广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。
A．B．C．D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm2
3．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝80°，CD是∠ACB的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
4．（3分）下列各组图形中，是全等三角形的是（ ）
A．两个含70°角的直角三角形
B．斜边对应相等的两个等腰直角三角形
C．边长分别为3和4的两个等腰三角形
D．腰长相等的两个等腰三角形
5．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于D，那么下列结论错误的是（ ）
A．AD是BC边上的中线B．△ABD≌△ACD
C．△ABC是等边三角形D．AB＝AC
6．（3分）如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．∠A，∠B的平分线的交点处
B．AB的垂直平分线与∠B的平分线的交点处
C．BC的垂直平分线与∠A的平分线的交点处
D．AB，BC的垂直平分线的交点处
7．（3分）等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则它的腰长是多少（ ）
A．2cmB．4cmC．2cm或4cmD．8cm或10cm
8．（3分）将坐标平面内的点P（a﹣2，b+3）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，然后将所得的像作关于y轴的轴对称变换，最终所得的像为（b﹣1，a+1），则点（a，b）是（ ）
A．原点B．（0，1）C．（1，0）D．（﹣1，﹣1）
9．（3分）如图，点D为边BC的中点，AE为△ABD的中线，设△ABC的面积为S，△ABE的面积为S1，则下列结论正确的是（ ）
A．S＝3S1B．S＝4S1C．S＝5S1D．S＝6S1
10．（3分）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）点M（﹣1，3）关于x轴对称的点N的坐标是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝4，BC＝10，则△BCE的面积为 ．
13．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝ ．
14．（3分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
15．（3分）在△ABC中，∠B＝48°，∠C＝22°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为 ．
16．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，BD＝CD，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M．交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，求∠BAE和∠DAE的度数；
（2）若∠B＝∠C+42°，求∠DAE的度数．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且∠BCD＝∠ACB，∠CBE＝∠ABC．求证：BE＝CD．
19．（6分）作三角形
已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝2∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．
20．（6分）如图，画出△BDC关于直线l成轴对称的图．
21．（8分）如图所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：∠OCB＝∠OBC．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，请求出当∠BDA等于多少度时△ADE的形状是等腰三角形．
23．（10分）【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE．
【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝ °．
24．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒a cm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝ ，BP＝ ．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
25．（12分）如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：
（1）求证：∠CPO＝∠CDO；
（2）求证：CP＝CD；
（3）下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值．
广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2． 解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
3． 解：∵∠A＝30°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣80°＝70°．
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝30°+35°＝65°．
故选：B．
4． 解：A、两个含70°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等三角形；
B、斜边对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，是全等三角形；
C、边长分别为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3，对应关系不明确，不一定全等；
D、腰长相等的两个等腰三角形，缺少对应边相等或夹角相等，不是全等三角形．
故选：B．
5． 解：如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，BD＝CD，即AD为BC边的中线，
综上可知A、B、D均正确，
只有当BC＝AB时，△ABC是等边三角形，故C错误；
故选：C．
6． 解：根据线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可得出符合条件的点是AB，BC的垂直平分线的交点处．
故选：D．
7． 解：当2是腰时，2，2，4不能组成三角形，应舍去；
当4是腰时，4，4，2能够组成三角形．
∴腰长为4cm，
故选：B．
8． 解：由已知条件可知：
∴平移后所得像为（a﹣2+3，b+3﹣2），即（a+1，b+1）．
∵将所得的像作关于y轴的轴对称变换，
∴最终所得的像为（﹣（a+1），b+1）．
∵最终所得的像为（b﹣1，a+1），
∴，解得，
∴点（a，b）是（0，0）．
故选：A．
9． 解：作AF⊥BC．
∵S△ADB＝BD×AF×＝，
S△ADC＝CD×AF×＝S，
又∵AD为△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ADB＝S△ADC，
同理，
∴S△ABE＝S△ABC，
即S1＝S，
∴S＝4S1，
故选：B．
10． 解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，
∵AC＝9，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△APE和△APB中，
，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴PE＝PB＝3，
∵4﹣3＜PC＜4+3，
解得1＜PC＜7，
∴PC取6，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：M（﹣1，3）关于x轴对称的点N的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12． 解：过E作EF⊥BC于F，
∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，
∴DE＝EF，
∵DE＝4，
∴EF＝4，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝，
故答案为：20．
13． 解：∵△ABC≌△BAD，BD＝5，
∴AC＝BD＝5，
故答案为：5．
14． 解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10，
∴多边形的内角和为（10﹣2）•180°＝1440°．
故答案为：1440．
15． 解：∵∠B＝48°，∠C＝22°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
故答案为：55°．
16． 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
∵，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，
，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN＝MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝4+4＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°；
（2）∵∠B＝∠C+42°，
∴∠C＝∠B﹣42°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴2∠B+∠BAC＝222°，
∴∠BAC＝222°﹣2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝111°﹣∠B，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（111°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝21°．
18． 证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CBE＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
19． 解：如图：①作∠MBN＝2∠β，
②在BN上截取BC＝a，在BM上截取BA＝c，连接AC，
则△ABC即为所求．
20． 解：如图，△B′DC′即为所求．
21． 证明：∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．
∴∠OCB＝∠OBC．
22． 解：（1）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC＝4时，△ABD≌△DCE；
（2）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
当∠BDA＝100°时，
∴∠ADC＝80°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形，
当∠BDA＝115°时，
∴∠ADC＝65°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝65°
∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
综上所述，当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形．
23． 【感知探究】证明：如图①，过点E作EF∥AB，
则∠MEF＝∠BME，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠NEF＝∠DNE，
∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
即∠MEN＝∠BME+∠DNE；
【类比迁移】∠BMF＝∠MFN+∠FND．
证明：如图②，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．
故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND；
【结论应用】如图③，过C作CG∥AB，
∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵AB∥DE，
∴CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝80°，
∴∠ACD＝20°，
故答案为：20．
24． 解：（1）由题意得，AP＝at cm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2t cm，
故答案为：2t cm，（8﹣at）cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
25． （1）证明：∵x轴⊥y轴，CP⊥CD，
∴∠DCP＝∠DOP＝90°，
∴∠CPO+∠OKP＝∠CDO+∠CKD＝90°，
∵∠OKP＝∠CKD，
∴∠CPO＝∠CDO；
（2）证明：过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，
则∠CND＝∠CQP＝90°，
∵C（1，1），
∴CQ＝CN，
在△CND和△CQP中，
，
∴△CND≌△CQP（AAS），
∴CP＝CD；
（3）解：AD+BP的值不变，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），
∴AN＝2+1＝3，BQ＝4+1＝5，
∵△CND≌△CQP，
∴QP＝ND，
∵AD+BP＝AN+ND+BP＝AN+QP+BP＝AN+QB＝3+5＝8，
∴AD+BP的值不变，是8．