2024长沙师大附中高三下学期月考（六）数学试题含解析

这是一份2024长沙师大附中高三下学期月考（六）数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了若，则的最小值为，已知等比数列的前项和为，若，则，下列说法正确的是，以下命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：陈淼君 刘海军 曹菲菲 审题人：徐凡训
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4.对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A.-3 B. C.3 D.
6.若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.4
7.首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.雪飞天的助滑道可以看成一条线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为.若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.为递减数列 B.为递增数列
C.数列有最小项 D.数列有最大项
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.一组数据的第60百分位数为14
B.若随机变量服从正态分布，且，则
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
10.以下命题正确的是（ ）
A.设与是定义在上的两个函数，若恒成立，且为奇函数，则也是奇函数
B.若对任意，都有成立，且函数在上单调递增，则在上也单调递增
C.已知，函数若函数在上的最大值比最小值多，则实数的取值集合为
D.已知函数满足，函数，且与的图象的交点为，则的值为8
11.已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ）
A.
B.
C.图2中，
D.图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
13.已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则__________.（为坐标原点）
14.在三棱锥中，，且，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，.
（1）证明：是侧棱的中点；
（2）求二面角的正弦值.
16.（15分）中国跳水队有“跳水梦之队”的称号，在国际赛场上有绝对的优势，同时跳水运动也得到了广泛推广，获得了越来越多的人的喜爱，现有A，B，C，…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
（3）跳水员将对“5米､7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
附：，其中.
17.（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线R），四个点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
18.（17分）已知函数.
（1）若函数为增函数，求的取值范围；
（2）已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
19.（17分）已知等比数列的公比为，其所有项构成集合，等差数列的公差为，其所有项构成集合.令，集合中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列.
（1）若集合，写出一组符合题意的数列和；
（2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为的等比数列.当时，求的值；
（3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“是正有理数”（有理数都能表示成，且与互质）的形式）.
湖南师大附中2024届高三月考试卷（六）
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 【解析】因为集合，故，错误；
由于，但，故不是的子集，错误，
错误；
，D正确，故选：D.
2.A 【解析】由，得，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.
3.C 【解析】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，即对恒成立，所以，因为
所以命题“”为假命题的一个充分不必要条件是.故选：C.
4.D 【解析】由题意得，在上的投影为，同理，在上的投影为，因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量，所以在上的投影互为相反数，所以，则，即c.故选：D.
5.C 【解析】由三角函数的定义可知，，得，所以角终边上一点为.故选：C.
6.C 【解析】因为，
所以.
因为，所以.
所以，即.
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.故选：C.
7.A 【解析】由题意知，又，
直线的方程为，即.
由得或
即或.又为靠近轴的切点，.
设飞行轨迹的抛物线方程为，则在点处的切线斜率为，解得，
，解得，
即抛物线方程为.故选：A.
8.C 【解析】设等比数列的公比为，则，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比数列首项，公比满足或.
当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调；
当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确；
又，且，
所以当时，由于，
则，
此时数列的最小项为，最大项为；
当时，有，
则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确.
故选：C.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD 【解析】因为，所以第60百分位数为，错误；
若随机变量服从正态分布，且，
则，
则，B正确；
若线性相关系数越接近1，
则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，而对于回归直线方程，
因为此时线性回归方程为，所以，所以，D正确.故选：BCD.
10.ABD 【解析】对于，令，则，
因为为奇函数，所以恒成立等价于，
因此，即，可知也是奇函数，所以正确；
对于，设，因为函数在上单调递增，所以，
因为恒成立，所以；
从而.
令，则，可得，
所以在上也单调递增，正确.
对于C，若，函数在上的最大值为，最小值为或，
当时，解得，此时，满足题意；
当时，无解，舍去；
若，当时是单调递减，当时，是单调递减，
因为，所以函数最大值为，
而，所以函数最小值为，
因此，解得，符合题意；
综上可知，实数的取值集合为，可得错误；
对于D，由可得函数关于成中心对称；
而也关于成中心对称；
所以与的图象的交点关于成中心对称；
从而，即D正确.
故选：ABD.
11.AC 【解析】函数的最小正周期为，
在图2中，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设点，则点，
，因为，解得，故A正确；
所以，，则，可得，
又因为函数在附近单调递减，且，所以，，故错误；
因为，可得，
又因为点是函数的图象在轴左侧距离铀最近的最高点，则，可得，
所以，，
因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得，
翻折后，则有，
所以，，
所以，在图2中，，故C正确；
在图2中，设点，
可得，
，
易知为锐角，则，
所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，
故区域的面积，故D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.120 【解析】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为120.
故答穼为：120.
13. 【解析】由题意知过点且直于轴的直线与椭圆交于两点，
则，
故的周长为，
由于，且是的中点，在上，则为的中位线，
则的周长为周长的一半，而的周长为6，
即，则椭圆方程为，
则，
设外角平分线为，又过作外角平分线的重线与直线交于点，
故，则，
故.
故答案为：.
14. 【解析】取的中点，连接，如下图所示：
，且，
均为等腰直角三角形，且，
为三棱锥的外接球直径.
设，可得，设，
为的中点，则，同理可得，
平面平面，
，
在中，由余弦定理可得，即，可得，由，可得，化简可得，
即，
，解得，
因此，三棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）证明：作交于点，则平面，
连接，则四边形为直角梯形，
作，足为，则为矩形，
设，则，
，
由，得，
解得，即，
从而，
为侧棱的中点.
（2）解法一：，
又为等边三角形.
又由（1）知为中点，，
取中点，连结，取中点，连结，
则，
由此知为二面角的平面角，
连结，在中，
，
.
二面角的正弦值为.
解法二：以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系（如图），
易知，
，
令平面的法向量为，则即令，得.
同理可得，平面的法向量.
令二面角的大小为，则，
所求为.
16.【解析】（1）零假设：假设跳水员的优秀情况与训练无关.
列联表为：
，
故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）由图可知：训练前后均不优秀的有共2人，训练前后均优秀的有共2人，训练前不优秀而训练后优秀的有6人，设“所选3人中恰有2人训练后为优秀”，所选3人中恰有1人训练前为优秀”，
则.
（3）设跳水员每轮测试为优秀的概率为，则.
设测试次数为，则优秀的次数，
故，故至少需进行12轮测试.
17.【解析】（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：必在啊圆上.若在椭圆上，则为椭圆的左顶点.但，所以与在椭圆上矛盾.在椭圆上，
椭圆方程为.
（2）依题意可得方程为：.
且共线，为中点，在椭圆内部.设，
因为与椭圆交于.
为中点，且于为的中垂线.设，
，
.
为中点，，
当时，.
，
恒过，
当时，直线为轴，过.
无论位于哪个位置，直线恒过.
18.【解析】（1）若是增函数，则，且，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递增，在上递减，故，
的取值范围为.
（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，
，则，即，
整理得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递减，在上递增，
故，即，当且仅当时等号成立，
今，可得，故；
（ii），则.
可知有两个不同实数根.，由（1）知，
可得，
同理可得，构建，则，
当时，；当时，；当时，；
且，故对恒成立，故在上单调递减，
，则，即，
且，则，故，可得；
又，由（i）可得，即，
则，故，可得；
故.
19.【解析】（1）取为为，
则满足：，故为等比数列.
而，故为等差数列，
故此时符合题意.
（2）因为集合中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列，
故中各项均为正数，所以中的各项均为正数，
而为无穷等差数列，故.
设的前5项为：，
因为，所以，此时必有，
事实上，若，则的前5项即是的前5项，与矛盾.
所以或.
若，则，所以，此时的前5项为，
即，所以数列的公差为，
因为，所以符合题意；
若，则或；
①时，有成等差数列，所以，解得，与矛盾；
②时，有，所以，所以的前5项为，
因为，所以，即，
所以，故，与为等差数列矛盾.
所以不可能.
综上，的值为.
（3）因为数列是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列是递增的数列；
对于公比不为1的无穷数列，必有.
否则，若为负，则相邻两项必有一项为负，
这与中的最小项为矛盾；
若，则当时，，
即，这与中的最小项为矛盾.
先证明充分性：
当是正有理数时，因为数列是递增的等差数列，所以，
设互质，则，
令，则，
当时，
所以数列的第项是数列的第项，
所以数列中的项都是数列的项，即.
再证明必要性：
假设是正无理数，因为，即数列中的项都是数列的项，故.
令，则，且，
因为，即，
整理得：，约去有，
因为，且是无理数，所以消去并整理得，
故，与矛盾，所以假设不成立，即是有理数.优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
D
C
C
A
C
BCD
ABD
AC
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20