云南省昆明市西山区2023-2024学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题

这是一份云南省昆明市西山区2023-2024学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题，共9页。试卷主要包含了设集合，，若，则，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共四个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合，，若，则（ ）
A．0B．1C．－1D．
3．记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．10B．20C．30D．40
4．华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型，对比传统方法，预测速度提高10000倍以上，可秒级完成对全球气象的预测．由“盘古”模型预测，某地某天降雨的概率是0.5，连续两天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，则随后一天降雨的概率是（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
5．已知椭圆C：的左焦点为F，点P在椭圆C上，若的最大值是最小值的2倍，则椭圆C的离心率（ ）
A．B．C．D．
6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，将的终边逆时针旋转45°之后与圆的交点为B，则点B的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．B．C．eD．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线a，b，c与平面，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则a，b异面
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．直线与函数有且仅有三个交点，从左往右依次记作点A，B，C，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是B．有且仅有2个极大值点
C．在上单调递增D．若，则
11．设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．若，则D．x轴上存在一点N，使为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知向量，满足，，则______．
13．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，）
14．函数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且成等差数列，，．
（1）求a，c；
（2）点D在AC上，从下列三个条件中选择一个作为已知，求BD的长．
条件①：；条件②：；条件③：．
16．（15分）
直三棱柱中，，M为AC的中点，N为的中点，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）
新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
18．（17分）
已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
19．（17分）
我们把（其中，）称为一元n次多项式方程．
代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．
即，其中k，，，，，……，为方程的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．
（1）解方程：；
（2）设，其中，，，，且．
（i）分解因式：；
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．
西山区2024届第三次高三教学质量检测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．2 13．11.1 14．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（书写合理尽量给分）
解：（1）由，且成等差数列，则（Ⅰ）
又，，则，代入得（Ⅱ）
联立（Ⅰ）、（Ⅱ）得，，
（2）若选①，过点B作AC边上的高BE，因为BD平分，所以
，得，所以，；
在中，，所以；
在中，，则．
若选②，过点B作AC边上的高BE，由可得，
，则，又，所以，；
在中，，所以；
在中，，则．
若选③，由，所以，；
在中，，所以；
在中，，则．
16．（15分）
（1）证明：设直线与相交于点O，
因为三棱柱为直三棱柱，又，
所以，，，
所以，所以，
又，则，即；
又，，
所以平面；所以，
又，，
所以平面，则，
又，所以．
（注：第一问也可直接建系，按高考评卷标准，有系无论对错既给1分，（1）（2）问不重复给建系分）
（2）由①得，建立空间直角坐标系如图所示：
设，
则，，，，，
则，，则平面的法向量，
则，，则平面的法向量，
，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
注：建系，只要过程完整，无论对错可给3分，多对一个法向量多给2分．
17．（15分）
解：（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
设“某题的答案是AB，该考生得分”，则．
（2）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z．
①∵，．
∴X的分布列为：
则：．
②∵，，，
∴Y的分布列为：
则：．
③∵，，
∴Z的分布列为：
则：．
∵，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
18．（17分）
解：（1）由题知：，又，解得：，；
则E的方程为．
（2）设AB中点为，由可知为等腰三角形，，
即，可得，（Ⅰ）
设，，则：，
①－②化简整理得：，即；
可得（Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得：；
所以直线l的方程为：．
（第二问解法多样，几何法，联立方程组都可求解，其他方法参考上面过程合理给分即可）
19．（17分）
解：（1）观察可知：是方程的一个根；
所以：，
由待定系数法可知，，，；
所以，即或，
则方程的根为，，．
（2）（i）由可知：是方程的一个根；
所以：，
由待定系数法可知，，，；
所以
．
（ii）令，即，
点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点，
等价于是方程的最小正实根；
由（i）知：是方程的一个正实根，
且，
设，由，，，可知为开口向上的二次函数；
又因为，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又，可得，
所以；
当时，，
由二次函数单调性可知，即是方程的最小正实根．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
D
B
B
C
A
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
ABD
X
2
3
P
Y
0
4
6
P
Z
0
6
P