2023-2024学年江西省上饶市万年县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市万年县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用配方法解一元二次方程x2−4x=5时，此方程可变形为( )
A. (x+2)2=1B. (x−2)2=1C. (x+2)2=9D. (x−2)2=9
2.关于二次函数y=2(x−1)2+3的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值1B. 有最小值1C. 有最大值3D. 有最小值3
3.已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为( )
A. 2B. 1C. 0D. 不能确定
4.如图，将一块含有30°的直角三角板ABC(假定∠C=90°，∠B=30°)绕顶点A逆时针旋转100°得到△AB′C′，则∠BB′C′等于( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
5.在平面直角坐标系中，若直线y=−2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2=0的实根的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
6.⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E.有下面四个结论：①∠EDA=∠B②DE//BC③OD⊥BC④OD=DE.其中正确结论的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.点M(3,−2)关于原点的对称点为N，则点N的坐标为______．
8.已知方程(m+2)xm2−2+4x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ______．
9.已知x1、x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，则x1x2−x1−x2= ______．
10.从6、7、8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是______．
11.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是______．
12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2 2cm，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为______.(若结果需要用到π，则用含π的代数式表示)
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：2x2−5x−7=0．
(2)如图，等边△ABC的边长为2cm，求BC边上的边心距OD的长．
14.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)，与y轴交于点C(0,3)，求此抛物线的解析式．
15.(本小题6分)
已知关于x的方程3x2−2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x12+x22=109，求实数m的值．
16.(本小题6分)
如图，锐角△ABC内接于⊙O，请仅用无刻度直尺按要求画图．

(1)在图甲中，以点B为顶点作一锐角，使之与∠A互余．
(2)在图乙中，CD=BA，点D、A在弦BC的同旁，过点A作一直线将△ABC的面积平分．
17.(本小题6分)
万年县裴梅镇某村有一农户2021年种的贡米水稻平均每亩产600kg，到2023年平均每亩产726kg，求此农户种的贡米水稻每亩产量的年平均增长率．
18.(本小题8分)
如图，有一圆锥，其高SO=20 2cm，母线SA=30cm．
(1)求此圆锥侧面展开图的圆心角．
(2)若在此圆锥的上面截去一个高为10 2cm的圆锥，求剩下的几何体侧面展开图的面积．
19.(本小题8分)
如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD/​/OP，点D在⊙O上．
(1)求证：PD是⊙O的切线．
(2)若△ABC的边AC=6cm，BC=8cm，I是△ABC的内心，求IO的长度．
20.(本小题8分)
万年县举行校园安全知识竞赛，要求每个学校只派一名学生参赛.某学校举行了校内选拔赛，其中袁梦和孟想两位同学获得最高分(分数相同)，袁梦和孟想想通过游戏来决定谁参加县里比赛.游戏规则：在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的三个扇形区域，分别标有数字5、6、7(如图)：一人从口袋中摸出一个球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于8，那么袁梦去；否则孟想去．
(1)用树状图或列表法求出袁梦参加比赛的概率．
(2)你认为该游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．
21.(本小题9分)
某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
22.(本小题9分)
已知点P是⊙O外一点，过P点作⊙O的切线，A，B为切点，⊙O的半径为r．

(1)如图甲所示，点D在优弧AB上(点D不与点A、点B重合)，若∠P=68°，求∠ADB的度数．
(2)如图乙所示，点D在⊙O上运动，当PD最大时，且四边形PADB为菱形，求此时∠APB的度数．
(3)在(2)的情况下，设PD交⊙O于另一点C，求阴影部分图形的周长.(结果用含r的代数式表示)．
23.(本小题12分)
直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A(12,52)和点B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点.过点P作PC⊥x轴交抛物线于点C．
(1)求此抛物线的顶点坐标．
(2)求△PAC以A为直角顶点时点P的坐标．
(3)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】
解：∵x2−4x=5，
∴x2−4x+4=5+4，
∴(x−2)2=9．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：二次函数y=2(x−1)2+3
顶点坐标为：(1,3)，a=2>0，开口向上，有最小值3，
故选：D．
根据二次函数顶点式进行解答即可．
本题考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的周长为12πcm，
∴⊙O的半径为：12π2π=6(cm)，
∵直线到圆心O的距离为5cm，6cm>5cm，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个交点．
故选：A．
先求解⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当dMB=ED，
故④不符合题意．
∴其中正确结论的个数为2个．
故选：C．
由等腰三角形的性质，角平分线定义推出∠DAE=∠ODA，得到OD/​/AE，由圆周角定理推出AC⊥BC，得到OD⊥BC，由切线的性质推出OD⊥DE，得到BC/​/DE，判定四边形DECM是矩形，推出∠CED=90°，DE=MC，由圆周角定理得到∠ADB=90°，因此∠ADB=∠AED，而∠DAE=∠BAD，由三角形内角和定理得到∠ADE=∠ABD，OD>MB=ED．
本题考查切线是性质，垂径定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，关键是由以上知识点推出OD/​/AE，判定四边形DECM是矩形．
7.【答案】(−3,2)
【解析】解：点M(3,−2)关于原点的对称点为N，则点N的坐标为(−3,2)．
故答案为：(−3,2)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，由此可得出点N的坐标．
本题考查关于原点对称的点坐标的关系，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
8.【答案】2
【解析】解：∵方程(m+2)xm2−2+4x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0m2−2=2，
解得m≠−2m=±2，
故解得m=2，
故答案为：2．
根据一元二次方程的定义即可得到答案．
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
9.【答案】−5
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，
∴x1+x2=3，x1x2=−2，
∴x1x2−x1−x2
=x1x2−(x1+x2)
=−2−3
=−5．
故答案为：−5．
利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，代入求值即可．
本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】1
【解析】解：从6、7、8这三个数中任选两个数，有三种情况：6，7；6，8；7，8；
而6×7=42，6×8=48，7×8=56，
∴积为偶数的概率为33=1，
故答案为：1．
先列举所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可．
本题考查的是利用列举法求解概率，解题的关键是运用概率公式求解．
11.【答案】x≤−1或x≥3
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，对称轴为x=1，
则另外一个交点的坐标为(−1,0)，
从图象看，当x≤−1或x≥3时，y≤0，
故答案为：x≤−1或x≥3．
根据抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，对称轴为x=1，则另外一个交点的坐标为(−1,0)，进而求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
12.【答案】π−22cm2
【解析】解：如图，连接CD，
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∵点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=12AB= 2cm，
∵∠CDM+∠CDN=90°=∠CDN+∠BDN，
∴∠CDM=∠BDN，
∵∠DCM=∠B=45°，BD=CD，
∴△CDM≌△BDN(ASA)，
∴S四边形DMCN=S△ACD=12S△ABC=12×12× 2×2 2=1，
∴S阴影部分=S扇形DEF−S四边形DMCN
=90π×( 2)2360−1
=π−22(cm2).
故答案为：π−22cm2．
根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定得出S四边形DMCN=S△ACD=12S△ABC，再根据S阴影部分=S扇形DEF−S四边形DMCN，依据扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握等腰直角三角形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】解：(1)2x2−5x−7=0，
∴(2x−7)(x+1)=0，
∴2x−7=0或x+1=0，
解得：x1=72，x2=−1；
(2)如图，连接OB，OC，
∴OB=OC，∠BOC=120°，

∵OD为边心距，则OD⊥BC，
∴∠BOD=∠COD=60°，BD=CD=1cm，
∴OD=BDtan60∘= 33cm．
【解析】(1)直接利用因式分解的方法解方程即可；
(2)连接OB，OC，证明∠BOD=∠COD=60°，BD=CD=1，再结合锐角三角函数解答即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，正多边形与圆，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
14.【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)，
∴设抛物线为y=a(x+2)(x−6)，
把C(0,3)代入得，−12a=3，
解得a=−14，
∴抛物线的表达式为：y=−14(x+2)(x−6)=−14(x2−4x−12)=−14x2+x+3；
【解析】根据题意设y=a(x+2)(x−6)，再代入C(0,3)即可得到函数解析式．
本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键．
15.【答案】解：依题意可得：x1+x2=−ba=−−23=23，x1x2=ca=m3，
∵x12+x22=109，
∴(x1+x2)2−2x1x2=109，
即49−2×m3=109，
解得m=−1．
【解析】根据题意得到x1+x2=−ba=−−23=23，x1x2=ca=m3，即可得到答案．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，作直径BQ，连接CQ，∠QBC即为所求；
．
(2)如图2，连接BD，交AC于R，连接RO并延长交BC于S，则直线AS即为所求作的直线；
．
【解析】(1)作直径BQ，连接CQ，则∠A=∠Q，而BQ为直径，则∠BCQ=90°，可得∠Q+∠QBC=90°，可得∠A+∠QBC=90°，可得∠QBC即为所求；
(2)连接BD，交AC于R，连接RO并延长交BC于S，由CD=BA，可得∠ACB=∠DBC，则RB=RC，连接OB，OC，则OB=OC，可得RO是BC的垂直平分线，可得BS=CS，则直线AS平分△ABC的面积．
本题考查是无刻度直尺作图，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识并应用于画图是解本题的关键．
17.【答案】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：600×(1+x)2=726，
解得：x=0.1=10%或x=−2.1(舍去)．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
【解析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2021年平均亩产×(1+x)2=2023年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为θ°，
∵圆锥高SO=20 2cm，母线SA=30cm，
∴AO= SA2−SO2=10cm，
由题意得：θπ⋅SA180=2π⋅AO，即30πθ180=2π×10，
解得θ=120，
即此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为120°．
(2)由题意可知，O1C//OA，SO1=10 2cm，
∴△O1SC∽△OSA，
∴SCSA=SO1SO，即SC30=10 220 2，
解得SC=15(cm)，
则截去的圆锥的侧面展开图的面积为120π⋅SC2360=120π⋅152360=75π(cm2)，
∵这个圆锥的侧面展开图的面积为120π⋅SA2360=120π⋅302360=300π(cm2)，
∴剩下的几何体侧面展开图的面积为300π−75π=225π(cm2)，
答：剩下的几何体侧面展开图的面积为225πcm2．
【解析】(1)圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长，利用弧长公式建立方程，解方程即可得；
(2)先利用相似三角形的判定与性质求出SC=15cm，再根据剩下的几何体侧面展开图的面积等于这个圆锥的侧面展开图的面积减去截去的圆锥的侧面展开图的面积求解即可得．
本题考查了相似三角形的判定与性质、弧长公式、扇形的面积公式等知识，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接OD，AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD//OP，
∴OP⊥AD，OP是AD的垂直平分线，
∴PD=PA，
∵OP=OP，OD=OA，
∴△ODP≌△OAP(SSS)，
∴∠OAP=∠ODP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠ODP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
(2)如图，过I作IU⊥AB于U，作IQ⊥AC于Q，作IV⊥BC于V，

则IU=IV=IQ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= 62+82=10，OB=OA=5，
∴12(6+8+10)×IU=12×6×8，
∴IV=IQ=IU=2，
∵IV⊥BC，IQ⊥AC，∠ACB=90°，IV=IQ=2，
∴四边形IVCQ为正方形，
∴CQ=2，AQ=6−2=4，
∴AU= AI2−IU2= AI2−IQ2=4，
∴OU=5−4=1，
∴IO= OU2+IU2= 5(cm)．
【解析】(1)如图，连接OD，AD，证明OP⊥AD，OP是AD的垂直平分线，再证明△ODP≌△OAP，可得∠ODP=90°，可得PD是⊙O的切线．
(2)如图，过I作IU⊥AB于U，作IQ⊥AC于Q，作IV⊥BC于V，则IU=IV=IQ，求解AB= 62+82=10，OB=OA=5，IV=IQ=IU=2，证明四边形IVCQ为正方形，求解OU=1，再利用勾股定理可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质与判定，三角形的内心的性质，勾股定理的应用，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，满足条件的有3种情况，
∴P=312=14；
(2)不公平，
∵P(和小于8)=14，
P(和大于或等于8)=34，
故游戏不公平；
可改为：若指针所指数字之和为偶数，则袁梦获胜；若指针所指数字之和为奇数，则孟想获胜；
P(和为偶数)=P(和为奇数)=12．
【解析】(1)根据题意画出树状图即可计算出概率；
(2)根据概率比较概率是否相等，即可判断游戏是否公平．
本题主要考查了游戏公平性的判断，树状图或列表法求概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，y=150−10x，0≤x≤5且x为正整数；
(2)设每星期的利润为w元，
则w=(40+x−30)y
=(x+10)(150−10x)
=−10(x−2.5)2+1562.5
∵x为非负整数，
∴当x=2或3时，利润最大为1560元，
又∵销量较大，
∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．
答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为1560元．
【解析】本题考查二次函数的实际应用．
(1)根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围；
(2)根据总利润=售价×销量，得到总利润的函数式，根据二次函数的性质，可得到定价．
22.【答案】解：(1)如图甲，连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∵∠P=68°，
∴∠AOB=112°，
∴∠ADB=56°；
(2)如图乙，连接OA，OB，
∵点D运动到PD距离最大，
∴PD经过圆心，

∵四边形PADB为菱形，
∴∠APB=∠ADB，
由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∠AOB=2∠ADB，
∴3∠APB=180°，
∴∠APB=60°，
(3)如图丙，

∵∠APB=60°，PA，PB为⊙O的切线，
∴∠APD=∠BPD=30°，∠PAO=90°，
∵⊙O的半径为r，
∴OA=r，OP=2r，
∴AP= 3r,PD=3r，PC=r，
∵∠AOP=90°−∠APO=60°，
∴AC的长度=60π⋅r180=π3r，
∴阴影部分的周长= 3r+r+π3r=( 3+1+π3)r．
【解析】(1)连接OA，OB，利用切线的性质和四边形的内角和定理，求得∠AOB=112°，再利用圆周角定理即可求解；
(2)点D运动到PD距离最大，PD经过圆心，结合菱形的性质即可求解；
(3)分别求出AP，PD的长，利用弧长公式即可求解．
本题考查圆的综合应用，掌握圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的性质等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=6，即B(4,6)，
∵A(12,52)和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴(12)2a+12b+6=5216a+4b+6=6，
解得：a=2b=−8，
∴抛物线的解析式y=2x2−8x+6；
(2)如图，连接AC，∠PAC=90°，点P是线段AB上异于A、B的动点，

设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∵A(12,52)、B(4,6)在直线y=mx+n上，代入得：
12m+n=524m+n=6，
解得：m=1n=2，
∴直线AB的解析式为y=x+2，
设动点P坐标为(m,m+2)，则C点坐标为(m,2m2−8m+6)，
∴(m−12)2+(m+2−52)2+(m−12)2+(2m2−8m+6−52)2=(−2m2+9m−4)2，
解得：m=12(舍去)或m=3，
∴P(3,5)；
(3)存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，理由如下：
设动点P的坐标为(n,n+2)，点C的坐标为(n,2n2−8n+6)，
∴PC=(n+2)−(2n2−8n+6)=−2n2+9n−4=−2(n−94)2+498，
∵−2