初中数学8.1 二元一次方程组综合训练题

这是一份初中数学8.1 二元一次方程组综合训练题，共39页。试卷主要包含了6，等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．(2023•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
（2）猜想关于x、y的方程组ax+(a+2)y=a+4bx+(b+2)y=b+4（a≠b）的解是 ．
2．(2023春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为x+2y=62x+y=6，解这个方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0，这种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：(m3−1)+2(n5+2)=43(m3−1)−(n5+2)=5．
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1(m+2)−b1n=c1a2(m+2)−b2n=c2的解是 ．
3．(2023春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组ax+5y=c①4x−by=1②时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为x=4y=3，乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）若关于s，t的二元一次方程组为a(s+t)+5(s−t)=c4(s+t)−b(s−t)=1，求s，t的值．
4．(2023秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）；
A．公式法
B．换元法
C．代入法
D．加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）；
A．转化
B．公理化
C．演绎
D．数形结合
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
5．(2023春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．
6．(2023春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 ，y的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
7．(2023秋•济南期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，
解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
得2x+3y=602x−3y=−24，
解得x=9y=14．
∴原方程组的解为x=9y=14．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4；
（2）x+y2+x−y5=−32(x+y)−3x+3y=26．
8．(2023秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程x+y=32x+y=4，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成113214这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为0，即10？01？的形式，那么第三列的数字从上到下分别是x和y的解．例如，对于上述方程的数字排列形式，有：
Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为1132+1×(−2)1+1×(−2)4+3×(−2)=1130−1−2；
Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为1130×(−1)−1×(−1)−2×(−1)=113012；
Ⅲ．将第二行乘以﹣1加到第一行，数字排列变为1+0×(−1)1+1×(−1)3+2×(−1)012×(−1)=101012；
所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．
对于方程组x−y=42x+3y=−2，
（1）请写出对应的数字排列形式；
（2）请参照上述方法求解该方程组．
9．(2023春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组2x−3y=73x−2y=7是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组，求a的值．
10．(2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为x=4y=−1；
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x+2y−2=03x+2y+15−x=−25．
11．(2023春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b+c的值．
12．(2023秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，
原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，
解得x=1y=2，m+5=1n+3=2．
∴原方程组的解为m=−4n=−1．
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=5x+y2+x−y6=0．
13．(2023春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
请你运用小曼的方法解方程组1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②．
14．(2023春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：22x+21y=20①20x+19y=18②
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
∴原方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②；
（2）请直接写出关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②的解．
15．(2023春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②．
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（a≠b）的解是 ．
16．(2023春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
17．(2023春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
18．(2023春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=16，5x−6y=33.可以写成矩阵34165−633的形式．
（1）填空：将y−5=4x，3x−2y−3=0.写成矩阵形式为： ；
（2）若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=1y=1，求a与b的值．
19．(2023春•右玉县期末）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是2x+3y=27x+2y=14与2x+y=114x+3y=27．
（Ⅱ）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为10a01b，即可求得的方程组的解为x=ay=b．用数表简化解二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36的过程如下：
上行43541336→上行−下行30181336→上行÷31061336→下行−上行1060330→下行÷31060110．
∴方程组的解为x=6y=10．
解答下列问题：
（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．
（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
20．(2023春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7y=1求a、b的值；
（2）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=19a2x+b2y=26的解是x=4y=5请你运用学过的方法求方程组a1(3m+2n)+b1(2m−n)=19a2(3m+2n)+b2(2m−n)=26中m、n的值．
21．(2023春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组x−y=4∗x+y=8，小明发现x的系数“*”印刷不清楚．
（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组x−y=43x+y=8；
（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是多少？
22．(2023春•陆河县期末）已知方程组2x+ay=10①bx−3y=−3②，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为x=3y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=−1y=2．若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
23．(2023春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组9x−7y=8①6x−4y=5②
解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，
③×4得4x﹣4y＝4④，
②﹣④得2x＝1，
解得：x＝0.5
把x＝0.5代入③得：
0.5﹣y＝1
解得：y＝﹣0.5
∴方程组的解是x=0.5y=−0.5
（1）请你仿照上面的解法解方程组2023x−2021y=20222022x−2020y=2021；
（2）猜测关于x，y的方程组(m+1)x−(m−1)y=m(n+1)x−(n−1)y=n（m≠n）的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
24．(2023春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．
（1）判断点A（2，﹣4） 奇异点；（填“是”或“不是”）
（2）已知关于x、y的方程组x+3y=8x−y=2m+4，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是奇异点？并说明理由．
25．(2023春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1，b2+1)为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点；
（2）已知关于x，y的方程组x+2=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
26．(2023春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组3x−2y=23x+2y=4，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=23(m+5)+2(n+3)=4呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
（3）若关于m，n的方程组am+bn=152m−bn=−2与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a，b的值．
27．(2023春•玉州区期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
这时原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m＝2x+3，a＝2x﹣3y．
得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14．
所以，原方程组的解为x=9y=14．
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
解方程组x+y3+x−y5=2x+y3−x−y5=−1．
28．(2023春•永定区期末）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断方程组x−2y=32x−y=3是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组”，求a的值．
29．(2023春•安溪县期末）【阅读材料】
解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②．
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
∴原方程组的解是x=5y=3．这样运算显得比较简单．
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
∴原方程组的解是x=5y=3
【学以致用】
（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x+y＝ ；
（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②；
【拓展提升】
（3）当m≠−12时，解关于x，y的方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②．
30．(2023•南京模拟）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组x+3y=4−tx−y=3t，当t为何值时，以方程组的解x=x0y=y0为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？解方程组：3x+4y=5①x−2y=4②
解：②×2，得2x﹣4y＝4 ③……………………第一步
①+③，得5x＝9……………………第二步
x=95⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
把x=95代入②，得y=−1110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
∴原方程组的解为x=95y=−1110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步
已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=2−3m②的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．(2023•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
（2）猜想关于x、y的方程组ax+(a+2)y=a+4bx+(b+2)y=b+4（a≠b）的解是 x=−1y=2 ．
【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；
（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．
【解答】解：（1）1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②，
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得：1997x+1997y＝1997，
①−④2得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1，
所以这个方程组的解是x=−1y=2；
（2）这个方程组的解是x=−1y=2．
故答案为：x=−1y=2．
2．(2023春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为x+2y=62x+y=6，解这个方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0，这种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：(m3−1)+2(n5+2)=43(m3−1)−(n5+2)=5．
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1(m+2)−b1n=c1a2(m+2)−b2n=c2的解是 m=1n=−4 ．
【分析】（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（3）仿照前两个题的思路，利用换元法进行计算即可解答．
【解答】解：（2）设m3−1＝x，n5+2＝y，
∴原方程组可变为：
x+2y=43x−y=5，
解这个方程组得：x=2y=1，
即：m3−1=2n5+2=1，
所以：m=9n=−5；
（3）设m+2=x−n=y，
可得：m+2=3−n=4，
解得：m=1n=−4．
3．(2023春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组ax+5y=c①4x−by=1②时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为x=4y=3，乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）若关于s，t的二元一次方程组为a(s+t)+5(s−t)=c4(s+t)−b(s−t)=1，求s，t的值．
【分析】（1）把x=4y=3代入方程组−8x+5y=c①4x−by=1②可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．得到x=−3y=−1是方程①ax+5y＝c的解，进而求出a的值；
（2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可；
（3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，x=4y=3是方程组−8x+5y=c①4x−by=1②的解，
∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1，
解得b＝5，c＝﹣17，
由于乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．可知x=−3y=−1是方程①ax+5y＝c的解，
所以﹣3a﹣5＝﹣17，
解得a＝4，
答：a＝4，b＝5，c＝﹣17；
（2）当a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为4x+5y=−17①4x−5y=1②，
①+②得，8x＝﹣16，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17，
解得y=−95，
所以原方程组的解为x=−2y=−95；
（3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组，得
4(s+t)+5(s−t)=−174(s+t)−5(s−t)=1，
解得s=−0.1t=−1.9，
答：s＝﹣0.1，t＝﹣1.9．
4．(2023秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 D （填序号即可）；
A．公式法
B．换元法
C．代入法
D．加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 A （填序号即可）；
A．转化
B．公理化
C．演绎
D．数形结合
③第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 等号右边没有乘以2 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
【分析】任务一：根据数学素养求解；
任务二：利用加减消元法解方程．
【解答】解：任务一：
①小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减法，
故选：D；
②第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是：转换思想，
故选为：A；
③从第一步开始出现错误，原因是等号右边没有乘以2，
故答案为：一，等号右边没有乘以2；
任务二：
3x+4y=5①x−2y=4②，
②×2得：2x﹣4y＝8③，
①+③得：5x＝13，
∴x＝2.6，
把x＝2.6代入②得：2.6﹣2y＝4，
解得：y＝﹣0.7，
所以方程组的解为：x=2.6y=−0.7．
5．(2023春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2b=−1；
（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1y=3m−2，
∵x+y＝5，
∴m+1+3m﹣2＝5，
解得m=32；
（3）由题意得2a1+b1y=c12a2+b2y=c2的解为x=4y=5，
由方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2得6a1(x+y)−4b1(x−y)=5c16a2(x+y)+4b2(x−y)=5c2，
整理，得2a1⋅35(x+y)−b2⋅45(x−y)=c12a2⋅35(x+y)+b2⋅45(x−y)=c2，
即35(x+y)=445(x−y)=5，
解得x=15524y=524．
6．(2023春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 5 ，y的值为 ﹣3 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解答】解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，
解得x＝5，
故答案为：5；﹣3；
（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
∴2x+3y=5−3m2，
∵2x+3y＝1，
∴5−3m2=1，
解得m＝1．
7．(2023秋•济南期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，
解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
得2x+3y=602x−3y=−24，
解得x=9y=14．
∴原方程组的解为x=9y=14．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4；
（2）x+y2+x−y5=−32(x+y)−3x+3y=26．
【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为2m+3n=1m−2n=4，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y﹣2，即可求出x和y的值；
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为a2+b5=−32a−3b=26，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可求出x和y的值．
【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，
原方程组化为2m+3n=1m−2n=4，
解得m=2n=−1，
把m=2n=−1代入m＝x+1，n＝y﹣2，
得x+1=2y−2=−1，
解得x＝1，y＝1，
∴原方程组的解为x=1y=1；
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，
原方程组化为a2+b5=−32a−3b=26，
解得a=−2b=−10，
将a=−2b=−10代入a＝x+y，b＝x﹣y，
得x+y=−2x−y=−10，
解得x=−6y=4，
∴原方程组的解为x=−6y=4．
8．(2023秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程x+y=32x+y=4，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成113214这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为0，即10？01？的形式，那么第三列的数字从上到下分别是x和y的解．例如，对于上述方程的数字排列形式，有：
Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为1132+1×(−2)1+1×(−2)4+3×(−2)=1130−1−2；
Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为1130×(−1)−1×(−1)−2×(−1)=113012；
Ⅲ．将第二行乘以﹣1加到第一行，数字排列变为1+0×(−1)1+1×(−1)3+2×(−1)012×(−1)=101012；
所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．
对于方程组x−y=42x+3y=−2，
（1）请写出对应的数字排列形式；
（2）请参照上述方法求解该方程组．
【分析】（1）根据已知方法即可写出答案；
（2）参照上述方法求解该方程组即可．
【解答】解：（1）根据已知得1−1423−2；
（2）Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为1−142+1×(−2)3+(−1)×(−2)−2+4×(−2)=1−1405−10；
Ⅱ．将第二行乘以15，数字排列变为1−1401−2；
Ⅲ．将第二行乘以1加到第一行，数字排列变为10201−2；
所以方程组的解为x=2y=−2．
9．(2023春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组2x−3y=73x−2y=7是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组，求a的值．
【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．
【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
2x−3y=7①3x−2y=7②，
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
∴原方程组可化为2y=6−a①−2y=4a②，
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
10．(2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为x=4y=−1；
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x+2y−2=03x+2y+15−x=−25．
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入3x+2y+15−x=−25，从而求得x，进而解决此题．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．
把①代入3x+2y+15−x=−25，得2+15−x=−25．
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．
∴y=−12．
∴方程组的解为x=1，y=−12．
11．(2023春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b+c的值．
【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．
【解答】解：由题意得方程组4a−3b=174c−3=53a+2b=17，
解得a=5b=1c=2，
则a+b+c＝8．
故答案为：8．
12．(2023秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，
原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，
解得x=1y=2，m+5=1n+3=2．
∴原方程组的解为m=−4n=−1．
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=5x+y2+x−y6=0．
【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程可化为3m−4n=5m2+n6=0，求出方程的解为n=−1m=13，再得方程组x+y=13x−y=−1，解出方程组即可．
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程可化为3m−4n=5m2+n6=0，即3m−4n=5①3m+n=0②，
②﹣①得，n＝﹣1，
把n＝﹣1代入②得，m=13，
∴n=−1m=13，
∴x+y=13x−y=−1，
解得x=−13y=23．
13．(2023春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
请你运用小曼的方法解方程组1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②．
【分析】先用②﹣①得到一个新方程20x+20y＝20，即x+y＝1③，然后③×1997④，然后用①﹣④进行求解可得答案．
【解答】解：②﹣①得，20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得，1997x+1997y＝1997④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
14．(2023春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：22x+21y=20①20x+19y=18②
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
∴原方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②；
（2）请直接写出关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②的解．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②，
①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，
③×2021，得2021x+2021y＝2021④，
④﹣②，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
∴方程组的解为x=−1y=2；
（2）(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②，
①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，即x+y＝1③，
③×（a+2），得（a+2）x+（a+2）y＝a+2④，
④﹣①，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
∴方程组的解为x=−1y=2．
15．(2023春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②．
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（a≠b）的解是 x=−1y=2 ．
【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；
（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．
【解答】解：（1）1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②，
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1996：1996x+1996y＝1996④，
（①﹣④）÷3得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是x=−1y=2；
（2）ax+(a+4)y=a+8①bx+(b+4)y=b+8②
②﹣①得：（b﹣a）x+（b﹣a）y＝b﹣a，即x+y＝1③，
③•a得：ax+ay＝a④，
（①﹣④）÷4得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
这个方程组的解是x=−1y=2．
故答案为：x=−1y=2．
16．(2023春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①由题意对x、y进行取值即可求解；
②解二元一次方程组x+2y=3x+y=2可得x=1y=1，再将x=1y=1代入x﹣2y+mx＝﹣5中，即可求m的值；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，由题意可求x=0y=−52是公共解；
（3）通过解二元一次方程组可得（5+2m）x＝﹣5，再由题意可得5+2m＝±1，5+2m＝±5，分别求出m即方程组的解，对所求的结果进行取舍即可．
【解答】解：（1）①当y＝0时，x＝3；
当y＝1时，x＝1；
∴x+2y＝3的所有非负整数解为x=3y=0或x=1y=1；
②由题意可得x+2y=3①x+y=2②，
①﹣②得，y＝1，
将y＝1代入②，得x＝1，
∴方程组的解为x=1y=1，
将x=1y=1代入x﹣2y+mx＝﹣5中，
∴1﹣2+m＝﹣5，
解得m＝﹣4；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，
∵当m每取一个值时，方程有一个公共解，
∴当x＝0时，y=52，
∴x=0y=−52是方程的公共解；
（3）当n＝3时，3x+4y=5①x−2y+mx=−5②，
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴5+2m＝±1，5+2m＝±5，
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解为x=−5y=5；
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解为x=5y=−52；
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解为x=−1y=2；
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解为x=1y=12；
综上所述：m＝﹣2或m＝0．
17．(2023春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【分析】（1）把x=3y=−1代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把x=5y=4代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把x=3y=−1代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
【解答】解：（1）把x=3y=−1代入ax+5y＝10得：
3a+5×（﹣1）＝10，
解得：a＝5，
把x=5y=4代入4x﹣by＝﹣4得：
4×5﹣4b＝﹣4，
解得：b＝6，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）把x=3y=−1代入4x﹣by＝﹣4得：
12+b＝﹣4，
解得：b＝﹣16，
把x=5y=4代入ax+5y＝10得：
5a+20＝10，
解得：a＝﹣2，
把a＝﹣2，b＝﹣16代入原方程组得：
−2x+5y=10①4x+16y=−4②
由②得：2x+8y＝﹣2③，
①+③得：13y＝8，
∴y=813，
把y=813代入①得：﹣2x+5×813=10，
解得：x=−4513，
∴原方程组的解x=−4513y=813．
18．(2023春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=16，5x−6y=33.可以写成矩阵34165−633的形式．
（1）填空：将y−5=4x，3x−2y−3=0.写成矩阵形式为： −415323 ；
（2）若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=1y=1，求a与b的值．
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：−4x+y=53x−2y=3，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
【解答】解：（1）化简方程得，
−4x+y=53x−2y=3，
因此矩阵形式为：−4153−23；
（2）根据矩阵形式得到方程组为：
ax−5y=−3−4x+by=−3，
将x=1y=1代入上述方程得，
a−5=−3−4+b=−3，
解得：a=2b=1．
19．(2023春•右玉县期末）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是2x+3y=27x+2y=14与2x+y=114x+3y=27．
（Ⅱ）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为10a01b，即可求得的方程组的解为x=ay=b．用数表简化解二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36的过程如下：
上行43541336→上行−下行30181336→上行÷31061336→下行−上行1060330→下行÷31060110．
∴方程组的解为x=6y=10．
解答下列问题：
（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．
（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
【分析】（1）利用图1中算筹的表示方法解答即可；
（2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可．
【解答】解：（1）图2表示的关于x，y的二元一次方程组为：2x+y=132x+3y=19；
（2）用数表简化解二元一次方程组2x+y=132x+3y=19的过程如下：
21132319→下行−上行2113026→下行÷22113013→上行−下行2010013→上行÷2105013．
∴方程组的解为x=5y=3．
20．(2023春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7y=1求a、b的值；
（2）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=19a2x+b2y=26的解是x=4y=5请你运用学过的方法求方程组a1(3m+2n)+b1(2m−n)=19a2(3m+2n)+b2(2m−n)=26中m、n的值．
【分析】（1）将x=7y=1代入即可求出a，b的值；
（2）设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，根据已知可得3m+2n=4①2m−n=5②，即可解得m，n的值．
【解答】解：（1）∵关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7y=1，
∴21−a=1614+b=15，
解得a=5b=1，
答：a的值为5，b的值为1；
（2）在方程组a1(3m+2n)+b1(2m−n)=19a2(3m+2n)+b2(2m−n)=26中，设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，则方程组变形为a1x+b1y=19a2x+b2y=26，
∵方程组a1x+b1y=19a2x+b2y=26的解是x=4y=5，
∴3m+2n=4①2m−n=5②，
①+②×2得：7m＝14，
∴m＝2，
把m＝2代入①得：6+2n＝4，
∴n＝﹣1，
∴m的值是2，n的值是﹣1．
21．(2023春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组x−y=4∗x+y=8，小明发现x的系数“*”印刷不清楚．
（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组x−y=43x+y=8；
（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是多少？
【分析】（1）直接解二元一次方程组即可；
（2）根据题意列出关于x和y的方程组，求出x和y的值，再代入即可求出*的值．
【解答】解：（1）x−y=4①3x+y=8②，
①+②得，4x＝12，
∴x＝3，
把x＝3代入①，得，3﹣y＝4，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为x=3y=−1；
（2）由题意得：x+y=0①x−y=4②，
①+②得，2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①，得，2+y＝0，
∴y＝﹣2，
∴方程组的解为x=2y=−2，
∴2×*+（﹣2）＝8，
∴*＝5．
22．(2023春•陆河县期末）已知方程组2x+ay=10①bx−3y=−3②，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为x=3y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=−1y=2．若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．
【解答】解：根据题意，可知x=3y=−1满足方程②，x=−1y=2满足方程①，
则3b+3=−3−2+2a=10，
解得：a=6b=−2，
把a=6b=−2，代入原方程组为2x+6y=10−2x−3y=−3，
解得：x=−2y=73，
∴原方程组的解为：x=−2y=73．
23．(2023春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组9x−7y=8①6x−4y=5②
解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，
③×4得4x﹣4y＝4④，
②﹣④得2x＝1，
解得：x＝0.5
把x＝0.5代入③得：
0.5﹣y＝1
解得：y＝﹣0.5
∴方程组的解是x=0.5y=−0.5
（1）请你仿照上面的解法解方程组2023x−2021y=20222022x−2020y=2021；
（2）猜测关于x，y的方程组(m+1)x−(m−1)y=m(n+1)x−(n−1)y=n（m≠n）的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
【分析】（1）①﹣②得出x﹣y＝1③，②﹣③×2020得出2x＝1，求出x，再把x=12代入③求出y即可；
（2）①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，求出x﹣y＝1③，①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，求出x，再把x=12代入③求出y即可．
【解答】解：（1）2023x−2021y=2022①2022x−2020y=2021②，
①﹣②，得x﹣y＝1③，
②﹣③×2020得出2x＝1，
解得：x=12，
把x=12代入③，得12−y＝1，
解得；y=−12，
所以原方程组的解是x=12y=−12；
（2）(m+1)x−(m−1)y=m①(n+1)x−(n−1)y=n②，
①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，
∴x﹣y＝1③，
①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，
解得：x=12，
把x=12代入③，得12−y＝1，
解得；y=−12，
所以原方程组的解是x=12y=−12．
24．(2023春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．
（1）判断点A（2，﹣4） 不是 奇异点；（填“是”或“不是”）
（2）已知关于x、y的方程组x+3y=8x−y=2m+4，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是奇异点？并说明理由．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）通过解二元一次方程组可得B（5+32m，1−m2），再由B点是奇异点，可得10+3m﹣（1−m2）＝6，即可求m的值．
【解答】解：（1）∵A（2，﹣4），
∴2×2﹣（﹣4）＝8≠6，
∴点A（2，﹣4）不是奇异点，
故答案为：不是；
（2）解方程组x+3y=8x−y=2m+4，得x=5+32my=1−m2，
∴以方程组的解为坐标的点B（5+32m，1−m2），
∵点B是奇异点，
∴a=5+32m，b=1−m2，
∵2a﹣b＝6，
∴10+3m﹣（1−m2）＝6，
解得m=−67，
当m=−67时，以方程组的解为坐标的点B是奇异点．
25．(2023春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1，b2+1)为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点；
（2）已知关于x，y的方程组x+2=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【分析】（1）根据完美点的定义进行判断即可；
（2）首先解关于x的方程组，再根据完美点的定义解关于a，b的方程组，再代入2a﹣b＝6，从而可求得相应的值．
【解答】解：（1）由题意得：a−1=2b2+1=3，
解得：a=3b=4，
∵2a﹣b＝2×3﹣4≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）m=12时，点B（x，y）是完美点．理由如下：
解关于x的方程组：x+2=4x−y=2m，
解得：x=2y=2−2m，
解关于a，b的方程组：2=a−12−2m=b2+1，
解得：a=3b=2−4m，
∵2a﹣b＝6，
∴2×3﹣（2﹣4m）＝6，
解得：m=12，
∴当m=12时，点B（x，y）是完美点．
26．(2023春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组3x−2y=23x+2y=4，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 x=1y=12 ；
（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=23(m+5)+2(n+3)=4呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 m=−4n=−52 ；
由此请你解决下列问题：
（3）若关于m，n的方程组am+bn=152m−bn=−2与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a，b的值．
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）由（1）可得m+5=1n+3=12，求解即可；
（3）由题意可得am+bn=13am−bn=−1和2m−bn=−23m+n=5有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可．
【解答】解：（1）3x−2y①3x+2y②，
①+②，得6x＝6，
解得x＝1，
将x＝1代入①得，y=12，
∴方程组的解为x=1y=12，
故答案为：x=1y=12；
（2）由（1）可得m+5=1n+3=12，
∴m=−4n=−52，
故答案为：m=−4n=−52；
（3）由题意可得am+bn=15am−bn=−1和2m−bn=−23m+n=5有相同的解，
am+bn=15①am−bn=−1②，
①+②，得am＝8③，
将③代入①可得，bn＝8，
∴2m﹣bn＝2m﹣8＝﹣2，
解得m＝3，
∴3m+n＝9+n＝5，
解得n＝﹣4，
∴am＝3a＝7，bn＝﹣4b＝8，
解得a=73，b＝﹣2．
27．(2023春•玉州区期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
这时原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m＝2x+3，a＝2x﹣3y．
得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14．
所以，原方程组的解为x=9y=14．
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
解方程组x+y3+x−y5=2x+y3−x−y5=−1．
【分析】仿照阅读材料中的方法，令m=x+y3，n=x−y5，方程组变形后求出m与n的值，再求出x与y的值即可．
【解答】解：令m=x+y3，n=x−y5，
原方程组可化为m+n=2m−n=−1，
解得：m=12n=32，
∴x+y3=12x−y5=32，即2x+2y=3①2x−2y=15②，
①+②得：4x＝18，
解得：x=92，
①﹣②得：4y＝﹣12，
解得：y＝﹣3，
则方程组的解为x=92y=−3．
28．(2023春•永定区期末）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断方程组x−2y=32x−y=3是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组”，求a的值．
【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．
【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
x−2y=3①2x−y=3②，
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
∴原方程组可化为2y=6−a①−2y=4a②，
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
29．(2023春•安溪县期末）【阅读材料】
解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②．
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
∴原方程组的解是x=5y=3．这样运算显得比较简单．
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
∴原方程组的解是x=5y=3
【学以致用】
（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x+y＝ 2 ；
（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②；
【拓展提升】
（3）当m≠−12时，解关于x，y的方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②．
【分析】（1）把两个方程相加得4x+4y＝8，两边除以4求x+y的值即可；
（2）用①﹣②得出x﹣y＝1，然后将x＝y+1代入②先求出y，再求x即可；
（3）用②﹣①得到x＝y﹣1，然后将x＝y﹣1代入①先求出y＝﹣2，然后将y＝﹣2代入x＝y﹣1中求出x即可．
【解答】解：（1）x+3y=5①3x+y=3②，
由①+②，得4x+4y＝8，
所以x+y＝2．
故答案为：2．
（2）2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②，
由 ①﹣②，得x﹣y＝1，
∴x＝y+1③，
把③代入②，得2020（y+1）﹣2021y＝2022，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2+1＝﹣1，
∴原方程组的解是x=−1y=−2；
（3）由 ②﹣①，得x﹣y＝﹣1，
∴x＝y﹣1③，
把③代入①，得（m﹣1）（y﹣1）+（m+2）y＝﹣5m﹣1，
整理，得（2m+1）y＝﹣4m﹣2，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2﹣1＝﹣3．
∴原方程组的解是x=−3y=−2．
30．(2023•南京模拟）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组x+3y=4−tx−y=3t，当t为何值时，以方程组的解x=x0y=y0为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？
【分析】（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
解得：a=12b+4，
∵a＞2，
∴12b+4＞2，
解得b＞﹣4；
（2）∵x+3y=4−tx−y=3t，
∴x=2t+1y=1−t，
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，
∴2（2t+1）﹣（1﹣t）＝8，
∴t=75．
∴当t=75时，B是“巧妙点”．
解方程组：3x+4y=5①x−2y=4②
解：②×2，得2x﹣4y＝4 ③……………………第一步
①+③，得5x＝9……………………第二步
x=95⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
把x=95代入②，得y=−1110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
∴原方程组的解为x=95y=−1110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步
已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=2−3m②的解满足2x+3y＝1③，求m的值．