福建省泉州市晋江市晋江市南侨中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；考试时间：100分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的运算法则和性质逐个进行化简.
【详解】A. ，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确．
故选D．
2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B. 某种彩票的中奖率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D. “概率为1的事件”是必然事件
【答案】D
【解析】
【详解】A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B. 某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为，故C错误；
D. “概率为1的事件”是必然事件，正确.
故选：D.
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜﹣1D. k＜﹣1或k=0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
6. “低碳生活，绿色出行”，电动汽车将逐渐代替燃油汽车，成为人们出行的主要交通工具，某城市一汽车销售店，今年2月份销售电动汽车共计64辆，4月份销售电动汽车共计100辆．若每月汽车销售增长率相同，则该汽车销售店5月份能销售电动汽车（ ）
A. 111辆B. 118辆C. 125辆D. 132辆
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率问题的计算方法列出方程解决问题．
【详解】解：设2月到4月汽车销售的月平均增长率为，
根据题意列方程：，
解得（不合题意，舍去），，
则该汽车销售店5月份能销售电动汽车辆．
故选：C．
7. 如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方．
【详解】∵，
∴，故选项正确；
∴，
∴，
∴，故选项正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故选项正确；
由，故选项错误；
故选：．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
9. 某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，
所以恰好抽到1班和2班的概率=．
故选：B．
10. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A. 18 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12﹣5=7.
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°.
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴ = ，即 = ，解得CG= ，
∴DG=12﹣ = .
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴ = ，即 = ，解得DE= .
故选B.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
12. 若＝＝（b＋d0），则＝____．
【答案】
【解析】
【分析】根据合比的性质即可求解．
【详解】已知＝＝（b＋d0），根据等比性质可得＝．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是利用比例的基本性质．
13. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】12
【解析】
【详解】解：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，
∴x1=5，x2=8，
∵3+4=7＜8，不能组成三角形，
∴x=5.
∴周长为3+4+5=12.
故答案为12.
14. 若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，

由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为______________________________．
【答案】（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【解析】
【详解】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.
16. 如图，长方形中，，，点E是的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么（1）当时，______（2）当_____时，的面积等于5．

【答案】 ①. 3 ②. 或5
【解析】
【分析】本题考查长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
（1）根据长方形的性质，及当时，，利用三角形的面积公式进行计算解答即可；
（2）分析题意可知有三种情况，即点在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形是长方形，，，
∴，，
当时，，则，
故答案为：3；
（2）∵四边形是长方形，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
①如图1，当在上时，，，

∵的面积等于5，
∴ ，
解得；
②如图2，当在上时，，，则，

∵的面积等于5，
∴，
∴，
解得；
③如图3，当在上时，，，则，

∴ ，
解得，不合题意，舍去．
综上可知，当或5时，的面积等于．
故答案为：或．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，熟练掌握相关运算是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．掌握并灵活选用一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，即：，
这里，，，
∵，
∴，
∴，．
19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.
【解析】
【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
20. 如图，在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据点，可确认出坐标原点O的位置，从而可建立平面直角坐标系，再根据点B的位置即可得出其坐标；
（2）根据位似的定义画图即可．
【详解】（1）由点，确认出坐标原点O的位置，由此画出x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
由点B在平面直角坐标系中的位置得：点B坐标为；
（2）根据位似的定义，分别连接，将它们分别延长至点，使得，然后顺次连接点，即可得到，如图所示：
【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系、画位似图形，依据点A、C坐标正确建立平面直角坐标系是解题关键．
21. 某山区学校为开发学生特长，培养兴趣爱好，准备开设“第二课堂培训班”，每周进行一次．拟开设科目有：A．数学兴趣，B．古诗词欣赏；C．英语特长；D．艺术赏析；E．竞技体育等五类．学校对学生进行了抽样调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成图1和图2所示两个不完整统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）求x的值，并将图1补充完整；
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为_____；
（3）为提高学生对C、E科目的了解与关注，学校准备从选C、E科目的学生中随机选出2名出黑板报进行宣传，请你用列表法或树状图法求这2名同学选择不同科目的概率．
【答案】（1）x=30；补图见解析；（2）72；（3）.
【解析】
【分析】（1）先根据A科目人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比求得其人数，再由各科目人数等于总人数可得B的人数，最后用其人数除以总人数可得；
（2）用360°乘以D科目人数所占比例可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到2名同学选择不同科目的情况，利用概率公式即可得．
【详解】（1）∵被调查人数为16÷40%＝40人，
∴C科目人数为40×5%＝2，
∴B科目的人数为40﹣（16+2+8+2）＝12人，
则x%＝×100%＝30%，
∴x=30.
补全图1如图所示：

（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为72；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中2名同学选择不同科目情况有8种，
所以2名同学选择不同科目的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
22. 如图，将一块正方形空地划出区域进行绿化，原空地一边减少了，一边减少了，剩余矩形空地的面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】原正方形空地的边长为．
【解析】
【分析】设原正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合矩形空地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图所示，将矩形ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点B恰好与DC上的点F重合．
（1）求证：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF＝2，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）见解析；（2）tan∠AEB＝．
【解析】
【分析】（1）因为△AEF是由△AEB翻折得到，推出∠AFB＝∠B＝90°，推出∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，推出∠AFD＝∠FEC，由此即可证明．
（2））由tan∠FEC2，推出CF＝2EC，设EC＝a，则FC＝2a，EF＝EBa，由△ADF∽△FCE，得，即，推出DFa，根据tan∠AEB计算即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC，∠D＝∠C＝∠B＝90°．
∵△AEF是由△AEB翻折得到，∴∠AFB＝∠B＝90°，∴∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFD＝∠FEC．
∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCE．
（2）∵tan∠FEC2，∴CF＝2EC，设EC＝a，则FC＝2a，EF＝EBa．
∵△ADF∽△FCE，∴，∴，∴DFa，∴AB＝CD＝DF+CFa，∴tan∠AEB．
【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图，点M的坐标为，点A在第一象限，轴，垂足为B，.
(1)如果是等腰三角形，求点A的坐标；
(2)设直线MA与y轴交于点N，则是否存在与相似？若存在，请直接写出点A坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)点A的坐标是或或；(2)存在，点A的坐标为或.
【解析】
【分析】（1）是等腰三角形的情况有三种：①，②，③，根据点M的坐标和勾股定理分别求出在不同情况下点A的对应的坐标即可；（2）根据相似三角形的性质，可得,，根据比例的性质，可得， ，构建方程组，可解得答案．
【详解】【解】(1)设，，①
当时，则，
即.②
由①②得，，
解得，即.
当时，则，即.③
由①③得，
解得，或，即.
当时，则，即.④
由①④得，
解得或，( 舍去)，即.
综上所述，如果是等腰三角形，点A的坐标是或或.
(2)存在点A，使以M，O，N为顶点的三角形与相似.
当时.，故，
则，0.
直线MN的解析式为，⑤
曲①⑤，解得，；
当时.，，
则，，
直线MN的解析式为，⑥
由①⑥得，解得..
综上所述，当点A的坐标为或时，与相似.
【点睛】本题考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、一次函数解析式的建模，解题的关键在于根据判定相似所需要的对应边成比例的条件（或两三角形相似对应边成比例）构成方程（方程组）．
25. 如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为 ；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
【答案】（1）cm
（2）cm或20cm
（3）2．
【解析】
【分析】（1）当PQBC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值；
（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时， ，于是得到，通过相似三角形的性质得到，即可得到结论．
【小问1详解】
由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x
∴
∴x=；
【小问2详解】
假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
解得
经检验，x=是原分式方程的解．
此时AP=
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
解得5
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
故答案为：cm或20cm
【小问3详解】
解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时， ，
∴，
由（1）知，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴S△APQ：S△ABQ=2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．