广东省梅州市兴宁市沐彬中学2023—2024学年九年级下学期开学数学试题

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2023-2024学年初三第二学期第一次质检数学试卷
【答案】
1. B 2. D 3. C 4. B 5. D 6. A 7. D
8. B 9. B 10. C
11. a 12. 3(m2+4)(m+2)(m-2) 13. 1.64 14. 6
15. 18(1-x)2=12.25 16. (0,4)或(0,0)
17. 解：(1)原式=4- 2-2× 22+1
=4- 2- 2+1
=5-2 2；
(2)原方程去分母得：2x=3-4(x-1)，
整理得：2x=7-4x，
解得：x=76，
检验：将x=76代入2(x-1)得2×(76-1)=13≠0，
故原方程的解为x=76．
18. 解：(1)如图所示：AD即为所求；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B=30°．
19. 解：过点P作PC⊥MN于点C，
设PC=x m，
在Rt△PBC中，∠PBN=45°，
∴BC=PCtan45∘=x m，
∵AB=45m，
∴AC=AB+BC=(45+x)m，
在Rt△APC中，∠PAC=31°，
∴tan31°=PCAC=xx+45≈0.6，
解得：x≈68，
经检验：x≈68是原方程的根，
答：河的宽度约为68m．
20. 解：(1)设这种水果应降低x元，
根据题意，得(27-x-12)(120+x2×80)=3080．
解得x1=4，x2=8．
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以x=8符合题意．
所以27-x=27-8=19(元)．
答：这种水果的销售单价应为19元；
(2)设这种水果应降低x元时，超市所获利润为y元，
y=(27-x-12)(120+x2×80)=-40x2+480x+1800=-40(x-6)2+3240，
∵-40<0， ∴当x=6时，y有最大值，最大值为3240，
答：当销售单价定为21时，超市所获利润最大，最大利润是3240元．
21.（1）∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根，∴Δ≥0，即(-2)2-4(m-1)≥0，解得m≤2．
（2）∵p是方程的一个实数根，∴p2-2p+m-1=0，∴p2-2p=1-m.∵(p2-2p+3)(m+4)=7，∴(1-m+3)(m+4)=7，即m2=9，解得m=3或m=-3.又由(1)可知m≤2，∴m=-3．
22. （1）证明∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，∴∠BGC=∠ADC=90°.又∠C=∠C，∴△ADC∽△BGC．
（2）∵△ADC∽△BGC，∴GCDC=BCAC，∴CGBC=DCAC.又∠C=∠C，∴△GDC∽△BAC，∴CGCB=DGAB，∴CG·AB=CB·DG．
23. 解：(1)把A(1,2)代入双曲线y=kx，可得k=2，
∴双曲线的解析式为y=2x；
把A(1,2)代入直线y=x+b，可得b=1，
∴直线的解析式为y=x+1；
(2)设P点的坐标为(x,0)，
在y=x+1中，令y=0，则x=-1；令x=0，则y=1，
∴B(-1,0)，C(0,1)，即BO=1=CO，
∵△BCP的面积等于2，
∴12BP×CO=2，即12|x-(-1)|×1=2，
解得x=3或-5，
∴P点的坐标为(3,0)或(-5,0)．
24. (1)证明：如图，连接OC交BD于E，
∵∠CDB=30∘，
∴∠COB=2∠CDB=60∘．
∵∠OBD=30∘，
∴∠OEB=180∘-∠COB-∠OBD=180∘-60∘-30∘=90∘，
又BD//AC，
∴∠ACO=∠OEB=90°，
又OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：由(1)得OC⊥BD， ∴BE=DE=12BD，
在Rt△BEO中，
∵∠OBE=30∘，OB=6，∴OE=12OB=3，
由勾股定理，得BE= 62-32=3 3，
∴BD=2BE=6 3．
(3)解：∵OC⊥BD，
∴BE=DE且∠OEB=∠DEC，∠CDB=∠OBD=30°，
∴△OEB≌△CED，
∴阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，
∴阴影部分的面积为60π×62360=6π．

25. 解：(1)∵直线y=-x+5经过点B，C，
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为(0,5)．
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为(5,0)．
∴5=a⋅02-6×0+c0=52a-6×5+c．
解得a=1c=5．
∴该抛物线的解析式为y=x2-6x+5；
(2)△APC的为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2-6x+5=0，则x1=1，x2=5．
∴A(1,0)，B(5,0)．
∵抛物线y=x2-6x+5的对称轴l为x=3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为(5,0)，B的坐标为(5,0)，
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°．
∴∠PAB=45°．
∴∠APB=180°-45°-45°=90°．
∴∠APC=180°-90°=90°．
∴△APC的为直角三角形；
(3)如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1．
∴∠AM1B=2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH=BH=NH=2．
∴N(3,2)．
设AC的函数解析式为y=kx+b(k≠0)．
∵C(0,5)，A(1,0)，
∴5=k⋅0+b0=k+b．
解得b=5，k=-5．
∴AC的函数解析式为y=-5x+5，
设EM1的函数解析式为y=15x+n，
∵点E的坐标为(12,52).
∴52=15×12+n，
解得：n=125．
∴EM1的函数解析式为y=15x+125．
∵y=-x+5y=15x+125．
解得x=136y=176．
∴M1的坐标为(136,176)；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2(a,-a+5)，
则有：3=136+a2，解得a=236．
∴-a+5=76．
∴M2的坐标为(236,76).
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1(136,176)，M2(236,76).