12−13+...+12020−12021)
=2(1−12021)=40402021．
故答案为：40402021．
由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】3或9
【解析】解：由题意知：两圆圆心分别为：C1(0,0)，C2(0,6)，半径分别为：r1=3，r2=r>0，
当两圆外切时：|C1C2|=6=3+r，解得：r=3；
当两圆内切时：|C1C2|=6=|3−r|，解得：r=9，负值舍去；
综上：r=3或r=9．
故答案为：3或9．
根据题意，分析两圆的圆心和半径，根据两圆相内切、相外切的条件，可得关于r的方程，解可得答案．
本题考查圆的方程，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】解：如图，双曲线的焦点为B(−c,0)，C(c,0)，
由双曲线的定义可得|AB|−|AC|=2a=3−1=2，
设|BD|=t，由双曲线的定义可得|DC|=2a+|BD|=2a+t=2+t，
又|AD|=3−t，
在直角三角形ACD中，|AC|2+|AD|2=|CD|2，
即为1+(3−t)2=(2+t)2，
解得t=0.6，|AD|=3−0.6=2.4．
则|AD||BD|的值为．
故答案为：4．
运用双曲线定义，可得2a=3−1=2，设|BD|=t，运用双曲线的定义，求得|DC|，|AD|，再由直角三角形的勾股定理，解方程可得t，进而得到|AD|，即可得到答案．
本题考查双曲线的定义的运用，考查直角三角形的勾股定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为f(x)=(13x+2)x2=13x3+2x2，所以f′(x)=x2+4x．
令f′(x)=x2+4x=x(x+4)=0，解得：x=−4或x=0．
于是列表如下：
所以f(x)在闭区间[−1,1]上的最大值是f(1)=73，最小值是f(0)=0．
【解析】首先求出导数，然后令f′(x)=0，f′(x)>0，f′(x)0)，
由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得a=−1，
所以圆心C(−1,0)，r=|CA|=2，所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4；
(Ⅱ)因为直线l过点P(0,2)斜率为34，
则直线l的方程为y=34x+2，
圆心C(−1,0)到直线l的距离为d=|2−34| (34)2+1=1，
所以MN=2 r2−d2=2 4−1=2 3．
【解析】(Ⅰ)利用圆的几何性质，圆心在AB的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程；
(Ⅱ)先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可．
本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法．
19.【答案】解：(1)当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，
而a1=S1=2适合上式，
所以an=2n．
(2)bn=(12)an+n=(14)n+n，
数列{bn}的前n项和Tn=14+1+116+2+…+(14)n+n
=(14+116+…+(14)n)+(1+2+…+n)
=14(1−14n)1−14+(1+n)n2
=13(1−14n)+(1+n)n2．
【解析】(1)根据当n≥2时，有an=Sn−Sn−1，然后验证首项是否满足通项，从而可求出数列{an}的通项公式；
(2)根据数列{bn}的通项公式可知将数列分成等比数列求和与等差数列求和，从而可求出所求．
本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式an=S1 ,n=1Sn−Sn−1,n≥2的灵活运用，同时考查分组求和法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵抛物线C：y2=2px(p>0)，
∴焦点F(p2,0)．
由抛物线定义得：|PF|=1+p2=3，
解得p=4，
∴抛物线C的方程为y2=8x．
(2)①当l的斜率不存在时，
此时直线方程为：x=4，
A(4,4 2)，B(4,−4 2)，
则OA⋅OB=−16．
②当l的斜率存在时，设
y=k(x−4)，k≠0，
由y2=8xy=k(x−4)，可得
k2x2−(8k2+8)x+16k2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=8k2+8k2，
x1⋅x2=16，
∴y1⋅y2=k2(x1−4)(x2−4)
=k2[x1x2−4(x1+x2)+16]
=k2[16−4(8k2+8)k2+16]
=−32，
此时，OA⋅OB=x1x2+y1y2=16−32=−16，
综合①②可知，OA⋅OB=−16．
【解析】本题综合考查了抛物线的标准方程的求解、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．
(1)首先，确定参数P，然后，求解其方程；
(2)首先，对直线的斜率分为不存在和存在进行讨论，然后，确定OA⋅OB的取值情况．
21.【答案】(１)证明：取AB的中点F，连接PF，EF．
又∵P是BC的中点，∴FP= //12AC．
∵ED=12AB=12AC，ED/​/AC，
∴FP= //ED，
∴四边形EFPD是平行四边形，
∴PD//EF．
而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，
∴PD/​/平面EAB．
(２)∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则z轴在平面EACD内．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(0,1, 3)，D(0,2, 3)．
∴EB=(2,−1,− 3)，ED=(0,1,0)．
设平面EBD的法向量n=(x,y,z)，由n⋅EB=0n⋅ED=0，得2x−y− 3z=0y=0，
取z=2，则x= 3，y=0.∴n=( 3,0,2)．
可取m=(0,0,1)作为平面ABC的一个法向量，
∴cs=m⋅n|m| |n|=2 7=2 77．
即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为2 77．
【解析】(１)取AB的中点F，连接PF，EF.利用三角形的中位线定理可得FP= //12AC.再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD//EF.利用线面平行的判定定理即可得出；
(２)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得出二面角等是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由△F2AB的周长为8，得4a=8，即a=2．
由点P(1,32)在椭圆C上，∴1a2+94b2=1，即b= 3．
∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)由椭圆C的方程，可得c=1，则F1 (−1,0)，
当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，
联立y=k(x+1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．
设x轴上存在定点M(m,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，
则kMA+kMB=y1x1−m+y2x2−m=0，
即y1(x2−m)+y2(x1−m)(x1−m)(x2−m)=0，即y1x2−my1+x1y2−my2=0．
∴k[2x1x2+(1−m)(x1+x2)−2m]=0．
∴k[8(k2−3)3+4k2−8(1−m)k23+4k2−2m]=0，
整理得：k⋅−24−6m3+4k2=0，则m=−4．
∴x轴上存在定点M(−4,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立．
【解析】(1)由三角形周长求得a，把点P的坐标代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；
(2)由椭圆C的方程，可得F1 (−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合kMA+kMB=y1x1−m+y2x2−m=0求得m值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．x
−1
(−1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
−
0
+
f(x)
53
↘
0
↗
73