2023-2024学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．3？＝，则？是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
2．AD是△ABC的中线同时平分∠BAC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4B．（a+1）2＝a2+1
C．（a﹣3）2＝a6D．2a2•a﹣1＝2a
4．如图，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A处的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
5．1012等于（ ）
A．1002+2×100+1B．1002﹣2×100+1
C．1002+1D．1002﹣1
6．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
7．人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为5.2×10﹣5米．将5.2×10﹣5用小数表示为（ ）
A．0.0052B．0.00052C．0.000052D．0.0000052
8．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
10．如图，八边形ABCDEFGH每条边都相等，且∠C＝∠E＝∠H，若△BDF，四边形ABFG的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
11．在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，则边AB：BC是（ ）
A．1：2B．2：1C．3：1D．1：3
12．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
13．在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥AB
B．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BC
D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
14．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
15．如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
16．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P．下列判断错误的是（ ）
A．射线OP是∠AOB角平分线
B．△POC是等腰三角形
C．OP是∠AOB角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．OP是∠AOB角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、填空题（本大题共3个小题，共9分.17题18题每空2分，19每空1分）
17．若分式的值为0，则x＝ ．
18．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，OP＝8，PD⊥OA，如果点C是OB上一个动点．
（1）若PC＝OC时，PC与OA的位置关系 ；
（2）PC最小值为 ．
19．如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b，若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1）（b﹣a）2＝ ；
（2）ab＝ ；
（3）新构造出的正方形面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共73分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
20．已知：A＝（m﹣4）（m+1）+3m，B＝2m2﹣4m．
（1）将A分解因式；
（2）比较A、B的大小；（m≠2）
（3）求m＝3时的值．
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于平面镜CD所成像A1B1；
（2）一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时△PAB周长最小）
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
22．机器人AD在水平线路BC间（不含B，C）做往返运动，BC＝10，D为BC上动点，AD⊥BC，AD＝6，连接AB，AC．
（1）机器人在运动中，△ABC周长是否改变？ （填“变”或“不变”）；△ABC面积是否改变？ （填“变”或“不变”）．
（2）机器人运动到BC中点时，判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）机器人运动中△ABC为等腰三角形，点D的位置有 处．
23．已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9（x为整数）．
（1）试说明：多项式P被5整除．
（2）若P＝15，求的值．
24．甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是30km/h，水流速度时akm/h，6h后两船同时到达A、C两港口；卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速）
（1）AC两港口相距多远？
（2）卸装货物后两船再同时出发，乙船到达A港口时，甲船距C港口120km，求a值．
25．已知：AB⊥CD于点O，AB＝AC＝CD，点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，连接IB，ID．
（1）∠AIC＝ 度；
（2）求证：IB＝IC且IB⊥IC；
（3）探究：
①∠AIC+∠BID＝ 度；
②S△IBD S△AIC．（填“＞”“＜”“＝”）
26．图1，Rt△ACB中∠ACB＝90°，在CA上取E，使CE＝CB，延长BC至D，使得CD＝CA．
（1）求证：AB＝DE．
（2）判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
（3）若DE的延长线过AB的中点，求∠B的度数．
迁移应用：图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F．
（4）直接写出线段BE与FD的数量关系，并在图2中画出探究时所需要的辅助线．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．3？＝，则？是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
【分析】根据负整数指数幂的性质：进行解答即可．
解：∵，3？＝，
∴3﹣1＝3？，
∴？＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的性质，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质：．
2．AD是△ABC的中线同时平分∠BAC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质得DE＝DF，再证Rt△BDE≌△CDF（HL），得∠B＝∠C即可得出结论．
解：如图，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4B．（a+1）2＝a2+1
C．（a﹣3）2＝a6D．2a2•a﹣1＝2a
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
解：A．（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，故不正确；
B．（a+1）2＝a2+2a+1，故不正确；
C．（a﹣3）2＝a﹣6，故不正确；
D．2a2⋅a﹣1＝2a，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，以及负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
4．如图，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A处的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据题意可得：∠CAD＝75°，∠CBE＝40°，AD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠EBA+∠BAD＝180°，从而可得∠EBA+∠BAC＝105°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
∠CAD＝75°，∠CBE＝40°，AD∥BE，
∴∠EBA+∠BAD＝180°，
∴∠EBA+∠BAC＝180°﹣∠DAC＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE+∠EBA+∠BAC）＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5．1012等于（ ）
A．1002+2×100+1B．1002﹣2×100+1
C．1002+1D．1002﹣1
【分析】根据完全平方公式进行展开，即可得到答案．
解：1012＝（100+1）2＝1002+2×100+1；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是学会利用完全平方公式计算．
6．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】利用平方差公式分解因式后可得结论．
解：（2k+3）2﹣（2k﹣2）2
＝[（2k+3）+（2k﹣2）][（2k+3）﹣（2k﹣2）]
＝（2k+3+2k﹣2）（2k+3﹣2k+2）
＝5（4k+1），
∴（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能被5整除．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确进行因式分解是解题关键．
7．人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为5.2×10﹣5米．将5.2×10﹣5用小数表示为（ ）
A．0.0052B．0.00052C．0.000052D．0.0000052
【分析】只需将5.2的小数点向左平移5个数位即可．
解：5.2×10﹣5＝0.000052，
故选C．
【点评】本题考查求科学记数法的原数，掌握科学记数法法则是求解本题的关键．
8．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9．如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10．如图，八边形ABCDEFGH每条边都相等，且∠C＝∠E＝∠H，若△BDF，四边形ABFG的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
【分析】可先求得BD＝DF＝AG，再根据四边形ABFG的周长＝AG+AB+FG+BF＝b，△BDF的周长＝BD+DF+BF＝a，DE+EF＞DF，即可得到a、b的大小关系．
解：在△BCD和△DEF中，
，
∴△BCD≌△DEF（SAS），
∴BD＝DF．
同理可得：BD＝AG．
∴BD＝DF＝AG．
∵四边形ABFG的周长＝AG+AB+FG+BF＝b，AB＝FG＝DE＝EF，
∴四边形ABFG的周长＝BD+DE+EF+BF＝b．
又△BDF的周长＝BD+DF+BF＝a，DE+EF＞DF，
∴a＜b．
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，则边AB：BC是（ ）
A．1：2B．2：1C．3：1D．1：3
【分析】利用三角形的面积公式可得答案．
解：∵，AD＝2，CE＝4，
∴4AB＝2BC，
∴AB：BC＝2：4＝1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
12．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
【分析】分两种情况讨论，当BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，从而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．
解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠C′＝∠C＝n°，
当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′＝A′C″，
∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，
∴∠C′＝n°或180°﹣n°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
13．在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥AB
B．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BC
D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
解：A、∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，∠B＝∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°，得∠BCA+∠BAC+∠B＝180°，故A不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，得∠B+∠BAC+∠C＝180°，故B不符合题意；
C、∵DE∥BC，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，无法证得三角形的内角和等于180°，故C符合题意；
D、如图，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AOE＝∠BOP，∠C＝∠AMP，
∵∠A+∠AMP＝∠AOP，
∴∠A+∠C＝∠AOP，
∵∠BOP+∠AOP＝180°，
∴∠BOP+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
14．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【分析】根据分式的性质进行化简，然后取特殊值即可求解．
解：∵且x为正整数，
取x＝1时，，
，
∴表示的值的点落在段③，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15．如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠2＝30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3＝∠α+∠2，从而求出∠α的度数．
解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵∠3＝∠α+∠2，且∠3＝45°，
∴∠α＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一副三角板各角的度数，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
16．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P．下列判断错误的是（ ）
A．射线OP是∠AOB角平分线
B．△POC是等腰三角形
C．OP是∠AOB角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．OP是∠AOB角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分．
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∵PE⊥AO，PF⊥BO，
∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°在△PEO和△PFO中，
，
∴△PEO≌△PFO（HL），
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB，
∴A选项和D选项说法正确．
∵PE＝PF，PF＝OG，
∴PE＝OG，
∵长方形直尺，
∴∠CGO＝90°，
∴∠CGO＝CEP，
在△CGO和△CEP中，
，
∴△GCO≌△ECP（AAS），
∴OC＝PC，
∴△POC为等腰三角形，
∴B选项说法正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了角平分线的判定和等腰三角形的判定，关键是正确画出辅助线．
二、填空题（本大题共3个小题，共9分.17题18题每空2分，19每空1分）
17．若分式的值为0，则x＝ ．
【分析】根据分式的值为零，则分子为零，分母不为零，求解即可．
解：∵分式的值为0，
∴，
解得：．
故答案为：
【点评】本题考查了分时值为零的条件，熟知分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可是解题的关键．
18．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，OP＝8，PD⊥OA，如果点C是OB上一个动点．
（1）若PC＝OC时，PC与OA的位置关系 PC∥OA ；
（2）PC最小值为 4 ．
【分析】（1）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
解：（1）∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠COP，
∵PC＝OC，
∴∠CPO＝∠COP，
∴∠CPO＝∠AOP，
∴PC∥OA，
故答案为：PC∥OA；
（2）过点P作PH⊥OB，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴，
∵PD⊥OA，OP＝8，
∴，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，即PH的长，
∴PC的最小值＝PH＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
19．如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b，若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1）（b﹣a）2＝ 1 ；
（2）ab＝ 12 ；
（3）新构造出的正方形面积为 49 ．
【分析】（1）利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是b﹣a＝1；
（2）由（a+b）2﹣a2﹣b2＝24，求出ab的值即可；
（3）由b﹣a＝1，ab＝12，通过完全平方式的变形，即可得出结果．
解：（1）由图可知①中小正方形的边长为b﹣a，面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
故答案为：1；
（2）∵b＞a，
∴b﹣a＝1，
由图可知②中新构造出的正方形边长为a+b，
∴面积＝（a+b）2，
∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝24，
∴ab＝12，
故答案为：12；
（3）∵b﹣a＝1，ab＝12，
∴新构成的正方形面积为（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝12+4×12＝49．
故答案为：49．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共73分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
20．已知：A＝（m﹣4）（m+1）+3m，B＝2m2﹣4m．
（1）将A分解因式；
（2）比较A、B的大小；（m≠2）
（3）求m＝3时的值．
【分析】（1）先化简整理多项式，再根据平方差公式即可分解因式；
（2）利用差值法比较大小；
（3）先分式化简，再求值即可．
解：（1）A＝（m﹣4）（m+1）+3m
＝m2﹣3m﹣4+3m
＝m2﹣4
＝（m+2）（m﹣2）；
（2）B﹣A＝2m2﹣4m﹣（m2﹣4）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵m≠2，
∴（m﹣2）2＞0，
∴B＞A；
（3），
当m＝3时，．
【点评】此题考查了因式分解和分式化简求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于平面镜CD所成像A1B1；
（2）一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时△PAB周长最小）
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【分析】（1）找到线段AB的端点关于直线CD的对应点即可完成作图；
（2）连接AB1即可完成作图；
（3）以为AB对角线作出矩形，即可确定其中点M，根据格点三角形全等作出垂线，即可；完成作图．
解：（1）如图，A1B1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
（3）如图，即MN为所求．
如图，取格点E，F，G，由题意，
ME＝MF，FB＝AE，∠BFM＝∠AEM＝90°
∴△BFM≌△∠AEM，
∴AM＝BM
同理，△NGM≌△MEA，
∠GMN＝∠MAE，
∵∠AME+∠MAE＝90°，
∴∠AME+∠GMN＝90°，
∴AB⊥MN，
∴直线MN垂直平分线段AB．
【点评】本题考查了网格作图，掌握轴对称、垂直平分线及线段和最小等相关结论是解题关键．
22．机器人AD在水平线路BC间（不含B，C）做往返运动，BC＝10，D为BC上动点，AD⊥BC，AD＝6，连接AB，AC．
（1）机器人在运动中，△ABC周长是否改变？ 变 （填“变”或“不变”）；△ABC面积是否改变？ 不变 （填“变”或“不变”）．
（2）机器人运动到BC中点时，判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）机器人运动中△ABC为等腰三角形，点D的位置有 3 处．
【分析】（1）根据周长公式和面积公式，将数值代入即可判断；
（2）当机器人运动到中点时，可用全等三角形△ABD≌△ACD得出△ABC的形状；
（3）△ABC为等腰三角形的情况，需要根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断，注意分情况讨论．
解：（1）设BD为x．
∵BC＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣x，
∵AD⊥BC，AD＝6，BD＝x，CD＝10﹣x，
∴，
，
∴△ABC的周长为：，
∴△ABC的周长在机器人运动的过程中会发生改变．
∵△ABC的面积为：，
∴，
∴△ABC的面积在机器人运动的过程中不会发生改变．
故答案为：变；不变；
（2）当机器人运动到BC中点时，△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵机器人在BC中点，
∴BD＝BC，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）△ABC为等腰三角形分三种：
当AC＝BC＝10时，
∵AD＝6，∠ADC＝90°，
∴，BD＝BC﹣DC＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴，
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以判断出，此时存在等腰三角形△ABC，
当AB＝BC＝10时，同理可得：，此时也存在等腰三角形△ABC，
当AB＝AC时，根据小题（2）可知，此时△ABC是等腰三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的周长、面积、勾股定理、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的判定，解题的关键在于结合图形作答．
23．已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9（x为整数）．
（1）试说明：多项式P被5整除．
（2）若P＝15，求的值．
【分析】（1）利用完全平方公式、单项式乘多项式去括号、合并同类项，即可证明；
（2）根据P＝15，求出x的值，然后代入即可．
解：（1）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9
＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9，
＝5x﹣5，
＝5（x﹣1），
∴多项式P被5整除；
（2），
＝，
＝，
∵P＝15，
∴5（x﹣1）＝15，解得x＝4，
将x＝4代入得，原式＝＝．
【点评】本题考查了整式的乘法和分式的化简求值，熟练掌握法则是解题的关键．
24．甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是30km/h，水流速度时akm/h，6h后两船同时到达A、C两港口；卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速）
（1）AC两港口相距多远？
（2）卸装货物后两船再同时出发，乙船到达A港口时，甲船距C港口120km，求a值．
【分析】（1）根据“甲船行驶路程＝乙船行驶路程”列式计算即可；
（2）根据“甲船行驶时间＝乙船行驶时间”列分式方程求解即可．
解：（1）由题意可得：
AC＝6（30+a）+6（30﹣a）＝180+6a+180﹣6a＝360（km），
故AC两港口相距360km；
（2）由题意得：
，
解得：a＝6，
经检验a＝6是原方程的解且符合题意，
∴a＝6．
【点评】本题考查顺水、逆水速度，分式方程的实际应用；解决题目的关键是找到等量关系．
25．已知：AB⊥CD于点O，AB＝AC＝CD，点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，连接IB，ID．
（1）∠AIC＝ 135 度；
（2）求证：IB＝IC且IB⊥IC；
（3）探究：
①∠AIC+∠BID＝ 180 度；
②S△IBD ＝ S△AIC．（填“＞”“＜”“＝”）
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和即可求解；
（2）证明△ABI≌△ACI（SAS），然后根据性质即可求解；
（3）①由△DCI≌△ACI（SAS），通过性质即可求解；
②连接AD，证明△DCI≌△ACI，通过性质即可求解；
解：（1）∵点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴，，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
∴，
∵∠IAC+∠ACI+∠AIC＝180°，
∴∠AIC＝135°，
故答案为：135；
（2）∵由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴∠BAI＝∠CAI，
在△ACI和△ABI中，
，
∴△ABI≌△ACI（SAS），
∴IB＝IC，
∵由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，
∴，
∴∠AIC＝180°﹣45°＝135°＝∠AIB，
∴∠BIC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
即IB⊥IC；
（3）①同（2）理可证△DCI≌△ACI（SAS），
∴∠AIC＝∠DIC＝135°，
由（2）得：IB⊥IC，
∴∠BIC＝90°，
∴∠BID＝∠DIC﹣∠BIC＝135°﹣90°＝45°，
∴∠AIC+∠BID＝135°+45°＝180°，
故答案为：180；
②如图，连接AD，
由①得：△DCI≌△ACI，
则∠AIC＝∠DIC＝135°，AI＝DI，
∴∠AID＝90°，
∴∠ADI＝∠BID＝45°，
∴AD∥BC，
∴S△IBD＝S△ABI，
∵△ABI≌△ACI，
∴S△AIC＝S△ABI，
∴S△IBD＝S△AIC，
故答案为：＝．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识，熟练掌握以上知识点的应用及作出正确的辅助线是解题的关键．
26．图1，Rt△ACB中∠ACB＝90°，在CA上取E，使CE＝CB，延长BC至D，使得CD＝CA．
（1）求证：AB＝DE．
（2）判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
（3）若DE的延长线过AB的中点，求∠B的度数．
迁移应用：图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F．
（4）直接写出线段BE与FD的数量关系，并在图2中画出探究时所需要的辅助线．
【分析】（1）证明△ACB≌△DCE（SAS），得出AB＝DE；
（2）由全等三角形的性质得出∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，则可得出结论；
（3）连接AD，证出AD＝BD，由等腰三角形的性质得出∠B＝67.5°；
（4）作DG∥AC，交BE的延长线于点G，证明△HFD≌△HGB，得到DF＝BG；证明△EGD≌△EBD，得到BE＝GE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE；
（2）解：AB与DE的位置关系为AB⊥DE，
理由：延长DE交AB于F，
∵△ACB≌△DCE，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝×180°＝90°，
∴∠AED＝∠A+∠AFE＝∠D+∠DCE，
∴∠AFE＝∠DCE＝90°，
∴AB⊥DE．
（3）解：如图，连接AD，
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵DE⊥AB，DE的延长线过AB的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝67.5°；
（4）解：DF＝2BE．理由如下：
如图，作DG∥AC，交BE的延长线于点G，
则∠BDG＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴DE平分∠BDG；
∵DG∥AC，
∴∠BHD＝∠A＝90°，
而∠HBD＝45°，故∠HDB＝45°，
∴BH＝DH；
∵∠GEF+∠GHF＝180°，
同理得∠HFD＝∠G；
在△HFD与△HGB中，
，
∴△HFD≌△HGB（AAS），
∴DF＝BG；
在△EGD与△EBD中，
，
∴△EGD≌△EBD（ASA），
∴EG＝BE，
∴DF＝2BE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．