精品解析：云南省昆明市西山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 下面说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算分别判断即可解答．
【详解】A选项：，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项：，故C选项正确；
D选项：，故D选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
3. 一次函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质求出函数图象所经过的象限即可判断．
【详解】解：一次函数中，，，
函数图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当，经图象第一、三象限，y随x的增大而增大；当，一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方；当，一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方．
4. 下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据用勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断．
【详解】解：A.∵，
∴是直角三角形，故此选项符合题意；
B.∵，
设,则，
则，
不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C.∵，
∴，
∴是等边三角形，故此选项不符合题意；
D.∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
5. 少年强，则国强，为增强青少年科技创新能力，我市举行了“青少年机器人大赛”，经过一轮初赛后，共有13人进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），本次活动将按照决赛分数评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，小丽进入了决赛，要判断自己能否获奖，她应该关注决赛分数的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，一共有6个人获奖，则在13人中要获奖，分数应该位于前6名，故应该关心分数的中位数．
【详解】解：1+2+3=6
∵每人决赛成绩各不相同，
∴把学生的成绩按大小顺序排列，前6名可获奖，
在这13人的成绩中，平均数易受极端值的影响；每人成绩都不同，众数一共有13个；方差反映了数据的稳定性；中位数是第7名的成绩；故要判断自己能否获奖应该关心决赛的中位数．
故选：B
【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，熟练地掌握平均数、中位数、众数、方差的定义是解题的关键．
6. 顺次连接矩形的中点所得的四边形是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解．
【详解】如图，连接、，

、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“十九届六中全会”为主题的演讲比赛的相关数据：根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断a、b的值可能是（ ）
A. 95，6B. 95，2C. 85，2D. 85，6
【答案】B
【解析】
【分析】平均成绩越高的越优秀，方差越低的成绩越稳定，根据需求选择即可．
【详解】解：从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，说明甲的平均成绩最高且方差最低．
故选B．
【点睛】本题主要考查利用平均数及方差做选择，能够熟练运用方差和平均数分析数据是解题关键．
8. 如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程组的解即为直线和直线相交于点的横、纵坐标．
【详解】解：∵直线和直线相交于点，
∴方程组的解是．
故选：A
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
9. 取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠（垂直平分线）的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：边长为的正方形纸片，
∴第一次折叠后，在中，，，
第二次折叠后，是的角平分线，根据折叠的性质得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
，
∴，
∵，
∴线段的长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形与折叠的综合，掌握折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
10. 数学老师要求学生用一张长方形的纸片折出一个的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
A. 甲和乙的折法都正确B. 只有甲的折法正确
C. 只有乙的折法正确D. 甲和乙的折法都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】对于甲，根据角平分线的性质即可判断；对于乙，由题意可得平分，平分，然后根据角的和差和角平分线的性质判断即可.
【详解】对于甲：由题意可得平分，
因为，
所以，则甲的折法正确．
对于乙：由题意可得平分，平分，
所以，
所以，
则乙的折法也正确；
故选：A.
【点睛】本题考查了折叠的性质和角平分线的性质，正确理解题意、熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.
11. 如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键．
根据题意求出，的长，即可求出．
【详解】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
是直角三角形，
，
，
故选：．
12. 如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（ ）
A. 73B. 81C. 91D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数，总结出数量变化的一般规律即可．
【详解】解：由图可知：
第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，
第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，
第三个图形：上面有10个菱形，下面有3个菱形，
第四个图形：上面有15个菱形，下面有6个菱形，
……
第n个图形：上面有个菱形，下面有个菱形，
∴第9个图形的菱形个数为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. 在“永远跟党走，奋斗新征程“西山区青少年爱国主义教育演讲比赛活动中，已知某位选手的演讲内容、语言表达、形象风度这三项得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是______ 分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．运用加权平均数公式计算即可．
【详解】解：该选手的成绩是：分．
故答案为：．
14. 二次根式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，2x−1⩾0，
解得；
故答案为．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握被开方数大于等于0．
15. 已知点、都在一次函数的图像上，比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断一次函数图象的增减性，再比较、的横坐标的大小．
【详解】解：中，
y随x的增大而减小，
点、都在一次函数的图像上，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查比较一次函数的函数值，能够根据一次函数中一次项系数的正负判断函数图象的增减性是解题的关键．
16. 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
利用基本作法得到得垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出．
【详解】解：由作法得垂直平分，即，，
四边形为菱形，
，，
，，
在中，，
在中，．
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式

．
18. 阅读：
在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求A，B两点间的距离．
过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点C，连接．
∴，，
在中，由勾股定理得：，
若，，从而得到两点间的距离公式．
解决下列问题：
（1）若，，则两点间的距离 ________
（2）如图2：点，点，则____，若，则________
【答案】（1）13 （2）；
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式求出的值即可；
（2）根据两点间距离公式求出的值即可；先求出的面积，根据等积法求出的值即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
故答案为：13．
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴；
过点D作轴于点A，过点E作轴于点C，过点E作于点B，如图所示：
∵点，点，
∴，，，，，，
∴
，
∵，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，三角形面积的计算，坐标系中坐标特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中两点间距离公式．
19. 为了解我区八年级学生数学学科期末质量监测情况，某数学兴趣小组进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整：
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据．
分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填表：的值是______；的值是_______．
（2）得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，请估计这次考试成绩在80分及以上的人数．
②请推断哪所学校学生的数学学科质量监测成绩较高，并说明理由．
【答案】（1），；
（2）①人；②甲校学生的数学水平较高，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）整理频数分布表可得的值，再结合中位数的含义可得的值；
（2）①由总人数乘以80分及以上的人数的占比即可得到答案；②从中位数与众数的角度出发分析可得答案．
【小问1详解】
解：由乙组数据可得：的有84 87 82 85 88 88 88 88，
∴，
由表格信息可得：甲组排在最中间的两个数据分别是第10个，第11个，落在，
而这一组的数据为：81 85 85 86 88 88 89
第10个，第11个分别88，88，
∴中位数为：；
【小问2详解】
①甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数有
（人）；
②由两个学校的平均数基本相同，而甲校的中位数与众数都高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是频数分布表，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，利用中位数与众数作判断，掌握以上基础知识是解本题的关键．
20. 生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
（2）当入园次数在次含和，选择哪种卡消费方式比较合算？
【答案】（1），
（2）当入园次数包含次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数包含次时，选择乙消费卡比较合算
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【小问1详解】
解：设，根据题意得，
解得，
；
设，
根据题意得：，
解得，
；
【小问2详解】
解：，即，解得，当入园次数包含次时，选择甲消费卡比较合算；
，即，解得，当入园次数等于次时，选择两种消费卡费用一样；
，即，解得，当入园次数包含次时，选择乙消费卡比较合算．
21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键．
22. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M坐标．

【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【解析】
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【详解】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
23. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhn Rhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
（2）冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元
【解析】
【分析】（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值．
【小问1详解】
解：设冰墩墩进价为元/个，雪容融进价为元/个．
得，解得．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．
【小问2详解】
设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，
则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24. 如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒．
（1）______，______．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形为平行四边形时，求t的值；
（3）如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则；
（2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可；
（3）由，，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可．
小问1详解】
解：如图1．

，
．
在直角梯形中，，，于点，
四边形为矩形，
，
；
故答案为：，．
【小问2详解】
四边形为平行四边形时，，
，
解得：；
【小问3详解】
存在时刻，使四边形为菱形．
理由如下：
，，
当时有四边形为菱形，
，
解得．
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数（分）
80
90
80
方差
2．2
5．4
2．4
甲：如图1，将纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕折叠，使B，D两点分别落在点处，且与在同一直线上，即为所求．
学校
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
0
0
1
4
2
5
统计量
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81．85
91
268．43
乙
81．95
86
88
115．25