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人教版七年级下册5.4 平移当堂检测题
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这是一份人教版七年级下册5.4 平移当堂检测题，共34页。
【例题讲解】
在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1），
线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，-1）；20；
（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，
由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2，
由平移知，CD＝AB＝4，
∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE，
S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE，
∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD；
②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），
∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4，
∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12，
∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．
如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，
连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），
∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，
∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝
过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，
∵B（6，4），∴PH＝6
S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，
∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7，
∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝，
∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）．
【综合解答】
1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（ ），B1（ ），C1（ ）.
（2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1；
（3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积．
2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点 C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x 1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
5．如图所示，在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出点的坐标．
（3）若轴上有一点，使与面积相等，求出点的坐标．
6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，3），△A1B1C1是由△ABC平移得到，点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1）
(1)写出三个顶点的坐标
(2)请画出平移后的△A1B1C1
(3)求△A1B1C1的面积
7．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，边长为2的正方形（点与点重合）和边长为4的正方形的边和都在轴上，且点坐标为．正方形以3个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，记正方形和正方形重叠部分的面积为，假设运动时间为秒，且．
（1）点的坐标为______；
（2）如图2，正方形向右运动的同时，动点在线段上以1个单位长度/秒的速度从到运动．连接，．
①为何值时，所在直线垂直于轴？
②为何值时，？
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC=6．
（1）写出点C的坐标（ ， ）
（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.
（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A对应），求△ABD的面积；
（2）将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.
①若△ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？
②设P（0，y），且-8≤y≤8，请用含y的式子表示△ABP的面积，并求出当y=-8时，△ABP的最大面积.
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，.
（1）写出点的坐标；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由.
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后得到，点P的对应点为．
①直接写出点的坐标 ；
②画出平移后的．
（3）在y轴上是否存在点P，使的面积等于面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点（顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为，
（1）请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
（2）再把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点分别为，请你在图中画出；
（3）在Y轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
13．在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
专题14 坐标系中的面积（和平移有关）
【例题讲解】
在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1），
线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，-1）；20；
（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，
由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2，
由平移知，CD＝AB＝4，
∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE，
S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE，
∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD；
②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），
∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4，
∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12，
∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．
如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，
连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），
∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，
∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝
过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，
∵B（6，4），∴PH＝6
S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，
∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7，
∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝，
∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）．
【综合解答】
1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（ ），B1（ ），C1（ ）.
（2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1；
（3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积．
【答案】（1）A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）；（2）答案见解析；（3）6．
【分析】（1）根据点P、P1的坐标确定出平移规律，再求出A1、B1、C1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用△AOA1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0）的对应点的坐标为A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣2）；
故答案为：A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）；
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）△AOA1的面积=6×3﹣×3×3﹣×3×1﹣×6×2=18﹣﹣﹣6=18﹣12=6．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点 C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．
【答案】（1）点A不是直线l的“伴侣点”；（2）点B是直线l的“伴侣点”，理由详见解析.
【分析】（1）直线l：x=1，求出点A到直线l的距离为2，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.
（2）从点C到点F，找出平移规律，进而求得点D,E的坐标，根据点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，即可求出的值，即可求出点B的坐标，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.
【详解】（1）∵A（﹣1，a），直线l：x=1，
∴点A到直线l的距离为2，2＞1，
∴点A不是直线l的“伴侣点”．
（2）∵→F（1，a+b），
∴横坐标加，纵坐标加b+1，
∴
∵点E落在x轴上，
∴2a+b+1=0，
∵三角形MFD的面积为，
∴
∴
当时，解得，此时点是直线l的“伴侣点”．
当时，此时点B是直线l的“伴侣点”．
【点睛】属于新定义问题，考查点到直线的距离，点的平移，三角形的面积公式等，读懂题目中“伴侣点”的定义是解题的关键.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)C（-2,0），D（4,0）
(2)t=2
(3)值不变，为6
【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,
即，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：
如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴=S△ONB+S△OMB
=
=
=6-3t+3t
=6；
∴为定值6，故其值不会变化．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x 1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
【答案】（1）(0，4)，(2，0)，(1，2)；（2）1，理由见解析；（3）2，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵．
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
∴x＝＝1，y＝＝2，
∴D（1，2）．
故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．
（2）如图1中，
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝，
＝，
＝2．
【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
5．如图所示，在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出点的坐标．
（3）若轴上有一点，使与面积相等，求出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2），，；（3）P点的坐标为或．
【分析】（1）分别确定平移后的对应点 再顺次连接即可得到答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写出坐标即可；
（3）先求解再设，根据 可得的上的高为：，再利用三角形的面积公式列方程，解方程可得答案.
【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形，
（2）由图可得：，，
（3）
设，而
的上的高为：，
或
或
的坐标为或．
【点睛】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，坐标系内三角形的面积，熟练掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键.
6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，3），△A1B1C1是由△ABC平移得到，点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1）
(1)写出三个顶点的坐标
(2)请画出平移后的△A1B1C1
(3)求△A1B1C1的面积
【答案】(1)A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）
(2)见解析
(3)14
【分析】（1）由题意知，将三个顶点分别向右平移2个单位，向下平移1个单位得到其对应点， 即可得出答案；
（2）将（1）中三个点的坐标描出，再首尾顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
(1)
∵点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1），
∴可以由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，则A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）；
(2)
分别描出A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）三个点，顺次连接这三个点，则得到平移后的△A1B1C1，如图所示：
(3)
＝36−4−6−12
＝14．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是确定平移变换．
7．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，边长为2的正方形（点与点重合）和边长为4的正方形的边和都在轴上，且点坐标为．正方形以3个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，记正方形和正方形重叠部分的面积为，假设运动时间为秒，且．
（1）点的坐标为______；
（2）如图2，正方形向右运动的同时，动点在线段上以1个单位长度/秒的速度从到运动．连接，．
①为何值时，所在直线垂直于轴？
②为何值时，？
【答案】（1）；（2）①，②或
【分析】（1）根据直角坐标系的特点和正方形的性质求解即可；
（2）①根据所在直线垂直于轴．得出方程求解即可；
②分两种情况，当时和当时，利用面积公式解答即可.
【详解】解：（1）由正方形EFGH的边长为4，H（7，0），可以得到F的坐标为（3，4）；
（2）①要使所在直线垂直于轴．只需要，则，解得．
∴当时，所在直线垂直于轴．
②由题意，知，．
当时，．
∴当时，点与点重合；时，点与点重合；
时，点与点重合；当时，点与点重合，；
当时，点与点重合，．
分以下两种情况讨论：
情况一：当时，如图3，，，，
∵，∴，即．
解得；
情况二：当时，如图4，，，，
∵，∴，
即，解得．
图4
情况三：当时，，
∴
．
不合题意，舍去．
综上所述，当或时，．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质与面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC=6．
（1）写出点C的坐标（ ， ）
（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）-2，0；（2）存在，（0，6）或（0，-6）；（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM，证明见解析
【分析】（1）根据坐标轴上，两点间的距离的计算方法，即可得出结论；
（2）先求出△ABC的面积，进而求出△BOP的面积，最后用三角形的面积公式，建立方程，求解，即可得出结论；
（3）先判断出BH∥x轴，再分两种情况，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，即得出结论．
【详解】解：（1），，
，
故答案为：-2，0；
（2）如图1，，，
，
，
，
设，
，
，
，
或；
（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM．
证明：由平移知，H（-2，3），
∵B（2，3），
∴BH∥x轴，
①当点M在线段CH上时，如图2，
过点M作MG∥x轴，
∴∠AMG=∠MAC，
∵BH∥x轴，MG∥x轴，
∴BH∥MG，
∴∠BMG=∠HBM，
∴∠BMA=∠AMG+∠BMG=∠MAC+∠MBH；
②当点M在CH的延长线上时，如图3，
记AM与BH的交点为N，
∵BH∥x轴，
∴∠MNH=∠MAC，
∵∠MNH是△BMN的外角，
∴∠MNH=∠BMA+∠HBM，
∴∠MAC=∠BMA+∠HBM，
即∠BMA=∠MAC+∠MAC或∠MAC=∠BMA+∠HBM．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，三角形的外角的性质，作出辅助线是解本题的关键．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.
（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A对应），求△ABD的面积；
（2）将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.
①若△ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？
②设P（0，y），且-8≤y≤8，请用含y的式子表示△ABP的面积，并求出当y=-8时，△ABP的最大面积.
【答案】（1）面积为4；（2）①向左平移4个单位，向上平移3个或9个单位得到；②S=6-y，当y=-8时，S最大=14.
【分析】（1）根据平移的规律，画出图形，用割补法依据S△ABD=S△ABO+S△AOD-S△OBD
求三角形的面积即可.
（2）①根据平移的规律，画出图形，设点Q的坐标为（-2，y），分两种情况讨论：用y表示出S△ABQ=9-y.或S△ABQ=y-9.即可求出y，再根据Q与C对应即可找到平移规律.
②分P点在y轴的正半轴和负半轴，根据三角形面积求法，即可用含y的式子表示△ABP的面积，然后把y代入即可求出.
【详解】解：（1）如图1：∵A（2，3），B（4，0）.将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度.
∴C（-2，5），D（0，2）.
连接OA，∴OD=2，OB=4.
S△ABD=S△ABO+S△AOD-S△OBD
S△ABD==4.
（2）①将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.则线段AB向左平移4个单位，设Q点坐标为（-2，y）,∵△ABQ的面积为3，故点P在Q的上方，
Ⅰ.如图2（1）：
作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.
S△ABQ=S△ABH+S△AQH-S△QHB
S△ABQ==9-y
若△ABQ的面积为3，则9-y=3，
解得：y=6，
即Q为（-2，6），
∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（-2，6）与A点（2，3）对应.
故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度至线段PQ（B与P对应），
Ⅱ..如图2（2）：
作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.
S△ABQ=S△ABH+S△AQH-S△QHB
∴S△ABD==y-9,
依题意得：y-9=3，∴y=12，
∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（-2，12）与A点（2，3）对应.
故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移9个单位长度至线段PQ（B与P对应），
故若△ABQ的面积为3，将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个（或9个）单位长度至线段PQ（B与P对应）.
②Ⅰ.当P在y的正半轴，如图：设P点坐标为（0，y），
连接OA，∴OP=，OB=4.
S△ABP=S△ABO+S△APO-S△OBP
S△ABD==6-y.
Ⅱ当P在y轴的负半轴上时，如图4：
，
∵y＜0.
∴S△ABP=S△ABO+S△APO-S△OBP
S△ABD==6-y.
∴S△ABD=6-y，
当y=-8时，S△ABD=14.
【点睛】本题考查了三角形综合题型，涉及到了点的平移变换、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，.
（1）写出点的坐标；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）；（2）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，；（3）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，，见解析.
【分析】（1）过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，根据平移的性质可得OA=BC，OF=BE，进而得到C点坐标；
（2）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，与的高都是一样的，所以只要底边符合条件即可；
（3）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，过点作，利用平行线的性质进行证明即可.
【详解】解：（1）如图1，过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，
∵，，
∴，，
∴；
（2）设，
①若点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∴
②若点在线段延长线上，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2、3，过点作，
由平移的性质知，
∴，
∴，（两直线平行，内错角相等），
①若点在线段上，（图2）
，
即；
②若点在线段延长线上，（图3）
，
即
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积公式，平行线的性质，属于综合题，解此题的关键在于作适当的辅助线，分情况进行讨论．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后得到，点P的对应点为．
①直接写出点的坐标 ；
②画出平移后的．
（3）在y轴上是否存在点P，使的面积等于面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）存在，或．
【分析】（1）根据A、C的坐标分别为、先确定原点O，即可画图；
（2）①根据的对应点确定平移方向和距离，即可求解；
②根据平移的方向和距离确定A、B、C的对应点，然后连线即可；
（3）再网格图中利用割补法先求得的面积，然后根据题意即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）①∵，
∴先向右平移6格，再向下平移2格，得到
∵
∴，
故答案是：(4，-1)；
②如图所示；
（3）
∴
∴
当点P在O点上方时：；
当点P在O点下方时：．
【点睛】此题主要考查平移的性质，正确理解平移中，点的坐标变化特点是解题关键．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点（顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为，
（1）请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
（2）再把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点分别为，请你在图中画出；
（3）在Y轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（0，8）或（0，-2）
【分析】（1）依据点A，C坐标分别为（-4，5），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到△A′B′C′；
（3）y轴上存在点P，依据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程即可得到点P的纵坐标的值．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（3）△ABC的面积为4×4-×2×4-×2×1-×4×3=5，
y轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，
设P（0，y），则CP=|y-3|，
×|y-3|×1=×5，
解得y=8或-2，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-2）．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【例题讲解】
在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1），
线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，-1）；20；
（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，
由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2，
由平移知，CD＝AB＝4，
∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE，
S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE，
∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD；
②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），
∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4，
∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12，
∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．
如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，
连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），
∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，
∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝
过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，
∵B（6，4），∴PH＝6
S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，
∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7，
∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝，
∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）．
【综合解答】
1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（ ），B1（ ），C1（ ）.
（2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1；
（3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积．
2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点 C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x 1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
5．如图所示，在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出点的坐标．
（3）若轴上有一点，使与面积相等，求出点的坐标．
6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，3），△A1B1C1是由△ABC平移得到，点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1）
(1)写出三个顶点的坐标
(2)请画出平移后的△A1B1C1
(3)求△A1B1C1的面积
7．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，边长为2的正方形（点与点重合）和边长为4的正方形的边和都在轴上，且点坐标为．正方形以3个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，记正方形和正方形重叠部分的面积为，假设运动时间为秒，且．
（1）点的坐标为______；
（2）如图2，正方形向右运动的同时，动点在线段上以1个单位长度/秒的速度从到运动．连接，．
①为何值时，所在直线垂直于轴？
②为何值时，？
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC=6．
（1）写出点C的坐标（ ， ）
（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.
（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A对应），求△ABD的面积；
（2）将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.
①若△ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？
②设P（0，y），且-8≤y≤8，请用含y的式子表示△ABP的面积，并求出当y=-8时，△ABP的最大面积.
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，.
（1）写出点的坐标；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由.
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后得到，点P的对应点为．
①直接写出点的坐标 ；
②画出平移后的．
（3）在y轴上是否存在点P，使的面积等于面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点（顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为，
（1）请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
（2）再把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点分别为，请你在图中画出；
（3）在Y轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
13．在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
专题14 坐标系中的面积（和平移有关）
【例题讲解】
在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1），
线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，-1）；20；
（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，
由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2，
由平移知，CD＝AB＝4，
∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE，
S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE，
∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD；
②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），
∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4，
∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12，
∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．
如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，
连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），
∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10，
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，
∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝
过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，
∵B（6，4），∴PH＝6
S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，
∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7，
∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝，
∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）．
【综合解答】
1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（ ），B1（ ），C1（ ）.
（2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1；
（3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积．
【答案】（1）A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）；（2）答案见解析；（3）6．
【分析】（1）根据点P、P1的坐标确定出平移规律，再求出A1、B1、C1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用△AOA1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0）的对应点的坐标为A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣2）；
故答案为：A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）；
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）△AOA1的面积=6×3﹣×3×3﹣×3×1﹣×6×2=18﹣﹣﹣6=18﹣12=6．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点 C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．
【答案】（1）点A不是直线l的“伴侣点”；（2）点B是直线l的“伴侣点”，理由详见解析.
【分析】（1）直线l：x=1，求出点A到直线l的距离为2，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.
（2）从点C到点F，找出平移规律，进而求得点D,E的坐标，根据点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，即可求出的值，即可求出点B的坐标，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.
【详解】（1）∵A（﹣1，a），直线l：x=1，
∴点A到直线l的距离为2，2＞1，
∴点A不是直线l的“伴侣点”．
（2）∵→F（1，a+b），
∴横坐标加，纵坐标加b+1，
∴
∵点E落在x轴上，
∴2a+b+1=0，
∵三角形MFD的面积为，
∴
∴
当时，解得，此时点是直线l的“伴侣点”．
当时，此时点B是直线l的“伴侣点”．
【点睛】属于新定义问题，考查点到直线的距离，点的平移，三角形的面积公式等，读懂题目中“伴侣点”的定义是解题的关键.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)C（-2,0），D（4,0）
(2)t=2
(3)值不变，为6
【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,
即，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：
如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴=S△ONB+S△OMB
=
=
=6-3t+3t
=6；
∴为定值6，故其值不会变化．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x 1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
【答案】（1）(0，4)，(2，0)，(1，2)；（2）1，理由见解析；（3）2，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵．
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
∴x＝＝1，y＝＝2，
∴D（1，2）．
故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．
（2）如图1中，
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝，
＝，
＝2．
【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
5．如图所示，在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出点的坐标．
（3）若轴上有一点，使与面积相等，求出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2），，；（3）P点的坐标为或．
【分析】（1）分别确定平移后的对应点 再顺次连接即可得到答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写出坐标即可；
（3）先求解再设，根据 可得的上的高为：，再利用三角形的面积公式列方程，解方程可得答案.
【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形，
（2）由图可得：，，
（3）
设，而
的上的高为：，
或
或
的坐标为或．
【点睛】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，坐标系内三角形的面积，熟练掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键.
6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，3），△A1B1C1是由△ABC平移得到，点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1）
(1)写出三个顶点的坐标
(2)请画出平移后的△A1B1C1
(3)求△A1B1C1的面积
【答案】(1)A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）
(2)见解析
(3)14
【分析】（1）由题意知，将三个顶点分别向右平移2个单位，向下平移1个单位得到其对应点， 即可得出答案；
（2）将（1）中三个点的坐标描出，再首尾顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
(1)
∵点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1），
∴可以由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，则A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）；
(2)
分别描出A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）三个点，顺次连接这三个点，则得到平移后的△A1B1C1，如图所示：
(3)
＝36−4−6−12
＝14．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是确定平移变换．
7．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，边长为2的正方形（点与点重合）和边长为4的正方形的边和都在轴上，且点坐标为．正方形以3个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，记正方形和正方形重叠部分的面积为，假设运动时间为秒，且．
（1）点的坐标为______；
（2）如图2，正方形向右运动的同时，动点在线段上以1个单位长度/秒的速度从到运动．连接，．
①为何值时，所在直线垂直于轴？
②为何值时，？
【答案】（1）；（2）①，②或
【分析】（1）根据直角坐标系的特点和正方形的性质求解即可；
（2）①根据所在直线垂直于轴．得出方程求解即可；
②分两种情况，当时和当时，利用面积公式解答即可.
【详解】解：（1）由正方形EFGH的边长为4，H（7，0），可以得到F的坐标为（3，4）；
（2）①要使所在直线垂直于轴．只需要，则，解得．
∴当时，所在直线垂直于轴．
②由题意，知，．
当时，．
∴当时，点与点重合；时，点与点重合；
时，点与点重合；当时，点与点重合，；
当时，点与点重合，．
分以下两种情况讨论：
情况一：当时，如图3，，，，
∵，∴，即．
解得；
情况二：当时，如图4，，，，
∵，∴，
即，解得．
图4
情况三：当时，，
∴
．
不合题意，舍去．
综上所述，当或时，．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质与面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC=6．
（1）写出点C的坐标（ ， ）
（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）-2，0；（2）存在，（0，6）或（0，-6）；（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM，证明见解析
【分析】（1）根据坐标轴上，两点间的距离的计算方法，即可得出结论；
（2）先求出△ABC的面积，进而求出△BOP的面积，最后用三角形的面积公式，建立方程，求解，即可得出结论；
（3）先判断出BH∥x轴，再分两种情况，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，即得出结论．
【详解】解：（1），，
，
故答案为：-2，0；
（2）如图1，，，
，
，
，
设，
，
，
，
或；
（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM．
证明：由平移知，H（-2，3），
∵B（2，3），
∴BH∥x轴，
①当点M在线段CH上时，如图2，
过点M作MG∥x轴，
∴∠AMG=∠MAC，
∵BH∥x轴，MG∥x轴，
∴BH∥MG，
∴∠BMG=∠HBM，
∴∠BMA=∠AMG+∠BMG=∠MAC+∠MBH；
②当点M在CH的延长线上时，如图3，
记AM与BH的交点为N，
∵BH∥x轴，
∴∠MNH=∠MAC，
∵∠MNH是△BMN的外角，
∴∠MNH=∠BMA+∠HBM，
∴∠MAC=∠BMA+∠HBM，
即∠BMA=∠MAC+∠MAC或∠MAC=∠BMA+∠HBM．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，三角形的外角的性质，作出辅助线是解本题的关键．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.
（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A对应），求△ABD的面积；
（2）将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.
①若△ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？
②设P（0，y），且-8≤y≤8，请用含y的式子表示△ABP的面积，并求出当y=-8时，△ABP的最大面积.
【答案】（1）面积为4；（2）①向左平移4个单位，向上平移3个或9个单位得到；②S=6-y，当y=-8时，S最大=14.
【分析】（1）根据平移的规律，画出图形，用割补法依据S△ABD=S△ABO+S△AOD-S△OBD
求三角形的面积即可.
（2）①根据平移的规律，画出图形，设点Q的坐标为（-2，y），分两种情况讨论：用y表示出S△ABQ=9-y.或S△ABQ=y-9.即可求出y，再根据Q与C对应即可找到平移规律.
②分P点在y轴的正半轴和负半轴，根据三角形面积求法，即可用含y的式子表示△ABP的面积，然后把y代入即可求出.
【详解】解：（1）如图1：∵A（2，3），B（4，0）.将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度.
∴C（-2，5），D（0，2）.
连接OA，∴OD=2，OB=4.
S△ABD=S△ABO+S△AOD-S△OBD
S△ABD==4.
（2）①将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.则线段AB向左平移4个单位，设Q点坐标为（-2，y）,∵△ABQ的面积为3，故点P在Q的上方，
Ⅰ.如图2（1）：
作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.
S△ABQ=S△ABH+S△AQH-S△QHB
S△ABQ==9-y
若△ABQ的面积为3，则9-y=3，
解得：y=6，
即Q为（-2，6），
∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（-2，6）与A点（2，3）对应.
故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度至线段PQ（B与P对应），
Ⅱ..如图2（2）：
作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.
S△ABQ=S△ABH+S△AQH-S△QHB
∴S△ABD==y-9,
依题意得：y-9=3，∴y=12，
∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（-2，12）与A点（2，3）对应.
故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移9个单位长度至线段PQ（B与P对应），
故若△ABQ的面积为3，将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个（或9个）单位长度至线段PQ（B与P对应）.
②Ⅰ.当P在y的正半轴，如图：设P点坐标为（0，y），
连接OA，∴OP=，OB=4.
S△ABP=S△ABO+S△APO-S△OBP
S△ABD==6-y.
Ⅱ当P在y轴的负半轴上时，如图4：
，
∵y＜0.
∴S△ABP=S△ABO+S△APO-S△OBP
S△ABD==6-y.
∴S△ABD=6-y，
当y=-8时，S△ABD=14.
【点睛】本题考查了三角形综合题型，涉及到了点的平移变换、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，.
（1）写出点的坐标；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）；（2）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，；（3）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，，见解析.
【分析】（1）过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，根据平移的性质可得OA=BC，OF=BE，进而得到C点坐标；
（2）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，与的高都是一样的，所以只要底边符合条件即可；
（3）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，过点作，利用平行线的性质进行证明即可.
【详解】解：（1）如图1，过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，
∵，，
∴，，
∴；
（2）设，
①若点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∴
②若点在线段延长线上，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2、3，过点作，
由平移的性质知，
∴，
∴，（两直线平行，内错角相等），
①若点在线段上，（图2）
，
即；
②若点在线段延长线上，（图3）
，
即
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积公式，平行线的性质，属于综合题，解此题的关键在于作适当的辅助线，分情况进行讨论．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后得到，点P的对应点为．
①直接写出点的坐标 ；
②画出平移后的．
（3）在y轴上是否存在点P，使的面积等于面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）存在，或．
【分析】（1）根据A、C的坐标分别为、先确定原点O，即可画图；
（2）①根据的对应点确定平移方向和距离，即可求解；
②根据平移的方向和距离确定A、B、C的对应点，然后连线即可；
（3）再网格图中利用割补法先求得的面积，然后根据题意即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）①∵，
∴先向右平移6格，再向下平移2格，得到
∵
∴，
故答案是：(4，-1)；
②如图所示；
（3）
∴
∴
当点P在O点上方时：；
当点P在O点下方时：．
【点睛】此题主要考查平移的性质，正确理解平移中，点的坐标变化特点是解题关键．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点（顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为，
（1）请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
（2）再把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点的对应点分别为，请你在图中画出；
（3）在Y轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（0，8）或（0，-2）
【分析】（1）依据点A，C坐标分别为（-4，5），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到△A′B′C′；
（3）y轴上存在点P，依据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程即可得到点P的纵坐标的值．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（3）△ABC的面积为4×4-×2×4-×2×1-×4×3=5，
y轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，
设P（0，y），则CP=|y-3|，
×|y-3|×1=×5，
解得y=8或-2，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-2）．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
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