初中第六章 实数6.3 实数练习题

这是一份初中第六章 实数6.3 实数练习题，共16页。试卷主要包含了实数运算实际应用等内容，欢迎下载使用。
类型一 程序设计与实数运算
1．根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是______．
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入为64时，则输出的值是______．
3．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是______．
4．有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
类型二 新定义下的实数运算
5．现规定一种运算：ab＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则____．
6．（1）用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a,b,都有.例如,,那么15*27＝__；（2）定义一种运算*,其规则为:当a≥b时,a*b＝b3;当a＜b时,a*b＝b2.根据这个规则,方程3*x＝27的解是__.
7．我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数．
例如：，；，．
(1)计算：________；________；
(2)若，满足题意的所有整数的和为________；
(3)若，，求的平方根．
8．对于任意一个实数，我们用表示小于的最大整数．
例如：，；．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，都是整数，且，；求的平方根；
（3）如果，求的取值范围．
类型三 实数运算实际应用
9．已知，其中是整数，，求的值．
10．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
11．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．
因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数的各种展开的情况；
(2)猜想与|a|的大小关系．
12．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
(3)拓展：已知，若，则z= ．
类型四 与实数运算有关的规律探究
13．有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1）计算：
（2）若口请推算“口”内的运算符号.
（3）在“□□□”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这个最小的数.
14．观察下列各式：，
，，…
（1）猜想① ．
② ，其中n为正整数．
（2）计算：．
15．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)；
写出该步的正确结果．
16．观察下列两组算式，解答问题：
第一组：＝2，＝2，、，＝0
第二组：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0
（1）由第一组可得结论：对于任意实数a，＝_____．
（2）由第二组可得结论：当a≥0时，＝_____．
（3）利用（1）和（2）的结论计算：＝_____，＝_____．
专题10 实数运算四个类型
类型一 程序设计与实数运算
1．根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据程序框图的基本步骤并结合实数的运算法则逐步分析计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵不是无理数，
∴将当做输入的x循环进入初始步骤，
∵，
∴，
∵不是无理数，
∴将当做输入的x循环进入初始步骤，
∵，
∴，
∴输出结果为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数运算下的程序框图计算，理解程序框图的求解步骤，掌握实数运算的基本法则是解题关键．
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入为64时，则输出的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】
解：当时，是有理数，
当时，是无理数，输出，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根、无理数，熟练掌握算术平方根是解题关键．
3．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据实数的性质及算术平方根的定义即可求解．
【详解】
输入64时，取算术平方根为=8，为有理数；
再去算术平方根为=，为无理数，故输出
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查程序的计算，解题的关键是熟知实数的性质及算术平方根的定义．
4．有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【解析】
【分析】
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为的两个数即可．
【详解】
解：（1）当x=81时，
=9，=3，是无理数，
故y=；
（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故输入的值不唯一，例如5和25．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
类型二 新定义下的实数运算
5．现规定一种运算：ab＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
把和化简后，再根据ab＝ab＋a-b计算即可．
【详解】
解：∵ab＝ab＋a-b，
∴
=4×(-2)+4-(-2)
=-8+4+2
=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了新定义运算，算术平方根和立方根的意义，根据新定义把所给算式转化为实数的混合运算是解答本题的关键．
6．（1）用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a,b,都有.例如,,那么15*27＝__；（2）定义一种运算*,其规则为:当a≥b时,a*b＝b3;当a＜b时,a*b＝b2.根据这个规则,方程3*x＝27的解是__.
【答案】 4； 3或3.
【解析】
【分析】
（1）认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
（2）因为运算*的运算规则是：当a≥b时，a*b＝b3；当a＜b时，a*b＝b2．所以可以按3与x的大小分类讨论，求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题意得；
（2）因为当a≥b时,a*b＝b3;
当a＜b时,a*b＝b2.
所以当x≤3时,3*x＝x3,方程3*x＝27可变形为x3＝27,解得x＝3,满足x≤3.
当x＞3时,3*x＝x2,方程3*x＝27可变形为x2＝27,
解得x＝=3 ,满足x＞3,
所以方程3*x＝27的解是3或3.
故答案为（1）4；（2）3或3．
【点睛】
本题考查立方根的知识，解题的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
7．我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数．
例如：，；，．
(1)计算：________；________；
(2)若，满足题意的所有整数的和为________；
(3)若，，求的平方根．
【答案】(1)3；4
(2)6
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据再结合新定义即可求值；
（2）根据新定义求得，即可求出满足题意的所有整数；
（3）先通过估算求出m、n的值，再代入计算即可．
(1)
∵
∴，
(2)
由题意得，且为整数，
∴，且为整数，
∴或或，
∴满足题意的所有整数的和为6．
(3)
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴的平方根为．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数并进行是解题的关键．
8．对于任意一个实数，我们用表示小于的最大整数．
例如：，；．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，都是整数，且，；求的平方根；
（3）如果，求的取值范围．
【答案】（1）-2022，3，2；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
(1)根据新定义运算法则计算即可;
(2)根据新定义运算法则,构造方程组计算即可;
(3)根据新定义法则,构造不等式组求解即可．
【详解】
（1）根据定义，得－2022，3，
∵，∴3-1=2；
故答案为：-2022，3，2；
（2）由题意得，
解得；
．
（3）由题意得，解得．
【点睛】
本题考查了新定义运算问题，方程组，不等式组，平方根，熟练运用新定义运算，把问题准确转化为方程组，不等式组问题求解是解题的关键．
类型三 实数运算实际应用
9．已知，其中是整数，，求的值．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差.
试题解析：解：，
，
=．
10．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【解析】
【分析】
根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】
解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
11．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．
因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数的各种展开的情况；
(2)猜想与|a|的大小关系．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用利用分类讨论得出即可；
（2）利用化简结果得出即可；
【详解】
解：(1)当a＞0时，如a＝8，则，故此时等于它本身；
当a＝0时，＝0，故此时等于零；
当a＜0时，如a＝－8，则，故此时等于它的相反数，即.
因此综合起来的结果要分三种情况，
即＝
(2).
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式利用分类讨论得出是解题关键．
12．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
(3)拓展：已知，若，则z= ．
【答案】(1) 0.1，10；(2) 31.62，32400；(3) 0.012．
【解析】
【分析】
根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【详解】
（1）x=0.1，y=10，故答案为0.1，10；
（2）①=31.62，a=32400，故答案为31.62，32400；
（4）z=0.012，故答案为0.012．
类型四 与实数运算有关的规律探究
13．有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1）计算：
（2）若口请推算“口”内的运算符号.
（3）在“□□□”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这个最小的数.
【答案】(1) (2) “-” (3)
【解析】
【分析】
(1)先进行开方运算，再加减依次计算.
(2)先计算出“口”前面算式的结果，再根据结果与9和12的数量关系选择符号.
(3)因为只有，所以得数经过运算之后要想最小，则一定要是负数，要使负数最小，使其绝对值越大即可，都用乘法可以得到.
【详解】
(1)
(2)，，所以为“-”号.
(3)□□□=□□□
则×（）××=
即最小值为.
故答案为(1) (2) “-” (3)
【点睛】
本题考查了实数的运算，解题关键在于找准数字与数字之间的关系，灵活运用运算符号建立联系.
14．观察下列各式：，
，，…
（1）猜想① ．
② ，其中n为正整数．
（2）计算：．
【答案】（1）猜想①20182+3×2018+1；②n2+3n+1；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知式子得出结果即可；
（2）对每个式子进行计算即可；
【详解】
（1）猜想①0182+3×2018+1；
②n2+3n+1；
（2）计算：
【点睛】
本题主要考查了证明与猜想，准确分析计算是解题的关键．
15．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)；
写出该步的正确结果．
【答案】（1）②；（2）
【解析】
【分析】
（1）②中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可知这一步错误；
（2）根据二次根式的性质求解可得．
【详解】
（1）②；
（2）．
【点睛】
本题主要考查二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握二次根式的非负性和二次根式的性质与运算法则．
16．观察下列两组算式，解答问题：
第一组：＝2，＝2，、，＝0
第二组：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0
（1）由第一组可得结论：对于任意实数a，＝_____．
（2）由第二组可得结论：当a≥0时，＝_____．
（3）利用（1）和（2）的结论计算：＝_____，＝_____．
【答案】（1）|a|；（2）a；（3）0.135；
【解析】
【分析】
（1）根据第一组的规律即可求出答案．
（2）根据第二组的规律即可求出答案．
（3）利用已知的规律计算即可得出答案．
【详解】
解：（1）由第一组的规律可知：a是非负数时，＝a, a是负数时，＝-a,
∴a是全体实数，＝|a|；
（2）由第二组的规律可知：a≥0时，（）2＝a；
（3）根据（1）（2）的结论可知：＝0.135，（﹣）2＝；
【点睛】
本题为规律类试题，找到规律是解题的关键．