2023-2024学年江苏省南京市建邺区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．3的算术平方根是（ ）
A．±B．C．﹣D．9
2．下列各数中，无理数是（ ）
A．0.121221222B．
C．D．
3．过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上任意一点的（ ）
A．横坐标都是2B．纵坐标都是2
C．横坐标都是﹣1D．纵坐标都是﹣1
4．如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．BC＝DAB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．∠BAC＝∠DCA
5．将一次函数y＝x﹣2的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点（1，4），则m的值为（ ）
A．6B．5C．﹣5D．﹣6
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，连接DE，EF垂直平分AB，交AD于点G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③∠C＝3∠BAD；④AG2﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．比较大小： 4．（填“＞”、“＜”或“＝”）
8．已知点P（﹣5，3）与点Q（m，n）关于x轴对称，则m+n的值为 ．
9．“2023南京马拉松”赛道全长42.195km．将42.195精确到十分位的近似值是 ．
10．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 cm2．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠EDC＝25°，则∠BAD＝ °．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝3，AB＝4，S△ABC＝5，则点D到AC的距离为 ．
14．如图，弹性小球从点A（0，2）出发，沿着箭头方向运动，当小球碰到x轴反弹后经过点B（4，3），反弹时反射角等于入射角，则小球从点A到点B所经过的路径的长为 ．
15．已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
表2：
则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝5cm，AB＝2cm，点E在BC上，CE＝1cm，F是AD上一动点，将四边形CDFE沿EF翻折至四边形C′D′FE的位置，FD′与BC相交于点G，当点F从点A运动到AD的中点时，点G运动路线的长为 cm．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．求下列各式中x的值：
（1）4x2+1＝10；
（2）．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC三个顶点在格点上．已知点A（1，1），点C（2，3）．
（1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点O）．
（2）现将△ABC先向下平移4个单位长度，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1．连接CC1，则线段CC1的中点坐标为 ．
（3）若△ABC内有一点P（a，b），则点P经过（2）中的平移、对称后得到的点P1的坐标是 ．
20．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E，F，BE＝CF．求证：点D在∠A的平分线上．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的外部，∠ABD＝∠C，∠D＝90°．求证BC＝2BD．
22．用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小．
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a．
（1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
其中，①是 ；②是 ．
（2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明．
24．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图所示．
（1）若图象经过点（﹣1，0）和（0，2）．
①求y与x的函数表达式；
②当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是 ．
（2）尺规作图：在同一坐标系中作y＝﹣kx﹣2b的函数图象．
（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
25．如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离y（km）与所用时间t（h）的函数图象如图②所示，其中，点C在线段AB上．
（1）部队和基地相距 km，客车到达仓库前的速度为 km/h．
（2）求校车离部队的距离y与t的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间．
（3）为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？
26．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝ ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．3的算术平方根是（ ）
A．±B．C．﹣D．9
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
解：3的算术平方根是，
故选：B．
【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2．下列各数中，无理数是（ ）
A．0.121221222B．
C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
解：A、0.121221222是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B、﹣＝﹣2，﹣2是有理数，不符合题意；
C、是分数，属于有理数，不符合题意．
D、是无理数，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上任意一点的（ ）
A．横坐标都是2B．纵坐标都是2
C．横坐标都是﹣1D．纵坐标都是﹣1
【分析】据与y轴平行的直线上所有点的横坐标都不变进行选择即．
解：过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上所有点的横坐标都等于﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了平行于y轴的直线上的所有点的横坐标的特点，熟知与y轴平行的直线上所有点的横坐标都不变是解题的关键．
4．如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．BC＝DAB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．∠BAC＝∠DCA
【分析】由于∠DAC＝∠BCA，AC为公共边，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
解：∵∠DAC＝∠BCA，AC＝AC，
添加BC＝DA，利用SAS判定△ABC≌△CDA，故A正确；
添加∠B＝∠D，利用AAS判定△ABC≌△CDA，故C正确；
添加∠BAC＝∠DCA，利用ASA判定△ABC≌△CDA，故D正确；
但添加AB＝CD，不能判定△ABC≌△CDA，故B错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5．将一次函数y＝x﹣2的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点（1，4），则m的值为（ ）
A．6B．5C．﹣5D．﹣6
【分析】先求出函数平移后的解析式，再把点（1，4）代入求出m的值即可．
解：∵一次函数y＝x﹣2的图象沿y轴向上平移m个单位长度，
∴平移后的解析式为y＝x﹣2+m，
∵平移后经过点（1，4），
∴4＝1﹣2+m，
解得m＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，连接DE，EF垂直平分AB，交AD于点G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③∠C＝3∠BAD；④AG2﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到AD平分∠BAC，BD＝CD，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则利用EB+EC＞BC可判断AC＞BC，从而得到△BEC与△ADC不全等，于是可对②进行判断；由EA＝EB得到∠ABE＝∠BAE，而∠BAE＝2∠BAD，所以∠ABE＝2∠BAD，接着证明∠AHE＝∠C，则利用三角形外角性质可对③进行判断；连接BG，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，在Rt△BGD中利用勾股定理得到BG2﹣GD2＝BD2，然后利用等线段代换可对④进行判断．
解：∵AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BD＝CD，
∴DE为直角三角形斜边BC上的中线，
∴DE＝BD＝CD，
∴BC＝2DE，所以①正确；
∵EF垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵EB+EC＞BC，
∴EA+EC＞BC，
即AC＞BC，
∴△BEC与△ADC不全等，所以②错误；
∵EA＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝2∠BAD，
∴∠ABE＝2∠BAD，
∵∠C+∠EHD＝180°，∠AHE+∠EHD＝180°，
∴∠AHE＝∠C，
∵∠AHE＝∠ABE+∠BAD＝3∠BAD，
∴∠C＝3∠BAD，所以③正确；
连接BG，如图，
∵EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
在Rt△BGD中，BG2﹣GD2＝BD2，
∵BD＝CD，AG＝BG，
∴AG2﹣GD2＝CD2，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．比较大小： ＜ 4．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】直接利用实数比较大小的方法分析得出答案．
解：∵＝4，
∴＜＝4，
∴＜4．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．
8．已知点P（﹣5，3）与点Q（m，n）关于x轴对称，则m+n的值为 ﹣8 ．
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得m、n的值，再代入计算可得．
解：∵点P（﹣5，3）与点Q（m，n）关于x轴对称，
∴m＝﹣5，n＝﹣3，
则m+n＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
9．“2023南京马拉松”赛道全长42.195km．将42.195精确到十分位的近似值是 42.2 ．
【分析】把百分位上的数字9进行四舍五入即可．
解：42.195精确到十分位的近似值为42.2．
故答案为：42.2．
【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
10．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 2π cm2．
【分析】根据题意得出AC2的值，再根据半圆面积公式求解即可．
解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC2＝26﹣10＝16，
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为＝＝2π（cm2），
故答案为：2π．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，熟记勾股定理是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 （，1+） ．
【分析】过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，证明△AOD≌△DFC即可求出CE，CF，进而得到点C的坐标．
解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：
∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，
∴∠ADO＝30°，
∴AO＝1，DO＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝∠DCF，
∴△AOD≌△DFC（AAS），
∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，
∴CE＝1+，
∴点C的坐标为：（，1+）．
故答案为：（，1+）．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠EDC＝25°，则∠BAD＝ 50 °．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD的关系，再代入数据计算即可得解．
解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC，
在△CDE中，∠AED＝∠EDC∠∠，
∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC，
∵∠EDC＝25°，
∴∠BAD＝2×25°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，主要利用了等边对等角的性质，熟记性质并求出∠EDC与∠BAD的关系是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝3，AB＝4，S△ABC＝5，则点D到AC的距离为 ．
【分析】过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用三角形的面积公式计算可求解．
解：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴S△ABDC＝AB•DE+AC•DE＝2DE+DF＝DF＝5，
∴DF＝，
∴点D到AC的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得DE＝DF是解题的关键．
14．如图，弹性小球从点A（0，2）出发，沿着箭头方向运动，当小球碰到x轴反弹后经过点B（4，3），反弹时反射角等于入射角，则小球从点A到点B所经过的路径的长为 ．
【分析】首先利用已知他可以证明△AOC∽△BDC，然后利用相似三角形的性质可以求出OC，CD，最后利用勾股定理即可求解．
解：如图，过B作BD⊥x轴于D，
依题意∠ACO＝∠BCD，∠AOC＝∠BCD＝90°，
∴△AOC∽△BDC，
∴＝，
而点A（0，2），B（4，3），
∴AO＝2，BD＝3，OD＝4，
设OC＝x，则CD＝4﹣x，
∴＝，
∴x＝，
∴4﹣x＝，
∴小球从点A到点B所经过的路径的长为AC+BC＝+＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了轨迹，同时也利用了相似三角形的性质与判定及勾股定理，有一定的综合性，解题的关键是找出相似三角形解决问题．
15．已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
表2：
则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】根据表格中的数据可以分别求出一次函数的解析式，从而可以得到不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集．
解：∵点（﹣4，﹣1）和（﹣3，0）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上，
∴，解得，
即一次函数y1＝x+3，
令y3＝k1（x﹣1）+b1＝x﹣1+3＝x+2，
∵点（﹣2，0）和（﹣1，﹣1）在一次函数y2＝k2x+b2的图象上，
∴，解得，
即一次函数y2＝﹣x﹣2，
令x+2＝﹣x﹣2，得x＝﹣2，
∴关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数和不等式的关系，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝5cm，AB＝2cm，点E在BC上，CE＝1cm，F是AD上一动点，将四边形CDFE沿EF翻折至四边形C′D′FE的位置，FD′与BC相交于点G，当点F从点A运动到AD的中点时，点G运动路线的长为 cm．
【分析】当点F与点A重合时，利用勾股定理求得BG的长；当点F动到AD的中点时，利用勾股定理求得BG的长；则BG的长度之差即为点G运动路线的长．
解：由题可得，∠DFE＝∠GFE，∠DFE＝∠GEF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE．
如图所示，当点F与点A重合时，
设FG＝GE＝x，则BG＝5﹣1﹣x＝4﹣x，
Rt△FBG中，FB2+BG2＝FG2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝2.5，
∴BG＝4﹣2.5＝（cm）；
如图所示，当点F动到AD的中点时，过F作FH⊥BC于H，则AF＝BH＝2.5，
设FG＝GE＝x，则HG＝5﹣1﹣x﹣2.5＝1.5﹣x，
Rt△FHG中，FH2+HG2＝FG2，
∴22+（1.5﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BG＝4﹣＝（cm）；
∴点G运动路线的长为＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题以及勾股定理的运用，解题的方法是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】先计算平方根和立方根，再计算加减．
解：
＝7+6﹣3
＝10．
【点评】此题考查了开平方、开立方的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．求下列各式中x的值：
（1）4x2+1＝10；
（2）．
【分析】（1）将原式变形后利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
解：（1）原方程整理得：x2＝，
则x＝±；
（2）由原方程可得x﹣1＝﹣，
解得：x＝．
【点评】本题考查立方根与平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC三个顶点在格点上．已知点A（1，1），点C（2，3）．
（1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点O）．
（2）现将△ABC先向下平移4个单位长度，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1．连接CC1，则线段CC1的中点坐标为 （0，1） ．
（3）若△ABC内有一点P（a，b），则点P经过（2）中的平移、对称后得到的点P1的坐标是 （﹣a，b﹣4） ．
【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段CC1的中点坐标．
（3）由平移和轴对称可知，点P（a，b）经过（2）中的平移后得到的点的坐标为（a，b﹣4），再沿y轴翻折得到点P1的坐标为（﹣a，b﹣4）．
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可知，线段CC1的中点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（3）点P（a，b）先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为（a，b﹣4），
再沿y轴翻折得到点P1的坐标为（﹣a，b﹣4）．
故答案为：（﹣a，b﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
20．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E，F，BE＝CF．求证：点D在∠A的平分线上．
【分析】连接AD．证明Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），推出DE＝DF即可解决问题．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的外部，∠ABD＝∠C，∠D＝90°．求证BC＝2BD．
【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得到BC＝2CH，由AAS证明△ABD≌△ACH，推出BD＝CH，即可证明BC＝2BD．
【解答】证明：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CH，
∵∠ABD＝∠C，∠D＝∠AHC＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACH（AAS），
∴BD＝CH，
∴BC＝2BD．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质得到BC＝2CH；证明△ABD≌△ACH（AAS），推出BD＝CH．
22．用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小．
【分析】用作差和作比两种方法进行解答即可．
解：方法一：作差法，
x+1﹣（﹣x+3）
＝x+1+x﹣3
＝2x﹣2，
当x＞1时，2x﹣2＞0，即x+1＞﹣x+3，
当x＝1时，2x﹣2＝0，即x+1＝﹣x+3，
当x＜1时，2x﹣2＜0，即x+1＜﹣x+3；
方法二：作比法，
＝﹣＝﹣＝﹣（1+），
当x＞1时，﹣（1+）＞1，即x+1＞﹣x+3，
当x＝1时，﹣（1+）＝1，即x+1＝﹣x+3，
当x＜1时，﹣（1+）＜1，即x+1＜﹣x+3．
【点评】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是要进行分类讨论．
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a．
（1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
其中，①是 c2﹣（a﹣x）2 ；②是 2ax ．
（2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明．
【分析】（1）在Rt△ADB中根据勾股定理即可表示出AD2，从而得出b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，然后进行判断即可；
（2）过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ADC和Rt△ADB中分别根据勾股定理表示出AD2，然后仿照（1）中的方法判断即可．
解：（1）如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，
∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，
在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
化简得，a2+b2﹣c2＝2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴a2+b2﹣c2＞0，
∴a2+b2＞c2．
其中，①是c2﹣（a﹣x）2；②是2ax；
故答案为：c2﹣（a﹣x）2，2ax；
（2）a2+b2＜c2；
证明：如图，
过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x，
∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，
在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，
化简得，a2+b2﹣c2＝﹣2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴﹣2ax＜0，
∴a2+b2﹣c2＜0，
∴a2+b2＜c2．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
24．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图所示．
（1）若图象经过点（﹣1，0）和（0，2）．
①求y与x的函数表达式；
②当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是 0≤y≤4 ．
（2）尺规作图：在同一坐标系中作y＝﹣kx﹣2b的函数图象．
（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【分析】（1）①利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
②利用解析式计算出自变量为﹣1和1所对应的函数值，然后根据一次函数的性质求解；
（2）直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点B、C，在y轴的负半轴上截取OA＝2OB，在x轴的负半轴上截取OD＝2OC，则直线AD满足条件．
解：（1）①根据题意得，
解得，
∴y与x的函数表达式为y＝2x+2；
②当x＝﹣1时，y＝0；当x＝1时，y＝2+2＝4，
∴当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤4；
故答案为：0≤y≤4；
（2）如图，在y轴的负半轴上截取OA＝2OB，在x轴的负半轴上截取OD＝2OC，
则直线AD为函数y＝﹣kx﹣2b的图象．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
25．如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上．学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离y（km）与所用时间t（h）的函数图象如图②所示，其中，点C在线段AB上．
（1）部队和基地相距 100 km，客车到达仓库前的速度为 80 km/h．
（2）求校车离部队的距离y与t的函数表达式以及教官们领取装备所用的时间．
（3）为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，则客车第二次出发时的速度至少是多少？
【分析】（1）由图象直接得出部队和基地的距离；根据客车0.5小时行驶的距离为40km，求出客车到达仓库前的速度；
（2）用待定系数法求函数解析式；再把y＝80代入解析式求出x，然后求出客车在仓库停留的时间；
（3）求出校车到达基地的时间，就可得出客车到达基地最大时间，然后求出客车速度的最小值．
解：（1）由图象可知，部队和基地相距100km，
客车到达仓库前的速度为：＝80（km/h），
故答案为：100，80；
（2）校车离部队的距离y与t的函数表达式为y＝kt+b，
把（0，20），（0.5，40）代入解析式得：，
解得，
∴校车离部队的距离y与t的函数表达式为y＝40x+20；
把y＝80代入y＝40x+20得，80＝40x+20，
解得x＝1.5，
∵客车的速度为80km/h，
∴客车到达仓库的时间为＝1（h），
∵1.5﹣1＝0.5（h），
∴教官们领取装备所用的时间0.5h；
把y＝100代入y＝40x+20得，100＝40x+20，
解得x＝2，
∴校车2小时到达营地，
为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，
客车到达基地的时间t≤2﹣＝，
∴客车第二次出发时的速度v≥＝60（km/h）．
∴客车第二次出发时的速度至少是60km/h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
26．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝ 1 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 ﹣＜k＜且k≠0 ．
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1；
（2）分三种情况画出图形：当Q在A上方时，Q的坐标是（0，4）；当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，可得AQ＝2QH＝2，Q（0，1）；当Q在BC下方时，Q（0，﹣1）；
（3）求出直线y＝kx﹣k过定点（1，0），当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），直线y＝kx﹣k过D（﹣5，﹣2）时﹣2＝﹣5k﹣k，k＝，把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得k＝﹣，根据线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，可得直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，画出图形可得答案．
解：（1）∵P（1，2）与边长为3的正方形OABC的边上的点的最小距离为1，
∴根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1，
故答案为：1；
（2）当Q在A上方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴AQ＝1，
∵A的坐标是（0，3），
∴Q的坐标是（0，4）；
当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴QH＝1，
∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC，
∴∠QAH＝30°，
∴AQ＝2QH＝2，
∵A的坐标是（0，3），
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）；
当Q在BC下方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴OQ＝1，
∴Q（0，﹣1）；
综上所述，Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）；
（3）如图：
当x＝1时，y＝k×1﹣k＝0，
∴直线y＝kx﹣k过定点（1，0），
当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），
当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），
把D（﹣5，﹣2）代入y＝kx﹣k得：﹣2＝﹣5k﹣k，
解得k＝，
把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得：﹣4＝4k﹣k，
解得k＝﹣，
∵线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，
∴直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，
由图可知，此时﹣＜k＜且k≠0．
故答案为：﹣＜k＜且k≠0．
【点评】本题考查一英寸函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
…
y1
…
﹣3
﹣1
0
…
x
…
﹣2
﹣1
1
…
y2
…
0
﹣1
﹣3
…
如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x．
∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，
在Rt△ADB中，AD2＝①，
∴b2﹣x2＝①．
化简得，a2+b2﹣c2＝2ax．
∵a＞0，x＞0，∴②＞0．
∴a2+b2﹣c2＞0．
∴a2+b2＞c2．
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
…
y1
…
﹣3
﹣1
0
…
x
…
﹣2
﹣1
1
…
y2
…
0
﹣1
﹣3
…
如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x．
∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，
在Rt△ADB中，AD2＝①，
∴b2﹣x2＝①．
化简得，a2+b2﹣c2＝2ax．
∵a＞0，x＞0，∴②＞0．
∴a2+b2﹣c2＞0．
∴a2+b2＞c2．