2023-2024学年山西省吕梁市交口县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市交口县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠BB．∠C＝∠EC．AD＝BFD．AC＝BE
3．5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣5B．7.6×10﹣4C．7.6×10﹣5D．0.76×10﹣3
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a3+a2＝2a5
C．（3a3）2＝9a6D．a8÷a2＝a4
5．当式子的值为零时，x等于（ ）
A．4B．﹣3C．﹣1或3D．3或﹣3
6．解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
7．已知点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称，则（m+n）2023的值是（ ）
A．1B．2023C．﹣1D．﹣2023
8．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135°B．140°C．144°D．150°
9．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．5
10．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则x的取值范围为 ．
12．已知三角形两边的长分别为1cm，5cm，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
13．分解因式：3a2﹣12＝ ．
14．已知一个n边形的内角和比其外角和的3倍少180°，则n＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝2，BC＝8，则△CDF的面积为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（1）计算：．
（2）解方程：．
17．某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
（1）该学生的解答过程是从第 步开始出现错误的；
（2）请你写出此题的正确解答过程．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出顶点A1，B1，C1的坐标．
（2）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小，并直接写出Q点的坐标．
19．如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A＝60°，他将△ABC折叠使点A落在点B处，折痕为DE，点D在AB上，点E在AC上．
（1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断△ABE的形状并说明理由．
20．列方程（组）解决下列问题．
小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如表：
（1）用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用．
21．阅读理解题
我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），则C关于D的“雅常值”是 ；
（2）多项式E是多项式F的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式E＝（x﹣3）2﹣x，求多项式F．
（3）已知多项式M＝（x﹣a）2（a为常数），N＝x2﹣4x，M是N的“雅常式”，求M关于N的“雅常值”．
22．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.
问题情境：
如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D．
初步探究：
（1）在图1的直线l上取点E，使BE＝BC，得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP．小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．如图3，探究线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ ．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ ．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求，请选出并在答题卡将该项涂黑）
1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠BB．∠C＝∠EC．AD＝BFD．AC＝BE
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
∵CD＝EF，
∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
3．5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣5B．7.6×10﹣4C．7.6×10﹣5D．0.76×10﹣3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00076＝7.6×10﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a3+a2＝2a5
C．（3a3）2＝9a6D．a8÷a2＝a4
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则计算，再判断即可．
解：A、a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项不符合题意；
B、a3与a2不能合并，故本选项不符合题意；
C、（3a3）2＝9a6，故本选项符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握相关运算法则并熟练运用．
5．当式子的值为零时，x等于（ ）
A．4B．﹣3C．﹣1或3D．3或﹣3
【分析】根据分式为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
解：根据题意得，|x|﹣3＝0，
解得x＝3或﹣3，
又x2﹣2x﹣3≠0，
解得x1≠﹣1，x2≠3，
所以，x＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
【分析】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
7．已知点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称，则（m+n）2023的值是（ ）
A．1B．2023C．﹣1D．﹣2023
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得m、n的值，再代入计算可得答案．
解：∵点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称，
∴m＝3，n+2＝﹣2，
解得m＝3，n＝﹣4，
∴（m+n）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135°B．140°C．144°D．150°
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
9．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AM＝BM，∠ABM＝∠A＝15°，再根据三角形外角的性质求出∠BMC的度数，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形的面积公式进而可得出结论．
解：∵Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，
∴AM＝BM＝2，∠ABM＝∠A＝15°，
∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝30°，
∴BC＝BM＝×2＝1，
∴S△AMB＝AM•BC＝×2×1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】设正方形A和B的边长各为a和b，得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可求得此题结果是13．
解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b，
由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13，
即：A、B两个正方形的面积之和为13，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并根据完全平方公式灵活变形解决问题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
12．已知三角形两边的长分别为1cm，5cm，第三边长为整数，则第三边的长为 5cm ．
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边的长为x cm，得到4＜x＜6，即可得到答案．
解：设第三边的长为x cm，
∴5﹣1＜x＜5+1，
∴4＜x＜6，
∵第三边长为整数，
∴第三边的长为5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
13．分解因式：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
14．已知一个n边形的内角和比其外角和的3倍少180°，则n＝ 7 ．
【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°，结合已知条件得（n﹣2）180°＝3×360°﹣180°，由此解出n即可．
解：∵n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°，
又∵n边形的内角和比其外角和的3倍少180°，
∴（n﹣2）180°＝3×360°﹣180°，
解得：n＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，理解n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°是解决问题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝2，BC＝8，则△CDF的面积为 4 ．
【分析】过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG＝FE＝2，再由AD是中线，则有CD＝4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．
解：过点F作FG⊥BC，如图，
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF＝2，
∴FG＝FE＝2，
∵BC＝8，AD为BC边上的中线，
∴CD＝BC＝4，
∴S△CDF＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（1）计算：．
（2）解方程：．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂和同底数幂的除法法则进行计算，再算乘方，最后算加减即可；
（2）方程两边都乘2（x﹣1）得出2+2x﹣2＝3，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）
＝1+3﹣22
＝1+3﹣4
＝0；
（2），
，
方程两边都乘2（x﹣1），得2+2x﹣2＝3，
2x＝3，
，
检验：当 时，2（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解是 ．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解分式方程，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
17．某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
（1）该学生的解答过程是从第 二 步开始出现错误的；
（2）请你写出此题的正确解答过程．
【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）该生的解答过程是从第二步开始出现错误的，
故答案为：二；
（2）正确解答过程如下：
＝
＝•
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出顶点A1，B1，C1的坐标．
（2）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小，并直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接A1C，交y轴于点Q，则点Q即为所求，即可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1（2，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）．
（2）如图，连接A1C，交y轴于点Q，连接AQ，
此时QA+QC＝QA1+QC＝A1C，为最小值，
则点Q即为所求．
由图可得，点Q的坐标为（0，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A＝60°，他将△ABC折叠使点A落在点B处，折痕为DE，点D在AB上，点E在AC上．
（1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断△ABE的形状并说明理由．
【分析】（1）作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，由∠A＝60°，即可得出△ABE是等边三角形．
解：（1）根据题意得：
作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求，
如图所示：
（2）△ABE是等边三角形，理由如下：
如图所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵∠A＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
20．列方程（组）解决下列问题．
小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如表：
（1）用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用．
【分析】（1）根据总费用÷续航里程列出代数式；
（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元列出方程求出a的值，再代入（1）中代数式即可．
解：（1）根据表格数据可知，然后车每千米行驶费用为＝（元），
新能源车每千米行驶费用为＝（元），
故答案为：，；
（2）∵燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得：a＝600，
检验：a＝600是原方程的解，
∴燃油车每千米行驶费用为＝0.6（元），
新能源车每千米行驶费用为＝0.06（元），
答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.06元．
【点评】本题考查列代数式，关键是根据题意列出代数式．
21．阅读理解题
我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），则C关于D的“雅常值”是 1 ；
（2）多项式E是多项式F的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式E＝（x﹣3）2﹣x，求多项式F．
（3）已知多项式M＝（x﹣a）2（a为常数），N＝x2﹣4x，M是N的“雅常式”，求M关于N的“雅常值”．
【分析】（1）C﹣D＝x2+x﹣1﹣（x+2）（x﹣1）化简可得；
（2）因为多项式E是F的“雅常式”且“雅常值”是3，所以E﹣F＝3，已知E＝（x﹣3）2﹣x，可得多项式F；
（3）因为M是N的“雅常式”，所以化简M﹣N，x前的系数为0，可求得a的值，即得M关于N的“雅常值”．
解：（1）C﹣D＝x2+x﹣1﹣（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣1﹣（x2+x﹣2）＝x2+x﹣1﹣x2﹣x+2＝1，
故答案为：1；
（2）∵多项式E是F的“雅常式”且“雅常值”是3，
∴E﹣F＝3，即F＝E﹣3，
∵E＝（x﹣3）2﹣x，
∴F＝（x﹣3）2﹣x﹣3＝x2﹣7x+6；
（3）∵M是N的“雅常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣4x）＝x2﹣2ax+a2﹣x2+4x＝﹣2ax+4x+a2＝（﹣2a+4）x+a2，
∵a为常数，
∴4﹣2a＝0，
解得：a＝2，
∴a2＝4，
答：M关于N的“雅常值”是4．
【点评】本题考查了整式的加减，关键是正确化简．
22．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.
问题情境：
如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D．
初步探究：
（1）在图1的直线l上取点E，使BE＝BC，得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP．小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．如图3，探究线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点B作BF⊥l于点F，根据AAS证明△DAC≌△FCB，得AD＝CF，由三线合一得CE＝2CF，进而可得；CE＝2AD；
（2）作BF⊥l于点F，根据AAS证明△BFP≌△PNH，可证CP＝AD+NH．
解：（1）CE＝2AD．
理由如下：过点B作 BF⊥l于点F，
∴∠CFB＝90°
∵AD⊥l，
∴∠ADC＝90°，∠CAD+∠DCA＝90°，
∴∠ADC＝∠CFB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠BCF＝90°．
∴∠CAD＝∠BCF．
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（AAS）．
∴AD＝CF．
∵BE＝BC，BF⊥l，
∴CF＝EF．
∴CE＝2CF＝2AD．
（2）CP＝AD+NH．
理由如下：
过点B作 BF⊥l于点F，
∴∠BFP＝90°，
由（1）可得：△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF．
∵NH⊥l，
∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°．
∴∠BFP＝∠PHN．
∵∠MPN＝90°，
∴∠HPN+∠FPB＝90°，
∴∠HNP＝∠FPB．
在△BFP 和△PHN中，
，
∴△BFP≌△PHN（AAS）．
∴NH＝PF．
∵CP＝CF+PF．
∴CP＝AD+NH．
【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形解答．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 大 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ 75° ．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ 3cm ．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）
【分析】（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；
（2）根据点D的运动情况求出CD，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE；
（3）分AD＝AE、DA＝DE、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．
解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，
D点运动到图1位置时，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝75°，
故答案为：大；75°；
（2）点D运动3s后到达图2位置，CD＝3cm，此时△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵CD＝CA＝3cm，
∴∠CAD＝∠CDA＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADB＝105°，∠EDC＝75°﹣30°＝45°，
∴∠DEC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
故答案为：3cm；
（3）△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AD＝AE时，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝∠ADE＝30°，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝120°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，D不与B、C重合，
∴AD≠AE；
②当DA＝DE时，∠ADE＝30°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝75°，
∴∠BDA＝∠DEC＝180°﹣∠AED＝105°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝120°，
∴∠BDA＝∠DEC＝180°﹣∠AED＝60°．
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60°或105°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
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每千米行驶费用： 元
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