浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.34 一元二次方程的应用（题型分类专题）（巩固篇）（专项练习）（附参考答案）

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专题2.34 一元二次方程的应用（题型分类专题）（巩固篇）（专项练习）【题型一】握手问题✮✭比赛场次问题1．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应该邀请多少支球队参加比赛？2．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．(1) 用含x的代数式表示：每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了______份合同；(2) 列出方程并完成本题解答．3．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），参赛者少于10人．关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种是说比了28局；另一种说法是比了24局．如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有一人中途退出比赛呢？请说明理由．4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解决方案：设应邀请x个队参赛、(1) 每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场；(2) 根据题意，列出相应方程为______；(3) 解这个方程，得______；(4) 检验：______；(5) 答：比赛组织者应邀请______个队参赛．【题型二】传播问题✮✭增长率问题5．2019年12月以来，“新冠”病毒影响着人们的出门及交往．(1) 在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2) 某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了2500元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的2倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花3元．则该物业购买A，B两种口罩单价分别为多少元？6．去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．(1) 每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？(2) 如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？7．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会．吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3日销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．(1) 求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；(2) 若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4200元？8．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．(1) 商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；(2) 市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？【题型三】图形问题✮✭动态几何问题9．如图，某农场要建一个矩形的菜园，菜园的一边靠墙（墙长5m），另外三边，，用木栏围成，木栏长8m．(1) 求菜园的面积能达到时的长和宽；(2) 菜园的最大面积是多少？10．如图，用长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在上用其他材料建了两扇宽为的门．(1) 若长方形花圃的面积为，求的长．(2) 能否围成面积为的长方形花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．11．如图，在矩形中，，，点从点沿边向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，问：(1) 几秒后的面积等于？(2) 几秒后？12．如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：(1) 若点在边上，当为何值时，？(2) 是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【题型四】数字问题✮✭图表信息问题13．年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．14．根据题意，列出方程：（1）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？（2）三个连续数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？15．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据(1) 平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2) 在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票16．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？【题型五】营销问题✮✭利润问题17．封丘县某商超服装部销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售减少库存，决定适当降价，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．设每件衬衫降价元．(1) 若商超要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2) 当每件衬衫降价多少元时，商超服装部每天盈利最多？并求出最大盈利．18．2022年11月19日湖南首届旅游发展大会开幕式在张家界市隆重开幕．上午10点，永定区某电商平台通过网络平台直播，为张家界市优质特色产品宣传推广．已知葛根粉每盒60元，茅岩莓茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出葛根粉和茅岩莓茶共计1000盒，葛根粉和茅岩莓茶的总销售额为76000元．(1) 本次直播共卖出茅岩莓茶多少盒？(2) 第二天茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，茅岩莓茶每盒降价，销量比11月19日直播时茅岩莓茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动茅岩莓茶的销售额比11月19日直播时茅岩莓茶的销售额多80a元，求a的值．19．疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元，用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．(1) 、型口罩每盒进价分别为多少元？(2) 经市场调查表明，型口罩受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销售为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少5盒.当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润为元？20．某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品，经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0．1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的倍．(1) 当每个纪念品定价为元时，每天可卖出___________件，日销售利润为___________元：(2) 若每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出___________件；（用含m的代数式表示）(3) 如果商店要实现每天800元的销售利润，求每件纪念品的售价．【题型六】工程问题✮✭行程问题21．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1) 求、两点各有多少名医护人员？(2) 9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？22．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1) 求A型设备每小时铺设的路面长度；(2) 通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．23．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．(1) 小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2) 小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）24．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1) 甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2) 如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？【题型七】其他问题25．古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服”．其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？26．某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利15元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排名工人生产乙产品．(1) 用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 名；每件乙产品可获利润 元．(2) 若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．(3) 该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利30元，求该企业每天生产三种产品可获得的总利润3198元时的x的值．27．已知边形的对角线共有条（是不小于3的整数）：(1) 五边形的对角线共有______条；(2) 若边形的对角线共有90条，求边数；(3) 若边形的边数增加1，对角线总数增加7，求边数．28．陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游?参考答案1．8支【分析】设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排28场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设应该邀请x支球队参加比赛，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：应该邀请8支球队参加比赛．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．(1) ； (2) 共有11家公司参加商品交易会【分析】（1）用x表示出每家公司与其他公司签订的合同数，则用x表示出所有公司共签订的合同数；（2）利用所有公司共签订的合同数列方程得到，然后解方程、检验、作答．（1）解：每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了份合同；（2）解：根据题意列方程得：，解得，，检验：不合题意舍去，所以，答：共有11家公司参加商品交易会．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．3．比了28局；比了24局【分析】设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数，列方程，方程有整数解的就正确，反之不正确．解：比赛中没有人中途退出，比了28局；有一人中途退出比赛，比了24局．理由如下：设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数，列方程，得，当时，解得（舍去），是正整数，符合题意；当时，解得（舍去），因为不是正整数，不符合题意，故比赛中没有人中途退出，比了28局说法正确；当有人退出时，比赛局数一定小于28局，故有一人中途退出比赛，比了24局说法正确．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．4．(1) ； (2) (3) （不符合题意，舍去）， (4) 将代入原方程，左边＝右边 (5) 8【分析】设应邀请x个队参赛，则每个队要与其他个队各赛1场，利用组织比赛的总场次数＝参赛球队数×（参赛球队数），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设应邀请x个队参赛、每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场；故答案为：；；（2）根据题意，列出相应方程为；故答案为：；（3）解这个方程，得x1＝﹣7（不符合题意，舍去），x2＝8；故答案为：（不符合题意，舍去），；（4）检验：将代入原方程，左边＝右边；故答案为：将代入原方程，左边＝右边；（5）答：比赛组织者应邀请8个队参赛．故答案为：8．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．(1) 11人 (2) 型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据2人感染“新冠”经过两轮传染后共有288人感染“新冠”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，列出方程，解方程即可得解．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，由题意得，，解得，，经检验是原方程的解，则，答：该物业购买型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．6．(1) 每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪． (2) 患病的猪会超过500头，理由见分析．【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论，再进行比较即可．（1）解：设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．（2）解：（头）．患病的猪会超过500头，答：患病的猪会超过500头．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．(1) (2) 【分析】（1）由3月份的销售量=1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；（2）设“冰墩墩”每个降价x元，则每个“冰墩墩”的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．解：（1）设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，则： ∴（舍），答：“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为（2）设当“冰墩墩”每个降价元，则： 整理得：解得：（舍），答：当“冰墩墩”每个降价5元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4200元【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．(1) 每次降价的百分率是 (2) ①每个应降价3元；②每个应降价2元，利润有最大值，最大利润为360元【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）①设下调 元，则售价为元，销售量为个，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；②设下调 元后，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据求出二次函数的最值即可．解：（1）设每次降价的百分率为，依题意得：，解得，（不合题意，舍去）答：每次降价的百分率是；（2）①假设下调元，依题意得：．整理得：解得或．∵，故舍去，答：每个应降价3元．②设下调元后，利润为W元，则：W=，∵，∴当时，利润有最大值，最大利润为360元【点拨】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．9．(1) 菜园的面积能达到时的长为，宽为 (2) 菜园的最大面积是【分析】(1) 设，则，依题意列方程计算即可．(2) 设菜园的面积为，依题意构造二次函数计算即可．解：（1）设，则，依题意，得：，即，解得：，，当时，（不合题意，舍去），当时，．答：菜园的面积能达到时的长为，宽为．（2）设菜园的面积为，依题意，得：，∴当时，y有最大值为8．答：菜园的最大面积是．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．10．(1) (2) 不能，理由见分析【分析】（1）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解．（1）解：设的长为，则，根据题意得，解得：，∵解得：，∴，即；（2）解：设的长为，，根据题意得，即即，∴原方程无解，∴不能围成面积为的长方形花圃．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．11．(1) 秒或秒后的面积等于 (2) 秒后【分析】（1）设x秒后的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用的面积等于8列式求值即可；（2）设t秒后，表示出，，，，利用三角形相似的相似比列出方程求解即可．（1）解：设秒后的面积等于，，．．，解得，，答：秒或秒后的面积等于；（2）解：设秒后，∴，∵在矩形中，，∴，∴∴∽，∴，，，，，，解得：， 答：秒后．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用三角形的面积和相似三角形的性质列出有关的方程，难度不大．12．(1) ，当时 (2) 存在；当或时，的面积为【分析】（1）先根据已知条件求出的长度，再设经过 秒，是直角三角形，此时， ，当，，解方程即可；（2）设经过秒，的面积为，连接，作于，分类讨论点在边上和点在边上，，即可求解．（1）解：过点作，如图所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，设经过秒，是直角三角形，则， ，当时，如图所示：∴，∴，解得：，若点在边上，当时（2）存在，理由如下：当点在边上，连接，过点作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则， ，∴，∴，∴，解得：，（舍），当点在边上，连接，，作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴当或时，的面积为．【点拨】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的应用和三角形与动点问题的综合，分类讨论思想和数形结合的思想是解决本题的关键．13．4【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．解：设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据题意得：，得，解得，(不合题意舍去) ，故这个最小数是4．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（1）；（2）【分析】（1）设这个正方形的边长是，根据题意，得，化为一般式即可；（2）设三个连续整数依次为，根据题意，得，化为一般式即可．解：（1）设这个正方形的边长是，根据题意，得，即；（2）设三个连续整数依次为，根据题意，得，即．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．15．(1) 10%(2) 2500000张【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．（2）解：（张）．答：10月11日卖出2500000张电影票．（或（张）．）【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．解：（1）因七月份用水量为140吨，1．6×140＝224＜264，所以需加收:(元) ，即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标故答案为a＝100；（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．即y用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．【点拨】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．17．(1) 每件衬衫应降价20元(2) 当每件衬衫降价15元时，商超服装部每天盈利最多，最大盈利为1250元【分析】（1）设每件衬衫降价元，由每件衬衫利润乘以销售量等于1200，再列方程，解方程即可；（2）设商超服装部每天盈利W元，再根据总利润等于每件衬衫利润乘以销售量，再建立二次函数的解析式，利用二次函数的性质可得答案．（1）解：由题意可知： 整理得∶解之得∶ ∵要扩大销售减少库存∴ 答∶每件衬衫应降价20元；（2）设商超服装部每天盈利W元，则有（）∴（）∴当时，W取得最大值，最大值为（元）答∶当每件衬衫降价15元时，商超服装部每天盈利最多，最大盈利为1250元．【点拨】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，确定相等关系，建立方程与二次函数是解本题的关键．18．(1) 400盒 (2) a的值7.5【分析】（1）据“卖出葛根粉和茅岩莓茶共计1000盒；葛根粉和茅岩莓茶的总销售额为76000元”两个等量关系，列二元一次方程组求解；（2）在（1）的基础上依题意据“销售额=单价×销售量”，列方程求解．解：（1）设直播当日，共卖出茅岩莓茶x盒，葛根粉y盒，由题意得解得答：直播当日共卖出茅岩莓茶400盒．（2）依题意得方程化简得解得（舍去），．答：a的值．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．19．(1) 型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元；(2) 元．【分析】（1）设型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设型口罩每盒售价为元，销售型口罩所得日均总利润为1125元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（1）解：设型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，，答：型口罩每盒进价是30元，则型口罩每盒进价为50元；（2）解：设型口罩每盒售价为元，销售型口罩所得日均总利润为1125元，根据题意得：，即∴解得： 答：当型口罩每盒售价为65元时，销售型口罩所得日均总利润为1125元【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．20．(1) 440，704 (2) (3) 每件纪念品的售价为4元【分析】（1）（2）根据所给的数量与售价的关系进行列式计算即可；（3）根据利润（售价进价）数量列出方程求出m的值即可得到答案．（1）解：件，∴当每个纪念品定价为元时，每天可卖出440件，元，∴日销售利润为704元，故答案为：440，704；（2）解：由题意得，每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出件，故答案为：；（3）解：由题意得，，整理得：，解得或，∵纪念品售价不能超过批发价的倍，∴，即，∴，元，∴每件纪念品的售价为4元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，列代数式等等，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键．21．(1) A检测队有6人，B检测队有7人 (2) 从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．(1) A型设备每小时铺设的路面110米 (2) 18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．解：（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点拨】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．23．(1) 小球的滚动速度平均每秒减少 (2) 小球滚动约用了秒【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．(1) 7分钟 (2) 15分钟【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）第1次相遇是在开始后7分钟．答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）故第2次相遇是在开始后15分钟．答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．25．10尺【分析】设竹竿的长为尺，根据横着比门宽4尺，竖着比门高2尺，得到两条直角边长分别为尺和尺，根据沿对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去得到直角三角形斜边为尺，根据勾股定理列方程，解方程即可．解：设竹竿的长为尺，根据题意，得．解这个方程，得，．当时，，，不符合题意，舍去，．答：竹竿的长为10尺．【点拨】此题考查了勾股定理和一元二次方程的应用，读懂题意，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．26．(1) ； (2) 每件乙产品可获得的利润是110元； (3) x的值为26．【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润，根据题意构造方程即可；（3）根据题意列方程，解方程即可得到结论．（1）解：由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件．在乙每件120元获利的基础上，增加人，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为元；故答案为：；；（2）解：由题意，∴，解得（不合题意，舍去），∴（元），答：每件乙产品可获得的利润是110元；（3）解：设生产甲产品m人，则生产丙产品人，∴，∴，根据题意得：，即，整理得，解得：（此时m不是正整数，不合题意，舍去），答：x的值为26．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．27．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知边形的对角线共有条（是不小于3的整数），令，代值求解即可得到答案；（2）根据已知边形的对角线共有条（是不小于3的整数），由边形的对角线共有90条，得到，解一元二次方程即可得到答案；（3）根据已知边形的对角线共有条（是不小于3的整数），由若边形的边数增加1，对角线总数增加7，得到，即，解得，从而得到答案．（1）解：边形的对角线共有条（是不小于3的整数），令，五边形的对角线共有条，故答案为：；（2）解：边形的对角线共有条（是不小于3的整数），若边形的对角线共有90条，，即，，解得或（边数为负不符合实际情况，舍去），边数为；（3）解：边形的对角线共有条（是不小于3的整数），且若边形的边数增加1，对角线总数增加7，，即，解得，边数为．【点拨】本题考查几何背景下的代数式求值、一元二次方程解决问题、一元一次方程解决问题，读懂题意，正确列出相应方程求解是解决问题的关键．28．该单位这次共有30名员工去旅游【分析】设该单位这次共有个员工去旅游，根据“如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，且共支付给该旅行社旅游费用54000元”，可以列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于1700元，判断解是否合理．解：，去的人一定超过25人，设该单位这次共有个员工去旅游，根据题意，得，    解之得：，，当时，人均费用为1200元．因为低于1700元，这种情况舍去．当时，人均费用为1800元．符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系列出方程．发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元月份用水量（吨）交费总数（元）7140264895152