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2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知2a=3b(ab≠0)，则下列结论一定正确的是( )
A. a=3，b=2B. a2=b3C. ab=32D. a2=3b
2.下列事件是必然事件的是( )
A. 任意一个五边形的外角和等于540°
B. 投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C. 367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D. 今年冬天会下雪
3.如图，已知AB//CD//EF，AC=6，CE=4，BD=5.4，则DF的长为( )
A. 3.2
B. 3.6
C. 4
D. 4.2
4.在平面直角坐标系中，以(−4,3)点为圆心，5为半径作圆，则原点一定( )
A. 在圆外B. 在圆内C. 在圆上D. 与圆相交
5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC等于( )
A. 130°
B. 50°
C. 150°
D. 100°
6.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A. 第3秒
B. 第3.5秒
C. 第4.2秒
D. 第6.5秒
7.如图，小明在A时测得某树的影长为6米，在B时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. 2米
B. 4米
C. 2 3米
D. 8米
8.如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=( )
A. 140°
B. 135°
C. 130°
D. 125°
9.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=2，PC=3，那么CD的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
10.如图，在△ABC中，DF//BC，EF//AB，记S△ADF=S1，S△CEF=S2，S四边形BDFE=S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是( )
A. S3=S1+S2
B. S3=2 S1S2
C. S3= S1S2
D. S3= S1+ S2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将抛物线y=−3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为______．
12.如图，小明在玩游戏，脱手镖游戏板是由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚脱手镖，击中空白区域的概率是______．
13.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则AC= ______cm．
14.C919大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1在某次C919大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车A、B中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−116x2+29.23，当两辆消防车喷射口位置的水平距离AB为40米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度CD为______米.
15.如图，点M坐标为(0,3)，点A坐标为(3,0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC、AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，则CF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
一只不透明的箱子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，除颜色外均相同．
(1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
(2)从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率．
18.(本小题6分)
如图，在△AOB中，OA=3，OB=5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A′OB′．
(1)求点A扫过的弧的长；
(2)求线段AB扫过的面积．
19.(本小题6分)
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
(1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；
(2)根据你的解题经验，直接写出ax2+bx<4−c的解集．
20.(本小题8分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中，PDPA的值为______；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
21.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED=EC，DE交AC于点F．
(1)求证：AE⋅CE=AC⋅EF；
(2)若AB=2，求AF的值．
22.(本小题10分)
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若AFEF=3，求CDCG的值．
(1)尝试探究
在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则EHAB= ______，EHCG= ______．
(2)类比延伸
如图2，在原题的条件下，若AFEF=a(a>0)，求CDCG的值(用含有a的代数式表示).试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图3，在四边形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若ABCD=m，BCBE=n，(m>0,n>0)，则AFEF的值是______(用含m、n的代数式表示)．
23.(本小题10分)
在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中．
(1)若它的图象过点(−1,5)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−1，求出t的值．
(3)如果A(n−2,a)，B(3,b)，C(n,a)都在这个二次函数的图象上，且a24.(本小题12分)
如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．
(1)若AM=4，EB=EM=3，求BM．
(2)若AB=6，BC=8，
①求AM：ME．
②若BM=7，求BE．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、由2a=3b，可知a不一定是3，b不一定是2，故本选项不符合题意；
B、由2a=3b，得a3=b2，故本选项不符合题意；
C、由2a=3b，得ab=32，故本选项符合题意；
D、由2a=3b，得a3=b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据比例的性质，即可求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故A不符合题意；
B.投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，是随机事件，故B不符合题意；
C.367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件，故C符合题意；
D.今年冬天会下雪，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的概念是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=6，CE=4，BD=5.4，
∴64=5.4DF，
∴DF=3.6．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到ACCE=BDDF，代入数值即可求出DF．
本题考查了平行线分线段成比例，熟记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点P的坐标是(−4,3)，
∴OP= (−4)2+32=5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5.【答案】D
【解析】解：延长AO交圆于M，连接BM，
∵AM是圆的直径，
∴∠ABM=90°，
∵∠ABC=130°，
∴∠CBM=130°−90°=40°，
∴∠COM=2∠CBM=80°，
∴∠AOC=180°−80°=100°．
故选：D．
延长AO交圆于M，连接BM，由圆周角定理得到∠ABM=90°，求出∠CBM=130°−90°=40°，即可得到∠COM=2∠CBM=80°，求出∠AOC=180°−80°=100°．
本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ABM=90°，∠COM=2∠CBM．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴为直线t=4，四个选项中的时间越接近4秒，小球就越高．
【解答】
解：∵第2秒与第6秒时的高度相等，
∴4a+2b=36a+6b，
解得b=−8a，
所以函数h=at2+bt的对称轴为直线t=−b2a=4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个选项中只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高，
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
由题知，OH⊥CD，∠COD=90°，
∴∠C+∠D=90°，∠C+∠COH=90°，
∴∠COH=∠D，
∵∠CHO=∠OHD=90°，
∴△CHO∽△OHD，
∴OHCH=DHOH，
∵CH=2米，DH=6米，
∴OH=2 3米，
故选：C．
根据题意证△CHO∽△OHD，求出树高OH即可．
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=12(180°−∠A)=12(180°−70°)=55°，
∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°．
故选D．
先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．
9.【答案】A
【解析】解：连接AC，
由圆周角定理知，∠C=∠B，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∴∠DAP=∠C，
∴△DAP∽△DCA，
∴AD：CD=DP：AD，
得AD2=DP⋅CD=CD⋅(CD−PC)，
把AD=2，PC=3代入得，4=CD⋅(CD−3)，
解得，CD=4．
故选：A．
根据圆周角定理，可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD=DP：AD，代值计算即可求CD的长．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：如图，设AD=a，BD=b，DB与EF间的距离为h，
∵EF//AB，DF//BC，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴BD=EF=b，
∵DF//BC，EF//AB，
∴∠AFD=∠FCE，∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴S△ADFS△FEC=S1S2=(ADEF)2=a2b2，
∵S1=12ah，
∴S2=b2h2a，
∴S1S2=b2h24，
∴bh=2 S1S2，
∵S3=bh，
∴S3=2 S1S2．
故选：B．
设AD=a，BD=b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11.【答案】y=−3(x−1)2+2
【解析】解：函数y=−3x2向右平移1个单位，得：y=−3(x−1)2；
再向上平移3个单位，得：y=−3(x−1)2+2．
故答案为：y=−3(x−1)2+2．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
12.【答案】1118
【解析】解：设每个小正方形格子的长度都是1，
∴空白区域的面积=12×1×2+12×2×3+12×1×3=112，
游戏板的面积=3×3=9，
所以击中空白区域的概率为1129=1118．
故答案为：1118．
直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等，正确进行计算是解题关键．
13.【答案】(40 5−40)
【解析】解：∵AB=80cm，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，
∴AC= 5−12AB= 5−12×80=(40 5−40)cm，
故答案为：(40 5−40)．
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC=(40 5−40)cm，进而得出答案．
本题考查了黄金分割点的概念，根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为 5−12”，进行计算即可，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：∵AB=40，
∴将x=20代入可得y=−116x2+29.23=4.23．
∴C(0,4.23)，
∴CD=29.23−4.23=25(米)．
故答案为：25．
依据题意，把点B的横坐标代入解析式可得点B的纵坐标，即点C的纵坐标，用29.23减去点C的纵坐标即可．
本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
15.【答案】(3,3)
【解析】解：∵OM⊥AB
∴OA=OB，
∵AD=CD，
∴OD//BC，OD=12BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB=90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB=OA=OM，
∴∠ABC=45°，
∵OD//BC，
∴∠AOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD=OA=3，
∴D的坐标为(3,3)，
故答案为：(3,3)．
根据垂径定理得到OA=OB，然后根据三角形中位线定理得到OD//BC，OD=12BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD=OA=2，得到D的坐标为(3,3)．
本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：过点E作EM//PD，
由折叠的性质可得∠A=∠EPD，∠ADE=∠PDE，
∴∠MEF=90°，∠MED=∠PDE=∠ADE，
∴ME=MD，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2，
在Rt△AEM中，AM2+AE2=ME2，
∴AM2+4=(6−AM)2，
解得AM=83，
∵∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∠A=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，
∴AMBE=AEBF，即832=2BF，
解得BF=32，
∴CF=6−32=92．
故答案为：92．
过点E作EM//PD，由折叠的性质可得∠A=∠EPD，∠ADE=∠PDE，即可得出ME=MD，根据勾股定理求出AM，然后证明△AEM∽△BFE，利用对应边成比例即可求出BF，进而求出CF．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵不透明的箱子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是34；
(2)根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况，
所以两次摸出的球都是白球的概率为612=12．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据不放回画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)由旋转的性质得到：∠AOA′=90°，OA′=OA=3，
∴AA′的长=90π×3180=3π2，
∴点A扫过的弧长是3π2；
(2)由旋转的性质得到：∠BOB′=90°，OB′=OB=5，△AOB的面积=△A′OB′的面积，
∵阴影的面积=扇形BOB′+△AOB的面积−扇形AOA′−△A′OB′的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积，
∴阴影的面积=90π×52360−90π×32360=4π．
【解析】(1)由旋转的性质得到：∠AOA′=90°，OA′=OA=3，由弧长公式即可求出AA′的长；
(2)由旋转的性质，得到阴影的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积，由此即可计算．
本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积．
19.【答案】解：(1)由所给表格可知，
二次函数的图象经过点(0,−2)，(1,−2)，
所以抛物线的对称轴为直线x=12，
又因为−1+22=12，
所以x=−1时和x=2时的函数值相等，
故m=0．
将点(−1,0)，(0,−2)，(1,−2)代入函数解析式得，
a−b+c=0c=−2a+b+c=−2，
解得a=1b=−1c=−2，
所以二次函数的解析式为y=x2−x−2．
(2)由ax2+bx<4−c得，
ax2+bx+c<4．
将y=4代入函数解析式得，
x2−x−2=4，
解得x1=−2，x2=3．
又因为抛物线开口向上，
所以当−2二次函数y=x2−x−2的图象在直线y=4的下方，
即ax2+bx+c<4．
所以ax2+bx<4−c的解集为−2【解析】(1)根据表格中的数据，可得出抛物线的对称轴，据此可解决问题．
(2)利用数形结合的思想即可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质及待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的图象和性质及待定系数法是解题的关键．
20.【答案】1：3
【解析】解：(1)如图①中，
∵AB//CD，
∴△PCD∽△PBA．
∴PDPA=CDAB=13，
故答案为：1：3；
(2)
①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．
由勾股定理知：AB= 32+42=5．
∵AP=3，
∴BP=2．
∵BE//FA，
∴△EPB∽△FPA．
∵AP：BP=AF：BE=3：2．
∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；
②如图③所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB//CD，
∴△APB∽△CPD．
(1)如图①中，利用平行线的性质求解即可．
(2)①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
本题属于相似综合题，主要考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠B+∠AEF=∠ACB+∠ECA，
∴∠AEF=∠ECA，
∵∠EAF=∠CAE，
∴△AEF∽△ACE，
∴AEAC=EFCE，
∴AE⋅CE=AC⋅EF；
(2)解：过点E作EH⊥DC，如图：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴ED=EC，
∴EH⊥DC，DH=CH=12CD，
∴BDBH=23，AD//EH，
∴△ABD∽△EBH，
∴ABAE=BDBH=23，
∵AB=2，
∴BE=3，
∴AE=1，
∵△AEF∽△ACE，
∴AEAC=AFAE，
∴AF=AE2AC=12．
【解析】(1)由AB=AC得出∠B=∠ACB，结合题意即可得出△AEF∽△ACE即可得证；
(2)过点E作EH⊥DC，根据等腰三角形的性质得出BDBH=23，AD//EH，进而得出△ABD∽△EBH，根据相似比即可求出AE，再利用△AEF∽△ACE的对应边成比例即可求出AF．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
22.【答案】3 12 mn
【解析】解：(1)依题意，过点E作EH//AB交BG于点H，如图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴ABEH=AFEF=3，
∵▱ABCD，EH//AB，
∴EH//CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
∴EHCG=12．
故答案为：3；12；
(2)如图2所示，作EH//AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴ABEH=AFEF=a．
∴AB=aEH．
∵AB=CD，
∴CD=aEH．
∵EH//AB//CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴CGEH=BCBE=2，
∴CG=2EH．
∴CDCG=aEH2EH=a2；
(3)如图3所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD．
∵EH//CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴CDEH=BCBE=n，
∴CD=nEH．
又ABCD=m，
∴AB=mCD=mnEH．
∵EH//AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴AFEF=ABEH=mnEHEH=mn．
故答案为：mn．
(1)依题意，过点E作EH//AB交BG于点H，如图1所示．根据相似三角形的性质得到ABEH=AFEF=3，根据平行四边形的性质得到EH//CD，根据三角形中位线定理得到CG=2EH.于是得到结论；
(2)如图2所示，作EH//AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.根据相似三角形的性质得到ABEH=AFEF=a.求得AB=aEH.根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)如图3所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD.根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点(−1,5)代入函数解析式得，
(−1)2−2t×(−1)+3=5，
解得t=12．
(2)因为抛物线的对称轴为直线x=−−2t2=t，且抛物线的开口向上，
所以当0t2−2t2+3=−1，
解得t=2(舍负)．
当t≥3时，
9−6t+3=−1，
解得t=136(舍去)，
所以t的值为2．
(3)由A，C两点纵坐标相等可知，
n−2+n2=t，
即n=t+1．
将点B坐标代入函数解析式得，
9−6t+3=b，
又因为b<3，
所以9−6t+3<3，
解得t>32，
所以n=t+1>52．
因为a所以点C离抛物线的对称轴比点B离抛物线的对称轴近，
则n−t<|t−3|，
当n−tn−(n−1)解得n>5．
当n−t<−t+3时，
n−(n−1)<−(n−1)+3，
解得n<3．
综上所述，n的取值范围是325．
【解析】(1)将点(−1,5)的坐标代入即可解决问题．
(2)根据抛物线的对称轴为直线x=t，对t的取值范围进行分类讨论即可解决问题．
(3)由A，C两点的纵坐标相等，可得出n−2+n2=t，再根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质及二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
24.【答案】解：(1)连接AE交BM于点F，
∴∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AE是圆的直径，
∴∠AME=90°，
∵AM=4，EM=3，
∴AE= AM2+EM2= 42+32=5，
∵EB=EM=3，
∴BE=EM，
∴AE⊥BM，BF=FM=12BM，
∵△AME的面积=12AM⋅EM=12AE⋅FM，
∴AM⋅EM=AE⋅FM，
∴5FM=4×3，
∴FM=125，
∴BM=2FM=245，
∴BM的长为245；
(2)①过点M作MP⊥AD，垂足为P，延长PM交BC于点Q，
∴∠APM=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=6，AD//BC，
∴∠MQB=180°−∠APM=90°，
∴∠MEQ+∠EMQ=90°，
由(1)得：∠AME=90°，
∴∠AMP+∠EMQ=180°−∠AME=90°，
∴∠AMP=∠MEQ，
∵∠APM=∠MQE=∠ABC=90°，
∴四边形ABQP是矩形，△APM∽△MQE，
∴AP=BQ，AMME=APMQ，
∵∠BQM=∠C=90°，∠MBQ=∠DBC，
∴△BQM∽△BCD，
∴BQMQ=BCCD=86=43，
∴AMME=BQMQ=43，
∴AM：ME=4：3；
②在Rt△BCD中，BD= BC2+CD2= 82+62=10，
由①得：△BQM∽△BCD，
∴BMBD=MQCD=BQBC，
∴710=MQ6=BQ8，
∴MQ=4.2，BQ=5.6，
由①得：四边形ABQP是矩形，
∴AB=PQ=6，
∴PM=PQ−MQ=6−4.2=1.8，
由①得：△APM∽△MQE，
∴AMME=PMQE，
∴43=1.8QE，
∴QE=1.35，
∴BE=BQ−QE=5.6−1.35=4.25，
∴BE的长为4.25．
【解析】(1)连接AE交BM于点F，利用矩形的性质可得∠ABC=90°，从而可得AE是圆的直径，进而可得∠AME=90°，再在Rt△AME中，利用勾股定理求出AE的长，然后根据已知易得BE=EM，从而利用垂径定理的推论可得AE⊥BM，BF=FM=12BM，再利用面积法求出FM的长，进行计算即可解答；
(2)①过点M作MP⊥AD，垂足为P，延长PM交BC于点Q，再利用矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD=6，AD//BC，从而可得∠MQB=90°，进而利用一线三等角模型构造相似三角形△APM∽△MQE，然后利用相似三角形的性质可得AMME=APMQ，再证明A字模型相似三角形△BQM∽△BCD，从而利用相似三角形的性质可得BQMQ=BCCD=43，最后利用等量代换即可解答；
②在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD=10，再利用①的结论△BQM∽△BCD，从而利用相似三角形的性质可得MQ=4.2，BQ=5.6，然后利用①的结论四边形ABQP是矩形可得AB=PQ=6，从而可得PM=1.8，再利用①的结论△APM∽△MQE，从而利用相似三角形的性质求出QE=1.35，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
0
−2
−2
m
…
1.已知2a=3b(ab≠0)，则下列结论一定正确的是( )
A. a=3，b=2B. a2=b3C. ab=32D. a2=3b
2.下列事件是必然事件的是( )
A. 任意一个五边形的外角和等于540°
B. 投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C. 367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D. 今年冬天会下雪
3.如图，已知AB//CD//EF，AC=6，CE=4，BD=5.4，则DF的长为( )
A. 3.2
B. 3.6
C. 4
D. 4.2
4.在平面直角坐标系中，以(−4,3)点为圆心，5为半径作圆，则原点一定( )
A. 在圆外B. 在圆内C. 在圆上D. 与圆相交
5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC等于( )
A. 130°
B. 50°
C. 150°
D. 100°
6.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A. 第3秒
B. 第3.5秒
C. 第4.2秒
D. 第6.5秒
7.如图，小明在A时测得某树的影长为6米，在B时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. 2米
B. 4米
C. 2 3米
D. 8米
8.如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=( )
A. 140°
B. 135°
C. 130°
D. 125°
9.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=2，PC=3，那么CD的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
10.如图，在△ABC中，DF//BC，EF//AB，记S△ADF=S1，S△CEF=S2，S四边形BDFE=S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是( )
A. S3=S1+S2
B. S3=2 S1S2
C. S3= S1S2
D. S3= S1+ S2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将抛物线y=−3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为______．
12.如图，小明在玩游戏，脱手镖游戏板是由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚脱手镖，击中空白区域的概率是______．
13.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则AC= ______cm．
14.C919大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1在某次C919大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车A、B中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−116x2+29.23，当两辆消防车喷射口位置的水平距离AB为40米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度CD为______米.
15.如图，点M坐标为(0,3)，点A坐标为(3,0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC、AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，则CF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
一只不透明的箱子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，除颜色外均相同．
(1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
(2)从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率．
18.(本小题6分)
如图，在△AOB中，OA=3，OB=5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A′OB′．
(1)求点A扫过的弧的长；
(2)求线段AB扫过的面积．
19.(本小题6分)
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
(1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；
(2)根据你的解题经验，直接写出ax2+bx<4−c的解集．
20.(本小题8分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中，PDPA的值为______；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
21.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED=EC，DE交AC于点F．
(1)求证：AE⋅CE=AC⋅EF；
(2)若AB=2，求AF的值．
22.(本小题10分)
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若AFEF=3，求CDCG的值．
(1)尝试探究
在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则EHAB= ______，EHCG= ______．
(2)类比延伸
如图2，在原题的条件下，若AFEF=a(a>0)，求CDCG的值(用含有a的代数式表示).试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图3，在四边形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若ABCD=m，BCBE=n，(m>0,n>0)，则AFEF的值是______(用含m、n的代数式表示)．
23.(本小题10分)
在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中．
(1)若它的图象过点(−1,5)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−1，求出t的值．
(3)如果A(n−2,a)，B(3,b)，C(n,a)都在这个二次函数的图象上，且a
如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．
(1)若AM=4，EB=EM=3，求BM．
(2)若AB=6，BC=8，
①求AM：ME．
②若BM=7，求BE．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、由2a=3b，可知a不一定是3，b不一定是2，故本选项不符合题意；
B、由2a=3b，得a3=b2，故本选项不符合题意；
C、由2a=3b，得ab=32，故本选项符合题意；
D、由2a=3b，得a3=b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据比例的性质，即可求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故A不符合题意；
B.投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，是随机事件，故B不符合题意；
C.367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件，故C符合题意；
D.今年冬天会下雪，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的概念是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=6，CE=4，BD=5.4，
∴64=5.4DF，
∴DF=3.6．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到ACCE=BDDF，代入数值即可求出DF．
本题考查了平行线分线段成比例，熟记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点P的坐标是(−4,3)，
∴OP= (−4)2+32=5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5.【答案】D
【解析】解：延长AO交圆于M，连接BM，
∵AM是圆的直径，
∴∠ABM=90°，
∵∠ABC=130°，
∴∠CBM=130°−90°=40°，
∴∠COM=2∠CBM=80°，
∴∠AOC=180°−80°=100°．
故选：D．
延长AO交圆于M，连接BM，由圆周角定理得到∠ABM=90°，求出∠CBM=130°−90°=40°，即可得到∠COM=2∠CBM=80°，求出∠AOC=180°−80°=100°．
本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ABM=90°，∠COM=2∠CBM．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴为直线t=4，四个选项中的时间越接近4秒，小球就越高．
【解答】
解：∵第2秒与第6秒时的高度相等，
∴4a+2b=36a+6b，
解得b=−8a，
所以函数h=at2+bt的对称轴为直线t=−b2a=4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个选项中只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高，
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
由题知，OH⊥CD，∠COD=90°，
∴∠C+∠D=90°，∠C+∠COH=90°，
∴∠COH=∠D，
∵∠CHO=∠OHD=90°，
∴△CHO∽△OHD，
∴OHCH=DHOH，
∵CH=2米，DH=6米，
∴OH=2 3米，
故选：C．
根据题意证△CHO∽△OHD，求出树高OH即可．
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=12(180°−∠A)=12(180°−70°)=55°，
∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°．
故选D．
先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．
9.【答案】A
【解析】解：连接AC，
由圆周角定理知，∠C=∠B，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∴∠DAP=∠C，
∴△DAP∽△DCA，
∴AD：CD=DP：AD，
得AD2=DP⋅CD=CD⋅(CD−PC)，
把AD=2，PC=3代入得，4=CD⋅(CD−3)，
解得，CD=4．
故选：A．
根据圆周角定理，可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD=DP：AD，代值计算即可求CD的长．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：如图，设AD=a，BD=b，DB与EF间的距离为h，
∵EF//AB，DF//BC，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴BD=EF=b，
∵DF//BC，EF//AB，
∴∠AFD=∠FCE，∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴S△ADFS△FEC=S1S2=(ADEF)2=a2b2，
∵S1=12ah，
∴S2=b2h2a，
∴S1S2=b2h24，
∴bh=2 S1S2，
∵S3=bh，
∴S3=2 S1S2．
故选：B．
设AD=a，BD=b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11.【答案】y=−3(x−1)2+2
【解析】解：函数y=−3x2向右平移1个单位，得：y=−3(x−1)2；
再向上平移3个单位，得：y=−3(x−1)2+2．
故答案为：y=−3(x−1)2+2．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
12.【答案】1118
【解析】解：设每个小正方形格子的长度都是1，
∴空白区域的面积=12×1×2+12×2×3+12×1×3=112，
游戏板的面积=3×3=9，
所以击中空白区域的概率为1129=1118．
故答案为：1118．
直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等，正确进行计算是解题关键．
13.【答案】(40 5−40)
【解析】解：∵AB=80cm，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，
∴AC= 5−12AB= 5−12×80=(40 5−40)cm，
故答案为：(40 5−40)．
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC=(40 5−40)cm，进而得出答案．
本题考查了黄金分割点的概念，根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为 5−12”，进行计算即可，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：∵AB=40，
∴将x=20代入可得y=−116x2+29.23=4.23．
∴C(0,4.23)，
∴CD=29.23−4.23=25(米)．
故答案为：25．
依据题意，把点B的横坐标代入解析式可得点B的纵坐标，即点C的纵坐标，用29.23减去点C的纵坐标即可．
本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
15.【答案】(3,3)
【解析】解：∵OM⊥AB
∴OA=OB，
∵AD=CD，
∴OD//BC，OD=12BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB=90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB=OA=OM，
∴∠ABC=45°，
∵OD//BC，
∴∠AOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD=OA=3，
∴D的坐标为(3,3)，
故答案为：(3,3)．
根据垂径定理得到OA=OB，然后根据三角形中位线定理得到OD//BC，OD=12BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD=OA=2，得到D的坐标为(3,3)．
本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：过点E作EM//PD，
由折叠的性质可得∠A=∠EPD，∠ADE=∠PDE，
∴∠MEF=90°，∠MED=∠PDE=∠ADE，
∴ME=MD，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2，
在Rt△AEM中，AM2+AE2=ME2，
∴AM2+4=(6−AM)2，
解得AM=83，
∵∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∠A=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，
∴AMBE=AEBF，即832=2BF，
解得BF=32，
∴CF=6−32=92．
故答案为：92．
过点E作EM//PD，由折叠的性质可得∠A=∠EPD，∠ADE=∠PDE，即可得出ME=MD，根据勾股定理求出AM，然后证明△AEM∽△BFE，利用对应边成比例即可求出BF，进而求出CF．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵不透明的箱子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是34；
(2)根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况，
所以两次摸出的球都是白球的概率为612=12．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据不放回画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)由旋转的性质得到：∠AOA′=90°，OA′=OA=3，
∴AA′的长=90π×3180=3π2，
∴点A扫过的弧长是3π2；
(2)由旋转的性质得到：∠BOB′=90°，OB′=OB=5，△AOB的面积=△A′OB′的面积，
∵阴影的面积=扇形BOB′+△AOB的面积−扇形AOA′−△A′OB′的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积，
∴阴影的面积=90π×52360−90π×32360=4π．
【解析】(1)由旋转的性质得到：∠AOA′=90°，OA′=OA=3，由弧长公式即可求出AA′的长；
(2)由旋转的性质，得到阴影的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积，由此即可计算．
本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积=扇形BOB′的面积−扇形AOA′的面积．
19.【答案】解：(1)由所给表格可知，
二次函数的图象经过点(0,−2)，(1,−2)，
所以抛物线的对称轴为直线x=12，
又因为−1+22=12，
所以x=−1时和x=2时的函数值相等，
故m=0．
将点(−1,0)，(0,−2)，(1,−2)代入函数解析式得，
a−b+c=0c=−2a+b+c=−2，
解得a=1b=−1c=−2，
所以二次函数的解析式为y=x2−x−2．
(2)由ax2+bx<4−c得，
ax2+bx+c<4．
将y=4代入函数解析式得，
x2−x−2=4，
解得x1=−2，x2=3．
又因为抛物线开口向上，
所以当−2
即ax2+bx+c<4．
所以ax2+bx<4−c的解集为−2
(2)利用数形结合的思想即可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质及待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的图象和性质及待定系数法是解题的关键．
20.【答案】1：3
【解析】解：(1)如图①中，
∵AB//CD，
∴△PCD∽△PBA．
∴PDPA=CDAB=13，
故答案为：1：3；
(2)
①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．
由勾股定理知：AB= 32+42=5．
∵AP=3，
∴BP=2．
∵BE//FA，
∴△EPB∽△FPA．
∵AP：BP=AF：BE=3：2．
∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；
②如图③所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB//CD，
∴△APB∽△CPD．
(1)如图①中，利用平行线的性质求解即可．
(2)①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
本题属于相似综合题，主要考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠B+∠AEF=∠ACB+∠ECA，
∴∠AEF=∠ECA，
∵∠EAF=∠CAE，
∴△AEF∽△ACE，
∴AEAC=EFCE，
∴AE⋅CE=AC⋅EF；
(2)解：过点E作EH⊥DC，如图：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴ED=EC，
∴EH⊥DC，DH=CH=12CD，
∴BDBH=23，AD//EH，
∴△ABD∽△EBH，
∴ABAE=BDBH=23，
∵AB=2，
∴BE=3，
∴AE=1，
∵△AEF∽△ACE，
∴AEAC=AFAE，
∴AF=AE2AC=12．
【解析】(1)由AB=AC得出∠B=∠ACB，结合题意即可得出△AEF∽△ACE即可得证；
(2)过点E作EH⊥DC，根据等腰三角形的性质得出BDBH=23，AD//EH，进而得出△ABD∽△EBH，根据相似比即可求出AE，再利用△AEF∽△ACE的对应边成比例即可求出AF．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
22.【答案】3 12 mn
【解析】解：(1)依题意，过点E作EH//AB交BG于点H，如图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴ABEH=AFEF=3，
∵▱ABCD，EH//AB，
∴EH//CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
∴EHCG=12．
故答案为：3；12；
(2)如图2所示，作EH//AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴ABEH=AFEF=a．
∴AB=aEH．
∵AB=CD，
∴CD=aEH．
∵EH//AB//CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴CGEH=BCBE=2，
∴CG=2EH．
∴CDCG=aEH2EH=a2；
(3)如图3所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD．
∵EH//CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴CDEH=BCBE=n，
∴CD=nEH．
又ABCD=m，
∴AB=mCD=mnEH．
∵EH//AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴AFEF=ABEH=mnEHEH=mn．
故答案为：mn．
(1)依题意，过点E作EH//AB交BG于点H，如图1所示．根据相似三角形的性质得到ABEH=AFEF=3，根据平行四边形的性质得到EH//CD，根据三角形中位线定理得到CG=2EH.于是得到结论；
(2)如图2所示，作EH//AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.根据相似三角形的性质得到ABEH=AFEF=a.求得AB=aEH.根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)如图3所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD.根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点(−1,5)代入函数解析式得，
(−1)2−2t×(−1)+3=5，
解得t=12．
(2)因为抛物线的对称轴为直线x=−−2t2=t，且抛物线的开口向上，
所以当0
解得t=2(舍负)．
当t≥3时，
9−6t+3=−1，
解得t=136(舍去)，
所以t的值为2．
(3)由A，C两点纵坐标相等可知，
n−2+n2=t，
即n=t+1．
将点B坐标代入函数解析式得，
9−6t+3=b，
又因为b<3，
所以9−6t+3<3，
解得t>32，
所以n=t+1>52．
因为a
则n−t<|t−3|，
当n−t
当n−t<−t+3时，
n−(n−1)<−(n−1)+3，
解得n<3．
综上所述，n的取值范围是32
【解析】(1)将点(−1,5)的坐标代入即可解决问题．
(2)根据抛物线的对称轴为直线x=t，对t的取值范围进行分类讨论即可解决问题．
(3)由A，C两点的纵坐标相等，可得出n−2+n2=t，再根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质及二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
24.【答案】解：(1)连接AE交BM于点F，
∴∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AE是圆的直径，
∴∠AME=90°，
∵AM=4，EM=3，
∴AE= AM2+EM2= 42+32=5，
∵EB=EM=3，
∴BE=EM，
∴AE⊥BM，BF=FM=12BM，
∵△AME的面积=12AM⋅EM=12AE⋅FM，
∴AM⋅EM=AE⋅FM，
∴5FM=4×3，
∴FM=125，
∴BM=2FM=245，
∴BM的长为245；
(2)①过点M作MP⊥AD，垂足为P，延长PM交BC于点Q，
∴∠APM=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=6，AD//BC，
∴∠MQB=180°−∠APM=90°，
∴∠MEQ+∠EMQ=90°，
由(1)得：∠AME=90°，
∴∠AMP+∠EMQ=180°−∠AME=90°，
∴∠AMP=∠MEQ，
∵∠APM=∠MQE=∠ABC=90°，
∴四边形ABQP是矩形，△APM∽△MQE，
∴AP=BQ，AMME=APMQ，
∵∠BQM=∠C=90°，∠MBQ=∠DBC，
∴△BQM∽△BCD，
∴BQMQ=BCCD=86=43，
∴AMME=BQMQ=43，
∴AM：ME=4：3；
②在Rt△BCD中，BD= BC2+CD2= 82+62=10，
由①得：△BQM∽△BCD，
∴BMBD=MQCD=BQBC，
∴710=MQ6=BQ8，
∴MQ=4.2，BQ=5.6，
由①得：四边形ABQP是矩形，
∴AB=PQ=6，
∴PM=PQ−MQ=6−4.2=1.8，
由①得：△APM∽△MQE，
∴AMME=PMQE，
∴43=1.8QE，
∴QE=1.35，
∴BE=BQ−QE=5.6−1.35=4.25，
∴BE的长为4.25．
【解析】(1)连接AE交BM于点F，利用矩形的性质可得∠ABC=90°，从而可得AE是圆的直径，进而可得∠AME=90°，再在Rt△AME中，利用勾股定理求出AE的长，然后根据已知易得BE=EM，从而利用垂径定理的推论可得AE⊥BM，BF=FM=12BM，再利用面积法求出FM的长，进行计算即可解答；
(2)①过点M作MP⊥AD，垂足为P，延长PM交BC于点Q，再利用矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD=6，AD//BC，从而可得∠MQB=90°，进而利用一线三等角模型构造相似三角形△APM∽△MQE，然后利用相似三角形的性质可得AMME=APMQ，再证明A字模型相似三角形△BQM∽△BCD，从而利用相似三角形的性质可得BQMQ=BCCD=43，最后利用等量代换即可解答；
②在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD=10，再利用①的结论△BQM∽△BCD，从而利用相似三角形的性质可得MQ=4.2，BQ=5.6，然后利用①的结论四边形ABQP是矩形可得AB=PQ=6，从而可得PM=1.8，再利用①的结论△APM∽△MQE，从而利用相似三角形的性质求出QE=1.35，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．x
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