绵阳南山中学实验学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则( )
A.B.C.D.5
2．下列函数中,在上递增的偶函数是( )
A.B.C.D.
3．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则它的体积为( )
A.B.C.
D.
4．已知不共线的平面向量,满足,,则平面向量,的夹角为( )
A.B.C.D.
5．如图,P是正方体面对角线上的动点,下列直线中,始终与直线BP异面的是( )
A.直线B.直线C.直线D.直线AC
6．在中,记,,若,则( )
A.B.C.D.
7．如图所示的曲线为函数的部分图象,将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得曲线向左平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.直线为图象的一条对称轴B.点为图象的一个对称中心
C.函数的最小正周期为2πD.函数在上单调递减
8．已知O为的外接圆的圆心且,,若,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给出下列命题正确的是( )
A.平面内所有的单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C.若,满足,且,同向,则
D.若四边形ABCD满足,则四边形ABCD是平行四边形
10．a,b为两条直线,,为两个平面,则以下命题不正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,,,则D.若,,则
11．如图,在直三棱柱中,,,,侧面的对角线交点O,点E是侧棱上的一个动点,下列结论正确的是( )
A.直三棱柱的体积是1
B.直三棱柱的外接球表面积是
C.三棱锥的体积与点E的位置有关
D.的最小值为
12．已知中,在BC上,AD为的角平分线,E为AC中点,下列结论正确的是( )
A.
B.的面积为
C.
D.P在的外接圆上,则的最大值为
三、填空题
13．已知复数为实数,则______.
14．求的最小值是_____
15．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处双塔山,因1300多年以前,契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登,现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离.如图,在与两座山峰,山脚同一水平面处选一点A,从A处看塔尖C的仰角是,看塔尖B的仰角是,又测量得,若塔尖B到山脚底部D的距离为米,塔尖C到山脚底部E的距离为米,则两塔塔尖之间的距离为________米.
16．已知正三棱柱的底面边长为6,三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的表面积为______.
四、解答题
17．已知平面向量,,,且,
（1）若,且,求向量的坐标;
（2）若,求在方向的投影向量(用坐标表示).
18．如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别为AD,的中点.
（1）已知点G满足,求证B,E,G,F四点共面;
（2）求三棱柱的表面积.
19．已知,都是锐角,,.
（1）求和的值;
（2）求的值.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,PA为点P到平面ABCD的距离,,,,点E,M分别在线段AB,PC上,其中E是AB中点,,连接ME.
（1）当时,证明:直线平面PAD;
（2）当时,求三棱锥的体积.
21．已知函数(其中A,,均为常数,,,).在用五点法作出函数在某一个周期的图像时,取点如表所示:
（1）求函数的解析式,并求出函数的单调递增区间;
（2）已知函数满足,若当函数的定义域为()时,其值域为,求的最大值与最小值.
22．如图,在四边形ABCD中,,.
（1）求BC的值;
（2）若为等边三角形,求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题设可得,故,
故,故选:B.
2．答案：D
解析：对于A:为奇函数,故A错误;
对于B:为奇函数,故B错误;
对于C:为偶函数,但是函数在上单调递减,故C错误;
对于D:,则,故为偶函数,
且时,函数在上单调递增,故D正确;
故选:D
3．答案：A
解析：因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,所以圆锥的底面半径为1,且圆锥的高,
故体积为.
故选:A
4．答案：D
解析：设向量,的夹角为,
,,即,
,.
,向量,的夹角为.
故选:D.
5．答案：D
解析：对于A,连接BD,,设,
由,当P点位于点时,BP与共面;
对于B,当点P与重合时,直线BP与直线相交;
对于C,因为且,所以四边形为平行四边形,
所以,
当点P与重合时,BP与共面;
对于D,连接AC,
因为平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,,
所以直线BP与直线AC是异面直线.
故选:D.
6．答案：D
解析：因为在中,若,所以点B为AD中点,所以.
故选:D
7．答案：A
解析：由图象知,
又,所以的一个最低点为,
而的最小正周期为,
所以,
又,则,
所以,即,
又,所以,
所以,
将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象,
再把所得曲线向左平移个单位长度得,
即.
因为,
所以直线是图象的一条对称轴,故A正确;
因,
所以不是图象的一个对称中心,故B错误;
函数在周期,故C错误;
由得,
所以在上单调递减,
当时,可知在递减,在递增,所以D错误.
故选:A.
8．答案：B
解析：取AC的中点D,连接OD,OB,如图,
则,由,得,又,
因此B,O,D三点共线,由O为的外接圆的圆心,得,即,
所以.
故选:B
9．答案：BD
解析：对于A,单位向量是模长相等,方向不一定相同,故A错误,
对于B,由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量,故B正确,
对于C,向量不可以比较大小,故C错误,
对于D,,则,且,故为平行四边形,故D正确,
故选:BD
10．答案：ABC
解析：对A,由,,可得或,A错误;
对B,由,,可得直线a,b可能相交,异面或平行,B错误;
对C,,,,,则当a,b相交时,;当a,b平行时,则或,相交,C错误;
对D,由,,根据平行平面的性质可得,D正确,
故选:ABC.
11．答案：AD
解析：在直三棱柱中,,,,
所以其体积,
故A正确;
对于B,由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得,
其外接球即为长宽高分别为2,1,1的长方体的外接球,
所以其外接球半径为,
所以其外接球的表面积为,
故B错误;
由平面,且点E是侧棱上的一个动点,,
三棱锥的高h为定值,
,
,
故三棱锥的体积为定值,故C错误;
将四边形沿翻折,使四边形与四边形位于同一平面内,
此时,连接与相交于点E,此时最小,
即,
故D正确.故选:AD.
12．答案：ABD
解析：在三角形ABC中,由余弦定理,
,故,故正确;
在中,由余弦定理得:,
,故正确;
由余弦定理可知:,,
平分,,
,
在三角形ACD中,由正弦定理可得:,
故,故不正确;
,,,,
,
为的外接圆的直径,故的外接圆的半径为1,
显然当取得最大值时,P在优弧上.
故,设,则,,
,
,,
,其中,,
当时,取得最大值,故正确.
故选:ABD.
13．答案：1
解析：由复数为实数,得,解得,
所以.
故答案为:1
14．答案：或0.5
解析：,
令,,
,,
当,.
故答案为:
15．答案：
解析：在中,米,,则米.
同理,在中,米,
在中,米,米,,
由余弦定理,得
米.
故答案为:.
16．答案：
解析：由正三棱柱的底面边长为6,得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径,如图,
又由三棱柱的高为,则球心到圆O的圆心O的距离,
因此球半径R满足:,即有,
所以外接球的表面积
故答案为:
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设,,
,,又,,
,,
或,
或.
（2）,,设与的夹角为.
故,
在上的投影向量为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在正方体中,取中点H,连接AH,HF,EG,如图,
因为F是的中点,则,,即四边形ABFH是平行四边形,
则有,由,知为的中点,而E为AD中点,于是,即有,
所以B,E,G,F四点共面.
（2）显然三棱柱是直三棱柱,,,,
上下两个底面的面积和为,
侧面积,
所以三棱柱的表面积.
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）是锐角,,
,
,
,
,
.
（2）,都是锐角,
,
又,
,
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）取PD中点N,连接MN,AN,
是的中位线,MN//CD,且,
又AE//CD,且,四边形AEMN为平行四边形,
又平面PAD,平面PAD,平面PAD.
（2）,P到平面ABCD距离为3,
点M到平面ABCD的距离为1,
.
21．答案：（1）,单调递增区间为;
（2）最大值与最小值分别为,.
解析：（1）由数表得,,函数的周期,则,
由,得,,而,于,,
所以数的解析式,
由,,得,,
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知,,则,
令,则,,解得,,
由,得,,解得,,
因为当函数的定义域为()时,其值域为,
显然,当,时,,
因此,
当,时,,因此,,
所以的最大值与最小值分别为,.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,.
因为,
所以由正弦定理,得,即,
所以.
因为,所以,即.
因为,所以.
（2）设,,.
在中,由余弦定理,得.
因为为等边三角形,所以.
由正弦定理,得,则,所以.
因为,
又因为,所以为锐角,所以,
所以
.
x
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2
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