河南省驻马店市第四中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中为无理数的是（ ）
A. 1.5B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义．无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：①以及含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数．
【详解】解：A、1.5是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、0是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：B．
2. 已知的三边分别是，下列条件中不能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，B，根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，计算各个角的度数；对于，根据边之间的等量关系，结合勾股定理来判断各个选项是否符合题意．
【详解】因为，则，解得，所以是直角三角形，故A不符合题意；
因为，所以是直角三角形，故B不符合题意；
因为，符合勾股定义，所以是直角三角形，故C不符合题意；
因为，，，可知，不符合勾股定理，所以不是直角三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内角和，勾股定理，能够熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
3. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 内错角相等B. 的立方根是它本身C. 三角形内角和都是D. 无理数都是无限小数
【答案】A
【解析】
【分析】利用无理数的定义、立方根的定义、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，该选项符合题意；
B、的立方根是它本身，正确，是真命题，该选项不符合题意；
C、三角形的内角和都是，正确，是真命题，该选项不符合题意；
D、无理数都是无限小数，正确，是真命题，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义、立方根的定义、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．
4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5. 某超市销售同种品牌三种不同规格的盒装牛奶，它们的单价分别为10元、6元、5元，当天销售情况如图所示，则当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为（ ）
A. 6.3元B. 7元C. 7.3元D. 8元
【答案】C
【解析】
【分析】
利用加权平均数的公式即可求解．
【详解】解：10×40％+6×30％+5×30％=7.3（元）
故选C．
【点睛】本题考查了学生对扇形图的理解以及加权平均数的计算公式，解决本题的关键是学生能从扇形图中获取所要信息，能牢记求加权平均数的公式进行求解．
6. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于原x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相等是解题关键．
7. 如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为（ ）
A. 3，10B. 4，10C. 10，4D. 10，3
【答案】C
【解析】
【分析】把代入先求出被“■”遮住的数，再把x，y的值代入求出被“★”遮住的数．
【详解】解：把代入得，
∴
∴被“■”遮住的数是4；
再把代入得：
，
∴被“★”遮住的数是10．
故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解题意，利用代入法求解．
8. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱是多少？”设人数x人，鸡的总价y钱，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设人数有人，鸡的价钱是钱，根据每人出8钱，多余3钱得出等量关系一：鸡的价钱＝8×买鸡人数－3；；根据每人出7钱，还缺4钱得出等量关系二：鸡的价钱＝7×买鸡人数＋4，依此两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设人数有人，鸡的价钱是钱，
由题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
9. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（ ）
A. 随的增大而增大
B. 是方程的解
C. 一次函数的图象经过第一、二、四象限
D. 一次函数的图象与轴交于点
【答案】C
【解析】
【分析】根据待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】把（0，2）、（1，-1）代入得
解得
∴一次函数解析式为y=-3x+2
∵k=-3＜0，
∴随的增大而减小，故A错误；
把代入，故B错误；
一次函数y=-3x+2的图象经过第一、二、四象限，故C正确；
令y=0, -3x+2=0,解得x=，
一次函数y=-3x+2的图象与轴交于点，故D错误，
故选C．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
10. A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，
乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故①错误；
两人相遇时，他们离开A地20km，故②正确；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是40÷3＝（km/h），故③正确；
当乙车出发2小时时，两车相距：[20＋40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出答案．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的性质，被开方数是非负数．
12. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的大小是___度．
【答案】50．
【解析】
【分析】先根据三角形外角定理求出∠ACD＝100°，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B=60°+40°＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=＝50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角定理是解题关键．
13. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可解答．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于，的二元一次方程组的解是，
故填：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解之间的关系，熟练掌握把一次函数交点坐标为二元一次方程组的解是解题的关键．
14. 设点（﹣1，m）和点（，n）是直线（0＜k＜1）上的两个点，则m、n的大小关系为_________．
【答案】m＞n
【解析】
【分析】根据直线解析式判断其增减性，然后利用增减性比较大小即可．
【详解】解：∵0＜k＜1，
∴直线中，，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜，
∴m＞n．
故答案为：m＞n．
【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，并熟练利用增减性比较函数值的大小是解题关键．
15. 如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据∠OPC＝45°，PC＝PO，证明∠BPC=∠AOP，从而证明△BPC≌△AOP，得到PB=AO=2，过点P作PD⊥y轴，求得PD，BD，DO，根据点所在象限即可确定点P的坐标．
【详解】∵一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠PAO=∠CBP=45°，
∵∠OPC＝45°，PC＝PO，
∴∠PCO=∠COP=67.5°，
∴∠BPC=∠AOP=22.5°，
∴△BPC≌△AOP，
∴PB=AO=2，
过点P作PD⊥y轴，垂注为D，
则PD=BD==，
∴DO=OB-BD=2-，
∵点P在第二象限，
∴点P（，），
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是接退的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可得；
（2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减运算即可得．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
17. 阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题．
解方程组现有两位同学的解法如下：
解法一：由①得③，把③代入②中得．
解法二：得．
（1）解法一使用的具体方法是______，解法二使用的具体方法是______，以上两种方法的共同点是______．
（2）请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来．
【答案】（1）代入消元法，加减消元法，消元
（2）．
【解析】
【分析】（1）分析两种解法的具体方法，找出两种方法的共同点即可；
（2）将两种方法补充完整即可．
【小问1详解】
解：解法一使用的具体方法是代入消元法，
解法二使用的具体方法是加减消元法，
以上两种方法的共同点是基本思路都是消元；
故答案为：代入消元法，加减消元法，消元；
【小问2详解】
解：方法一：由①得③，
把③代入②中得，
整理得：，
解得：，
把代入③，得，
则方程组解为；
方法二：①②得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
则方程组解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18. 己知，，．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出；
（2）画出关于y轴对称的
（3）点P在y轴上并且使得值最小，请标出点P位置并求出最小值．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析，的最小值为
【解析】
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理．
（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的值最小，利用勾股定理求出的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，△ABC即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求，
由勾股定理得
∴的最小值为
19. 某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据______，______．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）4，5
（3）甲班成绩更好（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）根据各得分人数和为20求出得分为3分的人数即可补全图形；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可（答案不唯一）．
【小问1详解】
解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
【小问2详解】
解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
【小问3详解】
解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提．
20. 某商场用2500元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如表所示．
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）若A型台灯按标价的8折出售，B型台灯按标价的9折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
【答案】（1）A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏；
（2）商场共获利740元．
【解析】
【分析】（1）设A种台灯购进x盏，B种台灯购进盏，根据总金额2500元，列方程即可求解；
（2）根据题意列出代数式进行解答即可．
【小问1详解】
解：设A种台灯购进x盏，B种台灯购进盏，
依题意可得：，
解得：，
．
答：A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏；
【小问2详解】
解：（元）．
答：商场共获利740元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系．
21. 如图，在中，于点，．
（1）求证：；
（2）若，求及的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形内角和定理是解此题的关键．
（1）由平行线的性质、等量代换可得，从而即可推出；
（2）由三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再由，推出，从而得出，即可得解．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
，
；
【小问2详解】
解 ：∵在中，，
，
又由（1）知，，
，
，
，
，
．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，求点A，点B的坐标；
（3）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）一次函数的解析式为；
（2）；；
（3）m的取值范围为．
【解析】
【分析】（1）根据平移的规律即可求得；
（2）根据求直线与坐标轴的交点的方法即可求解；
（3）由题意可得当时，的图象在的图象的上方，即可求解．
【小问1详解】
解：函数的图象向下平移2个单位长度得到，
∵一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到，
∴这个一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得，
∴；
令，则，
∴；
【小问3详解】
解：当时，函数的值总是大于一次函数的值，
当时，把代入，求得，
∴函数与一次函数的交点为，
∴，
∴，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值总是大于一次函数的值，
∴当时，的图象在的图象的上方，
∴，
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数的平移等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则①的长为______；②点B的坐标为______．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点，存在以点P为直角顶点的等腰，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1），；（2）直线的函数表达式；（3）点P的坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）由可得，，，易证，，，因此；
（2）同（1）可证，，，据此可求得．最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰构建一线三直角，从而求解．
【详解】解：（1）如图1，作轴于E，轴于F．
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案：，；
（2）如图2，过点B作轴于H．
∵，，
与（1）同理得，
∴，，
，
∴．
设直线的表达式为，
将和代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式；
（3）如图3，设，
分两种情况：
①当点Q在x轴下方时，作轴，与的延长线交于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
解得，
∴，
∴；
②当点Q在x轴上方时，作轴，与延长线交于点．
同理可证．
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
解得，
即，
∴的纵坐标为，
．
综上，点P的坐标为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与三角形的全等，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
甲班
3.6
4
乙班
3.6
3.5
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
标价（元/盏）
60
100