2023-2024学年江西省上饶市广信区、余干县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市广信区、余干县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，属于全等图形的一对是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AFB．线段DBC．线段CFD．线段BE
3．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．（﹣b2）3＝b6
B．a3+a3＝a4
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
D．2a6÷a2＝2a3
5．如果分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③；④∠1+2∠3＝180°，其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
7．三角形内角和定理：三角形内角和等于 ．
8．△ABC和△DEF全等，记作 ．
9．一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 度．
10．若分式的值等于0，则y＝ ．
11．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则a2+b2＝ ．
12．整数m为 时，式子为整数．
三、解答题（每题6分，共30分）
13．计算：
（1）51×49；
（2）1032．
14．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空：
（1）BF＝ ＝ ；
（2）∠BAD＝ ＝ ；
（3）∠AEB＝ ＝90°；
（4）S△ABC＝ ．
15．分解因式：x2y﹣4y．
16．计算：．
17．（1）如图1，已知BE，CD是△ABC的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分别平分∠ABC与∠DCB，AC与BD相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出∠BOC的平分线．
四、解答题（每题8分，共24分）
18．以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步
解得x＝4．…第二步
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步
所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程．
19．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
20．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0，我们可以按下面的方法解答：
试用上述这种十字相乘法解下列方程：
（1）x2+5x+4＝0；
（2）x2+3x﹣10＝0．
五、解答题（每题9分，共18分）
21．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg产品，甲型机器人搬运800kg产品所用时间与乙型机器人搬运600kg产品所用时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运800kg产品所用时间为y小时，可列方程为 ．
（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
22．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
参考答案
一、单选题
1．下列图形中，属于全等图形的一对是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案．
解：选项B中的两个图形的形状一样，大小相等，
∴该选项中的两个图形是全等形，
故选项B符合题意；
选项C中的两个图形形状一样，但大小不相等，
选项A，D中的两个图形不是全等形，
故选项A，C，D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形全等的定义，正确理解图形全等的定义是解决问题的关键．
2．如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AFB．线段DBC．线段CFD．线段BE
【分析】根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果．
解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．
3．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A不属于轴对称图形，故错误；
B不属于轴对称图形，故错误；
C不属于轴对称图形，故错误；
D属于轴对称图形，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．（﹣b2）3＝b6
B．a3+a3＝a4
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
D．2a6÷a2＝2a3
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式除以单项式法则计算即可得出答案．
解：A、（﹣b2）3＝﹣b6，不符合题意；
B、a3+a3＝2a3，不符合题意；
C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，符合题意；
D、2a6÷a2＝2a4，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式除以单项式法则，属于基础题．
5．如果分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由于分式的值为负数，而分子为正数，则分母1﹣2x小于0，然后解不等式即可．
解：∵分式的值为负数，
∴1﹣2x＜0，
∴x＞．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值，解题的关键是得到关于x的不等式．
6．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③；④∠1+2∠3＝180°，其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先利用长方形的性质可得：AD∥BC，从而利用平行线的性质可得∠4＝∠3，∠1+∠2＝180°，再利用折叠的性质可得：∠4＝∠5＝∠DEG，从而可得EF平分∠DEM，∠3＝∠5＝∠4＝∠DEM，然后利用三角形的外角性质可得：∠2＝∠3+∠5＝2∠3，从而可得∠1+2∠3＝180°，再利用平角定义可得∠1+∠DEM＝180°，最后利用等式的性质以及等量代换可得：∠1+∠3＝90°，即可解答．
解：如图：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠4＝∠3，∠1+∠2＝180°，
由折叠得：∠4＝∠5＝∠DEG，
∴EF平分∠DEM，∠3＝∠5＝∠4＝∠DEM，
∵∠2是△EFG的一个外角，
∴∠2＝∠3+∠5＝2∠3，
∴∠1+2∠3＝180°，
∵∠1+∠DEM＝180°，
∴∠1+∠DEM＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
所以，上列结论，其中一定正确的是①②④，有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二、填空题
7．三角形内角和定理：三角形内角和等于 180° ．
【分析】根据三角形内角和定理即可得答案．
解：∵三角形内角和等于180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题关键．
8．△ABC和△DEF全等，记作 △ABC≌△DEF ．
【分析】根据全等三角形的表示符号求解即可．
解：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，
故答案为：△ABC≌△DEF．
【点评】此题考查了全等三角形，熟记全等三角形的表示方法是解题的关键．
9．一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 100 度．
【分析】已知给出了一个底角为40°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
解：因为其底角为40°，所以其顶角＝180°﹣40°×2＝100°．
故填100．
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
10．若分式的值等于0，则y＝ ﹣5 ．
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．
解：若分式的值等于0，
则|y|﹣5＝0，y＝±5．
又∵5﹣y≠0，y≠5，
∴y＝﹣5．
若分式的值等于0，则y＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点，此题很容易出错，不考虑分母为0的情况．
11．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则a2+b2＝ 5 ．
【分析】根据完全平方公式解决此题．
解：∵a+b＝1，ab＝﹣2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1．
∴a2+b2＝1﹣2ab＝1﹣2×（﹣2）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
12．整数m为 2，0，4，﹣2 时，式子为整数．
【分析】由式子为整数可知m﹣1＝3或m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1或m﹣1＝﹣3，从而可解得m的值．
解：∵3×1＝（﹣1）×（﹣3）＝3，
∴m﹣1＝3或m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1或m﹣1＝﹣3．
解得：m＝4或m＝2或m＝0或m＝﹣2．
故答案为：2，0，4，﹣2．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，根据式子为整数确定出m﹣1的值是解题的关键．
三、解答题（每题6分，共30分）
13．计算：
（1）51×49；
（2）1032．
【分析】（1）先把原式变形为（50+1）×（50﹣1），然后根据平方差公式计算即可；
（2）先把原式变形为（100+3）2，然后根据完全平方公式计算即可．
解：（1）51×49
＝（50+1）×（50﹣1）
＝502﹣12
＝2500﹣1
＝2499；
（2）1032
＝（100+3）2
＝1002+2×100×3+32
＝10000+600+9
＝10609．
【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空：
（1）BF＝ CF ＝ BC ；
（2）∠BAD＝ ∠CAD ＝ ∠BAC ；
（3）∠AEB＝ ∠AEC ＝90°；
（4）S△ABC＝ BC•AE ．
【分析】由三角形的中线、高线、角平分线的定义，即可得到答案．
解：（1）∵AF是中线，
∴BF＝CF＝BC，
故答案为：CF，BC；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
故答案为：∠CAD，∠BAC；
（3）∵AE是△ABC的高，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
故答案为：∠AEC；
（4）∵AE是△ABC的高，
∴S△ABC＝BC•AE，
故答案为：BC•AE．
【点评】本题考查三角形的中线、高线、角平分线，关键是掌握三角形的中线、高线、角平分线的定义．
15．分解因式：x2y﹣4y．
【分析】先提公因式y，再利用平方差公式即可．
解：原式＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
16．计算：．
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
解：原式＝••（﹣）
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的乘除法则的应用，注意：把除法变成乘法后进行约分即可．
17．（1）如图1，已知BE，CD是△ABC的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分别平分∠ABC与∠DCB，AC与BD相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出∠BOC的平分线．
【分析】（1）连接A点和BE与CD的交点，并延长交BC于F，则AF满足条件；
（2）BA、CD的延长线相交于P点，可证明△PAB和△OBC都为等腰三角形，同时可判断O点为△PBC的角平分线的交点，则延长PO交BC于Q，所以OQ满足条件．
解：（1）如图1，AF为所作；
（2）如图2，OQ为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图．也考查了三角形三条角平分线相交于点．
四、解答题（每题8分，共24分）
18．以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步
解得x＝4．…第二步
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步
所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步
（1）小明的解法从第 一 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程．
【分析】（1）第一步去分母时整数漏乘．
（2）根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解．
解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误．
故答案为：一．
（2）方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）．
解得x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．
所以，原分式方程的解为x＝4．
【点评】本题考查解分式方程的问题，确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意对分式方程要检验．
19．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，即可得到结论；
（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F＝∠CEA＝90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，由△BCE≌△DCF，得到BE＝DF，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F＝∠CEA＝90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL），
∴AF＝AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，
∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）
＝AE+BE+AE﹣DF＝2AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．
20．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0，我们可以按下面的方法解答：
试用上述这种十字相乘法解下列方程：
（1）x2+5x+4＝0；
（2）x2+3x﹣10＝0．
【分析】根据题中所给的十字相乘法，将方程的二次项和常数项进行竖分，确保交叉相乘再相加等于一次项即可．
解：（1）x2+5x+4＝0，
（x+1）（x+4）＝0，
∴x+1＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣4．
（2）x2+3x﹣10＝0，
（x+5）（x﹣2）＝0，
∴x+5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝2．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，将二次项和常数项进行正确的竖分是解题的关键．
五、解答题（每题9分，共18分）
21．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg产品，甲型机器人搬运800kg产品所用时间与乙型机器人搬运600kg产品所用时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运800kg产品所用时间为y小时，可列方程为 ．
（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg产品，根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，即可得出关于y的分式方程；
（2）任选一位同学的思路，解分式方程即可得出结论．
解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg产品，
依题意得：；
设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，
依题意得：．
故答案为：；．
（2）选择小华同学的思路：，
化简得：800x＝600x+6000，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路：，
变形得：800﹣600＝10y，
解得：y＝20，
经检验，y＝20是原方程的解，且符合题意，
∴．
所以乙型机器人每小时搬运30kg产品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （x﹣y+1）2 ．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）分解因式x2+2x﹣35
①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x﹣5）（x+7）
（2）根据乘法原理，若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35可以这样求解：
方程左边因式分解得（x﹣5）（x+7）＝0
∴x﹣5＝0或x+7＝0
∴x1＝5，x2＝﹣7
（1）分解因式x2+2x﹣35
①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x﹣5）（x+7）
（2）根据乘法原理，若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35可以这样求解：
方程左边因式分解得（x﹣5）（x+7）＝0
∴x﹣5＝0或x+7＝0
∴x1＝5，x2＝﹣7