2023-2024学年四川省乐山市市中区七年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年四川省乐山市市中区七年级（上）期末数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若某地某日最高气温零上5℃记作：+5℃，则该地某日最低气温为零下3℃，记作（ ）
A．﹣3℃B．+3℃C．﹣8℃D．+8℃
2．下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是（ ）
A．B．C．D．
3．以下说法中正确的是（ ）
A．πab的系数为
B．3ab2与﹣3a2b是同类项
C．22x2y3的次数是7
D．m3+2m2n2﹣5n2是四次三项式
4．如图，AB∥CD，若∠2＝135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图，小明的家在A处，他想尽快赶到学校B处，共有①②③条线路可走，他选择第②条线路，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．连结两点的线段叫做线段的长度
D．垂线段最短
6．已知a﹣b＝2，则代数式2b﹣2a+4的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
7．点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．1+aB．1﹣aC．a﹣1D．﹣a﹣1
8．若|m|＝3，n2＝4，且|m﹣n|＝n﹣m，则m+n的值为（ ）
A．±1B．±5C．1或5D．﹣1或﹣5
10．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…第n个三角数记为an，计算a2024﹣a2023的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．若α＝36°18'，则α的补角为 ．
12．用“＞”、“＜”或“＝”填空：﹣3.14 ﹣π．
13．中国太空站距离地球约400公里，每秒绕地球飞行7.8千米，大约每90分钟绕地球飞行一圈，飞行路程约42000000米，42000000用科学记数法记为 ．
14．已知3x2ym+1与﹣2xn﹣2y3（m、n是常数）的差是单项式，则（m﹣n）3＝ ．
15．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面的两个数字之和相等，那么a+b﹣2c＝ ．
16．如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝ ．
三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC；
（2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离．
19．先化简，再求值：，其中|x﹣2|．
20．如图8，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．
请完成下列证明并填空（理由或数学式）．
证明：∵AD⊥BC，EC⊥BC（ ），
∴AD∥ ．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（ ）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
21．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：
（1）判断下列各式的符号：a+b 0，c﹣a 0，c﹣b 0；
（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|﹣|c﹣b|．
22．如图，线段AD＝28cm，点B在线段AD上，C为BD的中点，且．
（1）图中共有多少条线段；
（2）求线段BC的长．
23．从2024年开始，我市中考体育总分将增加到70分．为适应新中考要求，嘉定中学计划在网上购买足球和跳绳共学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球80个，跳绳x条（x＞80）．
（1）若在甲网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在乙网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）．
（2）当x＝200时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算．
（3）当x＝200时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元．
24．（1）已知，点C是线段AB的中点，点D是线段AB上任一点（不与点C重合）．
①如图1，若点D在点C的右侧，求证：；
②如图2，若点D在点C的左侧，请直接写出CD、AD、BD之间的数量关系；
（2）类比地，如图3，OC平分∠AOB，OD是∠AOB内任一射线，判断∠COD、∠AOD、∠BOD之间的数量关系，并说明理由．
25．阅读材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，这个结论我们可以推广到数轴上任意两点之间的距离，如图，若数轴上两点A、B分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．
根据阅读材料，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A、B间的距离是 ，若AB＝3，则x ；
（3）求|x﹣6|﹣|x+2|的最大值，并求出x的取值范围；
（4）互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C．若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，请分析判断在点A、B、C中哪个点居于另外两点之间．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）如图1，∠1与∠3的数量关系是 ，理由是 ；
（2）如图1，若∠BCE＝120°，求∠2的度数；
（3）如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方时，探究以下问题：
①当DE∥AB时，求出∠BCD的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接∠BCD角度所有可能的值．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若某地某日最高气温零上5℃记作：+5℃，则该地某日最低气温为零下3℃，记作（ ）
A．﹣3℃B．+3℃C．﹣8℃D．+8℃
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
解：某地某日最高气温零上5℃记作：+5℃，则该地某日最低气温为零下3℃，记作﹣3℃，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的两是解题的关键．
2．下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
3．以下说法中正确的是（ ）
A．πab的系数为
B．3ab2与﹣3a2b是同类项
C．22x2y3的次数是7
D．m3+2m2n2﹣5n2是四次三项式
【分析】选项A、C根据单项式的定义判断即可；选项B根据同类项的定义判断即可；选项D根据多项式的定义判断即可．
解：A．的系数为，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．3ab2与﹣3a2b所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．22x2y3的次数是5，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．m3+2m2n2﹣5n2是四次三项式，原说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式，多项式以及同类项，掌握相关定义是解答本题的关键．
4．如图，AB∥CD，若∠2＝135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】要求∠1的度数，只需根据两直线平行，同位角相等的性质求得∠1的邻补角．
解：∵AB∥CD，若∠2＝135°，
∴∠2的同位角为135°．
∴∠1＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及邻补角的性质．
5．如图，小明的家在A处，他想尽快赶到学校B处，共有①②③条线路可走，他选择第②条线路，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．连结两点的线段叫做线段的长度
D．垂线段最短
【分析】根据线段的性质解答即可．
解：∵两点之间，线段最短，
∴选择第②条线路比较近．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的性质，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．
6．已知a﹣b＝2，则代数式2b﹣2a+4的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
解：∵a﹣b＝2，
∴2b﹣2a+4
＝﹣2（a﹣b）+4
＝﹣2×2+4
＝0，
故选：C．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
7．点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．1+aB．1﹣aC．a﹣1D．﹣a﹣1
【分析】利用点C和AC长求出点A，再利用OA＝OB即可求出点B．
解：∵C所表示的数为a，
∴OC＝﹣a，
∵AC＝1，
∴OA＝1﹣a，
∴OB＝OA＝1﹣a，
∴点B所表示的数为1﹣a．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，线段的和差关系及各数的取值是本题解题关键．
8．若|m|＝3，n2＝4，且|m﹣n|＝n﹣m，则m+n的值为（ ）
A．±1B．±5C．1或5D．﹣1或﹣5
【分析】先根据绝对值运算、平方根的定义分别求出m，n的值，再代入计算即可得．
解：∵|m|＝3，n2＝4，
∴m＝±3，n＝±2，
∵|m﹣n|＝n﹣m，
∴n﹣m≥0，即n≥m，
∴n＝2，m＝﹣3或n＝﹣2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣1或m+n＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值、平方根，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
9．故选：B．
10．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…第n个三角数记为an，计算a2024﹣a2023的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】先求出：a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，a5﹣a4＝15﹣10＝5，…根据规律可以写出a2024﹣a2023的结果．
解：根据题意：a2﹣a1＝3﹣1＝2，
a3﹣a2＝6﹣3＝3，
a4﹣a3＝10﹣6＝4，
a5﹣a4＝15﹣10＝5，
…，
∴an﹣an﹣1＝n，
∴a2024﹣a2023＝2024．
故选：D．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类问题，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后即可解决问题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．若α＝36°18'，则α的补角为 143°42' ．
【分析】用180°减去∠α的度数，求出的差就是α的补角的度数．
解：∵α＝36°18'，
∴α的补角＝180°﹣36°18'＝143°42'．
故答案为：143°42'．
【点评】本题主要考查补角，熟练掌握求一个角的补角的方法是解决问题的关键．
12．用“＞”、“＜”或“＝”填空：﹣3.14 ＞ ﹣π．
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
解：∵|﹣3.14|＝3.14，|﹣π|＝π，
3.14＜π，
∴﹣3.14＞﹣π，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较和绝对值的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
13．中国太空站距离地球约400公里，每秒绕地球飞行7.8千米，大约每90分钟绕地球飞行一圈，飞行路程约42000000米，42000000用科学记数法记为 4.2×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：42000000＝4.2×107，
故答案为：4.2×107．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．已知3x2ym+1与﹣2xn﹣2y3（m、n是常数）的差是单项式，则（m﹣n）3＝ ﹣8 ．
【分析】根据同类项的定义求得m，n的值后代入（m﹣n）3中计算即可．
解：∵3x2ym+1与﹣2xn﹣2y3（m、n是常数）的差是单项式，
∴m+1＝3，n﹣2＝2，
∴m＝2，n＝4，
∴（m﹣n）3＝（2﹣4）3＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查同类项，代数式求值，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键．
15．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面的两个数字之和相等，那么a+b﹣2c＝ 38 ．
【分析】由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a＝b+4＝c+25，进一步得到a﹣c，b﹣c的值，整体代入a+b﹣2c＝（a﹣c）+（b﹣c）求值即可．
解：由题意8+a＝b+4＝c+25
∴b﹣c＝21，a﹣c＝17，
∴a+b﹣2c＝（a﹣c）+（b﹣c）＝17+21＝38．
故答案为：38
【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解答本题的关键是得到a﹣c，b﹣c的值后用这些式子表示出要求的原式．
16．如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝ 68° ．
【分析】过点B作BF∥CD，延长OA交BF于点F，由平行线的性质可求得∠AFB＝90°，从而可求∠ABF的度数，再由平行线的性质可得∠BCE+∠ABC＝180°，∠BED+∠CBF＝180°，从而可求∠ECD的度数．
解：过点B作BF∥CD，延长OA交BF于点F，如图，
∵AO⊥MN，
∴∠AON＝90°，
∵CD∥MN，
∴CD∥BF∥MN，
∴∠AFB＝∠AON＝90°，∠BCD+∠CBF＝180°，
∵∠BAO＝158°，
∴∠ABF＝∠BAO﹣∠AFB＝68°，
∵CE∥AB，
∴∠BCE+∠ABC＝180°，
∴∠BCE+∠CBF+∠ABF＝180°，
得∠BCE+∠CBF＝112°，
∵∠CBF+∠BCE+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣（∠CBF+∠BCE）＝68°．
故答案为：68°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线．
三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【分析】将原式变形后利用乘法分配律及有理数的乘方计算即可．
解：原式＝（+﹣）×（﹣24）﹣1
＝×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣1
＝﹣3﹣32+30﹣1
＝﹣6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC；
（2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离．
【分析】（1）按要求作出相应的图形即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
解：如图，
（2）△ABC的面积为6，AC＝3，
∴B点到射线AC的距离为：6×2÷3＝4．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
19．先化简，再求值：，其中|x﹣2|．
【分析】先化简整式，再根据非负数的和为零确定x、y的值，最后代入求值．
解：
＝2x2y﹣3xy﹣2x2y+2xy﹣xy2+xy
＝﹣xy2，
∵|x﹣2|≥0，（y+）2≥0，|x﹣2|，
∴x﹣2＝0，y+＝0．
∴x＝2，y＝﹣．
∴原式＝﹣2×（﹣）2
＝﹣2×
＝﹣．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则，非负数的性质等知识点是解决本题的关键．
20．如图8，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．
请完成下列证明并填空（理由或数学式）．
证明：∵AD⊥BC，EC⊥BC（ 已知 ），
∴AD∥ EC ．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC（ 角平分线定义 ）．
【分析】证AD∥EC，再由平行线的性质得∠1＝∠E，∠2＝∠3，然后由∠E＝∠3得∠1＝∠2，即可得出结论．
解：∵AD⊥BC，EC⊥BC（已知），
∴AD∥EC．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．
故答案为：已知，EC；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：
（1）判断下列各式的符号：a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0，c﹣b ＜ 0；
（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|﹣|c﹣b|．
【分析】（1）由数轴可得a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，从而可得a+b＜0，c﹣a＞0，c﹣b＜0；
（2）根据绝对值的性质进行化简即可．
解：（1）由数轴可得a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，则
a+b＜0，c﹣a＞0，c﹣b＜0，
故答案为：＜；＞；＜；
（2）|a+b|﹣|c﹣a|﹣|c﹣b|
＝﹣a﹣b﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣b﹣c+a﹣b+c
＝﹣2b．
【点评】本题考查实数与数轴，绝对值，结合已知条件得出a＜c＜0＜b，|a|＞|b|是解题的关键．
22．如图，线段AD＝28cm，点B在线段AD上，C为BD的中点，且．
（1）图中共有多少条线段；
（2）求线段BC的长．
【分析】（1）按顺序计算即可得出线段数量；
（2）设AB＝x cm，则BC＝CD＝3x cm，根据题意列出方程求解即可．
解：（1）线段有AB、AC、AD，BC、BD，CD，
答：共有6条线段；
（2）设AB＝x cm，则CD＝3x cm，
∵C为BD的中点，
∴BC＝CD＝3x，
∴3x+3x+x＝28，
解得x＝4，
∴BC＝3×4＝12（cm）．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解一元一次方程，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．
23．从2024年开始，我市中考体育总分将增加到70分．为适应新中考要求，嘉定中学计划在网上购买足球和跳绳共学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球80个，跳绳x条（x＞80）．
（1）若在甲网店购买，需付款 （30x+9600） 元（用含x的代数式表示）；若在乙网店购买，需付款 （27x+10800） 元（用含x的代数式表示）．
（2）当x＝200时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算．
（3）当x＝200时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元．
【分析】（1）根据题意列得代数式即可；
（2）将x＝200代入所列代数式中计算后比较大小即可；
（3）根据题意列式计算即可．
解：（1）若在甲网店购买，需付款150×80+30（x﹣80）＝（30x+9600）（元）；
若在乙网店购买，需付款（150×80+30x）×90%＝（27x+10800）（元）；
故答案为：（30x+9600）；（27x+10800）；
（2）当x＝200时，
30x+9600＝30×200+9600＝15600（元），
27x+10800＝27×200+10800＝16200（元），
∵15600＜16200，
∴在甲网店购买合算；
（3）当x＝200时，先从甲网店购买80个足球，送80条跳绳，需付款150×80＝12000（元），
再从乙网店购买120条跳绳，需付款120×30×90%＝3240（元），
共付款12000+3240＝15240（元），
∵15240＜15600＜16200，
∴省钱的购买方案是：先从甲网店购买80个足球，送80条跳绳，再从乙网店购买120条跳绳，共付款15240元．
【点评】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．
24．（1）已知，点C是线段AB的中点，点D是线段AB上任一点（不与点C重合）．
①如图1，若点D在点C的右侧，求证：；
②如图2，若点D在点C的左侧，请直接写出CD、AD、BD之间的数量关系；
（2）类比地，如图3，OC平分∠AOB，OD是∠AOB内任一射线，判断∠COD、∠AOD、∠BOD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据线段的和差求解即可；②根据线段的和差求解即可；
（2）根据角平分线定义及角的和差求解即可．
【解答】（1）①证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵CD＝BC﹣BD，
∴CD＝AC﹣BD＝AD﹣CD﹣BD，
∴2CD＝AD﹣BD，
∴CD＝（AD﹣BD）；
②解：CD＝（BD﹣AD），理由如下：
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵CD＝AC﹣AD，
∴CD＝BC﹣AD＝BD﹣CD﹣AD，
∴2CD＝BD﹣AD，
∴CD＝（BD﹣AD）；
（2）解：∠COD＝（∠BOD﹣∠AOD），理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOD+∠COD＝∠AOC，∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，
∴∠AOD+∠COD＝∠BOD﹣∠COD，
∴2∠COD＝∠BOD﹣∠AOD，
∴∠COD＝（∠BOD﹣∠AOD）．
【点评】此题考查了线段的和差及角的计算，熟记线段中点定义及角平分线定义是解题的关键．
25．阅读材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，这个结论我们可以推广到数轴上任意两点之间的距离，如图，若数轴上两点A、B分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．
根据阅读材料，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 5 ；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A、B间的距离是 |x+2| ，若AB＝3，则x ﹣5或1 ；
（3）求|x﹣6|﹣|x+2|的最大值，并求出x的取值范围；
（4）互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C．若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，请分析判断在点A、B、C中哪个点居于另外两点之间．
【分析】（1）绝对值内相减即可解答；
（2）绝对值内相减，再代入3即可解答；
（3）分析差最大时的点应在﹣2或﹣2的左侧即可解答；
（4）根据已知判断AB+AC＝BC，即可解答．
解：（1）2﹣（﹣3）＝5，
∴表示2和﹣3的两点之间的距离是5，
故答案为：5；
（2）|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∵|x+2|＝3，
∴x＝﹣5或1，
故答案为：|x+2|，﹣5或1；
（3）|x﹣6|﹣|x+2|表示的是x与6和x与﹣2的距离的差，
当x≤﹣2时，6﹣（﹣2）＝8，
∴x的取值范围为x≤﹣2；
（4）∵|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，
∴AB+AC＝BC，
∴点A位于点B、C之间．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质的应用是解题关键．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）如图1，∠1与∠3的数量关系是 ∠1＝∠2 ，理由是 同角的余角相等 ；
（2）如图1，若∠BCE＝120°，求∠2的度数；
（3）如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方时，探究以下问题：
①当DE∥AB时，求出∠BCD的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接∠BCD角度所有可能的值．
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，据此可得出答案；
（2）由∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°得∠1+2∠2+∠3＝180°，再根据∠BCE＝120°得∠1+∠2+∠3＝120°，据此可得出∠2的度数；
（3）①延长BC交DE于点F，由平行线的性质得∠DFC＝180°﹣∠B＝120°，进而得∠D＝∠E＝45°，则∠DCF＝15°，再根据邻补角的定义可得∠BCD的度数；
②依题意有以下五种情况（ⅰ）当CE∥AB时，（ⅱ）当DE∥BC时，（ⅲ）当CD∥AB时，（ⅳ）当DE∥AC时，（ⅴ）当DE∥AB时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质可得出∠BCD的度数．
解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠2；同角的余角相等．
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+2∠2+∠3＝180°，
又∵∠BCE＝120°，
∴∠1+∠2+∠3＝120°，
∴∠2＝60°；
（3）①延长BC交DE于点F，如图1所示：

∵∠B＝60°，DE∥AB，点D在直线BC的上方，
∴∠DFC＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠D＝∠E＝45°，
∴∠DCF＝180°﹣（∠DFC+∠D）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF＝165°；
②∵改变三角尺DCE的位置，且点D在直线BC的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（ⅰ）当CE∥AB时，如图2所示：

则∠ACE＝∠A＝30°，
由（1）可知：∠BCD＝∠ACE＝30°；
（ⅱ）当DE∥BC时，如图3所示：

则∠BCD＝∠D＝45°；
（ⅲ）当CD∥AB时，如图4所示：

则∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°；
（ⅳ）当DE∥AC时，如图5所示：

则∠ACD＝∠D＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°；
（ⅴ）当DE∥AB时，与（3）①相同，∠BCD＝165°．
综上所述：∠BCD的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，理解查了平行线的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．