2022-2023学年四川省泸州高中初中教育联合校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省泸州高中初中教育联合校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中，与 2为同类二次根式的是
( )
A. 3B. 8C. 12D. 15
2.下列图象中，y不是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 0.5B. a2+b2C. 2 5D. 50
4.下列计算错误的是( )
A. 3 2+2 2=5 2B. 8÷2= 2
C. 2× 3= 6D. 8÷ 2= 2
5.当x=2时，函数y= 6−x的函数值是( )
A. y=4B. y=3C. y=2D. y=1
6.下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=8，S菱形ABCD=64，则OH的长为( )
A. 4 5
B. 8
C. 4
D. 2 5
8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，则点D的坐标为( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,3)
D. (2,3)
9.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD=124°，则∠CDE的度数为( )
A. 62°B. 56°C. 28°D. 30°
10.已知平面直角坐标系中，有两点A(a,0)，B(0,b)，且满足b= a−3+ 3−a+4，P为AB上一动点(不与A，B重合)，PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 125
B. 3
C. 4
D. 5
11.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF=1，则AB的长度为( )
A. 2B. 6C. 2 2D. 3
12.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于N，则线段EC的长为( )
A. 2 7−2
B. 4
C. 5
D. 2 5−2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.函数y= 4−2x中自变量x的取值范围是______．
14.河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！
15.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF//DE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为______．
16.如图，在菱形ABCD中，AC=6 2，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(12)−2−( 3−2)0−|−2 2|+ 18．
18.(本小题6分)
计算( 12− 24)÷ 6−2 12．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+2x−1)÷x2+2x+1x−1,其中x= 2−1．
20.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
21.(本小题7分)
6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22.(本小题8分)
平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具体如下：
设一个三角形的三边长分别为a、b、c,P=12(a+b+c)，则有下列面积公式：
S= P(P−a)(P−b)(P−c)(海伦公式)；
S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2](秦九韶公式)．
(1)一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是______．
(2)学完勾股定理，已知任意形状的三角形三边长也能求出其面积.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD= ______；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③求△ABC的面积．
23.(本小题12分)
如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF=BC．
(1)求证：四边形ABFC为矩形；
(2)若△AFD是等边三角形，且边长为2 3，求四边形ABFC的面积．
24.(本小题12分)
已知，▱ABCD中，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形．
(2)如图1，求AF的长．
(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3与 2不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、∵ 8=2 2，∴ 8与 2是同类二次根式，故B符合题意；
C、∵ 12=2 3，∴ 12与 2不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 15= 55，∴ 15与 2不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A中的图象，y不是x的函数，故A符合题意；
B、C、D中的图象，y是x的函数，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
3.【答案】B
【解析】解：A． 0.5= 12= 22，此选项不符合题意；
B. a2+b2是最简二次根式，符合题意；
C.2 5=2 55，此选项不符合题意；
D. 50= 25×2=5 2，此选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可．
本题主要考查最简二次根式，最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】D
【解析】解：A.3 2+2 2=5 2，故本选项不符合题意；
B. 8÷2=2 2÷2= 2，故本选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，故本选项不符合题意；
D. 8÷ 2=2 2÷ 2=2，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当x=2时，y= 6−2= 4=2，
故选：C．
把x=2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．
本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的的判定，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴OH=12BD，
∵菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×16×BD=64，
∴BD=8，
∴OH=12BD=4．
故选：C．
由菱形的性质得出OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，则AC=16，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=12BD，再由菱形的面积求出BD=8，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12BD．
8.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，
∴AD/​/BC，AD=BC=4，
∵A点的横坐标为−3，
∴D点的横坐标为4−3=1，
∵AD/​/BC，
∴D点和A点的纵坐标相等为2，
∴D点的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，可得AD//BC，AD=BC=4，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=124°，
∴∠DOE=56°，∠ODC=∠OCD=12(180°−56°)=62°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°−∠DOE=34°，
∴∠CDE=∠ODC−∠ODE=62°−34°=28°；
故选：C．
由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=62°，由直角三角形的性质求出∠ODE=28°，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接OP，
∵b= a−3+ 3−a+4，
∴a−3≥0，3−a≥0，
∴a=3，
∴b=4，
∴A(3,0)，B(0,4)，
∴OA=3，OB=4，
∵∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，
此时，OP=OA⋅OBAB=3×45=125，
∴EF的最小值为125，
故选：A．
连接OP，先求出a=3，则b=4，再由勾股定理得AB=5，然后证四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，进而由面积法求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质、二次根式有意义的条件、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−150°)=15°，∠OAF=45°−15°=30°，
∴AF=2OF=2，
∴OA= AF2−OF2= 22−12= 3，
∴AB= 2OA= 6，
故选：B．
先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE=∠DEA，再求出∠OAF=30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．
本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点M作MF⊥DC，交CD延长线于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，
∴AM=DM=12AD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12DM=1，
∴FM=MD×cs∠FMD=2×cs30°= 3，
CF=CD+DF=4+1=5，
∴MC= CF2+FM2= 52+( 3)2=2 7，
由折叠的性质可得，AM=ME=2，
∴EC=MC−ME=2 7−2．
故选：A．
过点M作MF⊥DC，交CD延长线于点F，根据在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，得到AM=DM=2，从而得到∠FDM=60°，∠FMD=30°，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．
此题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
13.【答案】x≤2
【解析】解：由题意可知：4−2x≥0，
∴x≤2，
故答案为：x≤2．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】6
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=7m，BC=24m，
∴AB= AC2+BC2= 72+242=25(m)，
则AC+BC−AB=7+24−25=6(m)，
故答案为：6．
在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC−AB进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=12AB=3．
又∵CE=13CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF/​/DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
故答案为：8．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=12AB=3，结合已知条件CE=13CD可以求得ED=4.然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
16.【答案】2 6
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=6，BD=6 2，
∴AD= 32+(3 2)2=3 3．
作E关于AC的对称点E′，过E′作AB的垂线，垂足为G，与AC交于点P′，此时PE+PM的最小值，其值为E′G．
∵12⋅AC⋅BD=AB⋅E′G，
∴12×6×6 2=3 3⋅E′G，
∴E′G=2 6，
∴PE+PM的最小值为2 6．
故答案为：2 6．
作M关于AC的对称点G，连接PG，则EG即为PE+PM的最小值．根据AD2=(12AC)2+(12BD)2、菱形ABCD的面积是AD与EG的乘积可得答案．
本题主要考查轴对称−最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．
17.【答案】解：原式=4−1−2 2+3 2
=3+ 2．
【解析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：( 12− 24)÷ 6−2 12
= 12÷6− 24÷6− 2
= 2− 4− 2
= 2−2− 2
=−2．
【解析】先算除法和化简，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：原式=x−1+2x−1⋅x−1x2+2x+1
=x+1x−1⋅x−1(x+1)2
=1x+1，
当x= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB/​/DE，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB/​/DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
21.【答案】解：(1)海港C受台风影响，理由：
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC⋅BC=CD⋅AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
(2)当EC=260km，FC=260km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2= 2602−2402=100(km)，
∴EF=2ED=200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25=8(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(2)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22.【答案】6 6 14−x
【解析】解：(1)P=12(a+b+c)=12×(5+6+7)=9，
由海伦公式可得S= P(P−a)(P−b)(P−c)= 9(9−5)(9−6)(9−7)=6 6；
由秦九昭公式可得S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]= 14[25×36−(25+36−492)2]=6 6．
故答案为：6 6；
(2)①∵BC=14，BD=x，
∴DC=14−x，
故答案为：14−x；
②∵AD⊥BC，
∴AD2=AC2−CD2，AD2=AB2−BD2，
∴132−(14−x)2=152−x2，
解得x=9；
③由(2)得：AD= AB2−BD2= 225−81=12，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×14×12=84．
(1)利用两个公式分别代入即可；
(2)①根据CD=BC−BD可得答案；
②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；
③根据三角形面积公式计算即可．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AB//DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE．
∵点E是BC边中点，
∴BE=CE．
∴△BAE≌△CFE(AAS)，
∴AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AF=BC，
∴平行四边形ABFC是矩形；
(2)解：∵AB=CF，AB=CD，
∴CF=CD=12DF，即点C为DF中点．
∵△AFD是等边三角形，且边长为2 3，
∴DF=2 3，
∴CF=12DF= 3，
∴AC= 3CF=3，
∴S矩形ABFC=AC⋅CF=3 3．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB//DF，即可证明∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE.根据题意得出BE=CE，即可证明△BAE≅△CFE(AAS)，得出AB=CF.最后根据平行四边形和矩形的判定条件即可证明四边形ABFC是矩形；
(2)由题意易得出CF=12DF= 3，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求出AC= 3CF=3，最后根据矩形的面积公式求解即可．
本题考查矩形的判定和性质，掌握矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质以及勾股定理等知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
在△AOE和△COF中，
∠CAD=∠ACB∠AEF=∠CFEOA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5．
(3)由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，运动时间为t秒，
∴PC=BC−BP=8−(5+3−t)=t，QA=12−0.8t，
∴t=12−0.8t，
解得：t=203．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=203秒．
【解析】(1)先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定；
(2)根据勾股定理即可求AF的长；
(3)分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．