初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程测试题

这是一份初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程测试题，共14页。

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
知识点一 一元二次方程根的求根公式
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤：
方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
确定公式中a,b,c的值，注意符号；
求出b2-4ac的值；
若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼公式法➽➼运算
1．用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∴，
即；
方程化为一般形式，得，
这里，
∴，
，
∴原方程的解为．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 公式法解方程：
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）直接利用公式法求解即可；
（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；
（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．
解：（1），
，
，
即；
（2），
，
，
，
，
；
（3），
整理，得，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
【变式2】 用公式法解下列方程：
（1）； （2） ．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）先找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．
（2）先移项，找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．
解：（1）∵
∴
∴
∴
，
即，
令A＝ab，B＝，C＝ab．
∵
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
类型二、解一元二次方程➽➼公式法✮✮配方法
2． 解方程：（用两种方法解）
【答案】，
【分析】方法一：配方法；方法二：直接用求根公式求解即可．
解：方法一：
解得，
∴方程的解为，；
方法二：
，
解得，
∴方程的解为，；
【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的方法．
举一反三：
【变式1】 解下列方程：
x2+2x﹣4＝0（配方法）； (2) 3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【答案】(1) ，； (2) ，
【分析】（1）先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；
（2）先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可．
(1) 解：移项，得x2+2x＝4，
配方，得x2+2x+1＝5，
∴（x+1）2=5，
∴，
∴，．
(2)解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点拨】本题考查解一元二次方程，熟记求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．
【变式2】 解方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；
（2）利用公式法直接代入求出即可．
解：（1）
（2）
∴
∴
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼判定一元二次方程根的情况
3． 用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程没有实数根
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（3）先将原方程整理为一元二次方程的一般式，然后利用一元二次方程根的判别式进行判断即可．
（1）解：，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2），
∵，
∴，
∴方程有两个相等的实数根；
（3），
整理为：，
∵，
∴，
∴方程没有实数根．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于的一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 利用一元二次方程的根的判别式判别下列方程根的情况：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)有2个不等的实数根；(2)没有实数根；(3)有2个相等的实数根
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解；
（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
解：（1）
∵，
∴
∴原方程有2个不等的实数根，
（2）
∵，
∴
∴原方程没有实数根，
（3）
∵，
∴
∴原方程有2个相等的实数根，
【点拨】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【变式2】 已知关于x的方程．
请你判断方程的解的情况；
(2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【答案】(1) 方程有两个实数根；(2) 5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断出方程的解的情况；
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长．
解：（1）由题意知：，
∵，即，
∴方程有两个实数根；
（2）当时，，则，
方程化为，解得，
∴的周长；
当或时，
把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去；
综上所述，的周长为5．
【点拨】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．注意：在判别式中，①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．
类型四、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼证明
4． 已知关于x的一元二次方程．
求证：此方程总有两个实数根；
若此方程的两根的差为2，求k的值．
【答案】(1)见解析； (2)1或
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．
（1）证明：∵，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知， ，
∴ ，
∴，，
∵若此方程的两根的差为2，
∴或，
解得：或；
∴k的值为1或．
【点拨】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式： ．
举一反三：
【变式1】 已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0．
求证：方程有两个不相等的实数根；
如果方程的两实根为x1，x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）只要证明恒成立即可；
（2）由题意得，，进行变形后代入即可求解．
（1）证明：∵恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系：，，
∴，
解得，，
即．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握知识点是本题的关键．
【变式2】 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析； (2) m的值为4或3
【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
类型五、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼求参数的取值范围
5． 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
求m的取值范围；
若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
【答案】(1) 全体实数；(2) m＝﹣1
【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围；
（2）将x=1代入原方程即可求出m值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m的取值范围是全体实数．
（2）将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，
解得：m＝﹣1．
【点拨】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2-4ac≥0”是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知关于的一元二次方程．
若，解这个方程；
若该方程有实数根，求的取值范围．
【答案】(1)，； (2)
【分析】（1）把代入，得到，再解这个方程即可；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求的取值范围．
（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴当时，方程为，
∴，
∴，．
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得：．
∴的取值范围为．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式用表示，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【变式2】 关于x的方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
当k取最大整数值时，求方程的两个根．
【答案】(1) ；(2) ，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ=>0，求解即可；
（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，再用公式法求解方程即可．
（1）解：由方程可知：
Δ=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=即：，
∴
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，
∴k的最大整数值为0，
把，代入方程可得方程，
解这个方程得，．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：Δ>0，方程有两不相等实数根，Δ=0，方程有两相等实数根，Δ<0，方程没有等实数根，有用公式法求解一元二次方程是解题的关键．