广西壮族自治区钦州市浦北县第三中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区钦州市浦北县第三中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：120分）
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的半径为，点在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
4．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．－1B．1C．－9D．9
5．如图，AB是的直径，是上的一点．若，则（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．根据尺规作图的痕迹，可以判定点为的内心的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转40°后得到△ADE，其中DE交AC于点F，点D恰好落在BC上，则∠AFE等于（ ）
第7题图
A．95°B．90°C．85°D．80°
8．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能有两个直角”，应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角是直角B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角D．三角形中不能有内角是直角
9．已知二次函数y=ax2－（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a=1且－1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴没有交点
D．当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧
10．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
第10题图
A．60°B．120°C．180°D．450°
11．已知3是关于x的方程x2－（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
12．如图，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），将△OAB绕原点O旋转得到△OCD，其中A，B的对应点分别为C，D，当AD取得最小值时，BC的长为（ ）
第12题图
A．2B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上）
13．已知点A（3，－2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为______．
14．若关于x的方程kx2－4x－4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为______．
15．将抛物线y=－3x2向上平移2个单位长度得到新的抛物线的表达式是______．
16．“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．
是⊙O的一部分，点D是的中点，连接OD交弦AB于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为______．
第16题图
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=5．点D在BC上，且BD：CD=2：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则DE的长是______．
第17题图
18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．
第18题图
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分6分）解方程：x2－6x+8=0．
20．（本题满分6分）计算图中阴影部分的面积．（单位：cm）
第20题图
21．（本题满分10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为4（2，4），B（1，1），C（4，3）．
第21题图
（1）点C关于原点的对称点的坐标为_______；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（3）求（2）中点A到点A1所经过的路径长．
22．（本题满分10分）【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
23．（本题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
第23题图
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）已知直线AB与CD交于点F，且DF=6，AF=3，求⊙O的半径．
24．（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=90，AB=12cm，BC=24cm，动点P以2cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，动点Q以3cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，若P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
第24题图
（1）AP=______，BP=______，BQ=______；（用含t的式子表示）
（2）t为何值时，△PBQ的面积为24cm2？
（3）t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
25．（本题满分10分）【探究与应用】
【操作发现】如图1，△ABC是等边三角形，点D，E在AB边上，且∠DCE=30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF，EF，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数为______；
②DE与EF之间的数量关系为______；
【类比探究】如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D，E在AB边上，且∠DCE=45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF，EF．则线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由．
图1 图2
第25题图
26．（本题满分10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx－3（a，b为常数，且a≠0）与x轴交于A，B（3，0）两点，且OB=3OA，与y轴交于点C，点D为第四象限内抛物线上的动点，轴交BC所在直线于点E．
（1）求抛物线的函数表达式和点C'的坐标；
（2）若点F为y轴上一点，是否存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由．
第26题图
2023年秋季学期阶段性自主评估训练（三）
九年级数学（R）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13.（－3，2） 14.1 15.y=－3x2+2 16.13cm 17. 18.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19.解：（x－2）（x－4）=0……………………2分
∴x－2=0或x－4=0.……………………4分
∴x1=2，x2=4.………………………6分
20.解：如图，∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴.…………………………1分
∴△ABC是等腰直角三角形．…………2分
则阴影面积为：，
.…………5分
即阴影部分的面积为．……………………6分
第20题图
21.解：（1）点C关于原点的对称点的坐标为（－4，－3）；…………2分
（2）如图，△A1B1C1即为所求；……………………………5分
（3）由勾股定理得，，………………7分
∴点A到点A1所经过的路径长为．…………10分
第21题图
22.解：【类比探究】（1）设所求方程的根为y，则y=－x，所以x=－y，
把x=－y代入方程，得：，
故答案为：；…………………………4分
【拓展运用】（2）设所求方程的根为y，则，于是，…………5分
把代入方程，得，………………6分
去分母，得，………………8分
若c=0，有，于是，方程有一个根为，不合题意，…………9分
∴，故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．…………………………10分
23.（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴.……………………1分
∵OC∥AD，
∴，.
∵，∴.
∴.………………2分
在△DOC和△BOC中，
，∴.
∴.
∴OD⊥CD．………………………………4分
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；………………………5分
（2）解：设⊙O的半径为r，………………………6分
在Rt△ODF中，，………………7分
即，…………………………8分
解得：，∴⊙O的半径为．…………………10分
第23题图
24.解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝3tcm，
所以BP＝（12－2t）cm，
故答案为：2tcm，（12－2t）cm，3tcm；………………3分
（2）∵S△PBQ＝×BP×BQ
＝×（12－2t）×3t
＝－3t2+18t，……………………………5分
∴－3t2+18t＝24.
解得：t＝2或4，…………………………………6分
即当t＝2s或4s时，△PBQ的面积是24cm2；……………7分
（3）∵S＝－3t2+18t＝－3（t－3）2+27，……………………………9分
∴当t为3s时，△PBQ的面积最大，最大面积是27cm2．……10分
第24题图
25．解：【操作发现】
①∠EAF的度数为120°，理由如下：
∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴.
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∴，即．
∴△DCB≌△FCA（SAS），
∴．
∵△ABC为等边三角形，∴，
∴．
故答案为：120°；………………………………2分
②结论：DE=EF，理由如下：
∵将线段绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴，
∵，
∴．
∴△FCE≌△DCE（SAS），，∴．故答案为：．………4分
图1
【类比探究】
解：，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴.
由旋转知：，
∵，
∴，即，
∴△ACF≌△BCD（SAS）．…………………………………………6分
∴.
∴.
∴，即
∵，
∴.
∴，
在和中，
∴△DCE≌△FCE（SAS）．…………………………………………8分
∴.
∴．………………………………10分
图2
26．（1）解：∵B（3，0），OB=3OA，∴A（－1，0）．
∵抛物线经过A，B两点，
∴，解得.
∴抛物线的函数表达式为.………………3分
令x=0，得y=－3，∴点C的坐标为（0，－3）；…………4分
（2）解：存在，理由如下：………………………………5分
∵B（3，0），C（0，－3）
∴OB=OC=3，，
设BC所在直线的函数表达式为，
∴，解得，
∴BC所在直线的函数表达式为y=x－3.………………6分
设，则，
①当为菱形的对角线时，如图1所示．
∵，四边形是菱形，
∴.
∴菱形为正方形．
∴D（m，－3），
∴，解得或0（舍去）．
∴D（2，－3）．
∴当为菱形的对角线时，点D的坐标为（2，－3）；……………8分
②当为菱形的一条边时，如图2所示．过点作EI⊥y轴于点I，
∵，四边形是菱形，
∴，∴.
∴，，
∴，解得或0（舍去）．
∴当为菱形的一条边时，点D的坐标为．
综上可知，存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形，
其中点D的坐标为（2，－3）或.…………………………10分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
A
B
D
C
B
D
A
D
B