2023-2024学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y是x的一次函数的是( )
A. y=x2B. y=−x2+3
C. y=1xD. y=2(1−x)+2x
2.估计 6+1的值在( )
A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间
3.下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A. 1，2，2B. 32，42，52C. 5，12，13D. 6，6，6
4.已知一次函数y=ax+b，ab>0，且y随x的增大而增大，则此图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此时函数图象向上平移2个单位长度的表达式是( )
A. y=−3x−5B. y=3x−3C. y=3x+1D. y=3x−1
6.一次函数y=(3a−7)x+a−2的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大则减小，则a的取值范围是( )
A. a>2B. a>73C. 27.如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD=2CD，且∠ADC=45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′=10，则BC的长为( )
A. 2 5B. 3 5C. 6 5D. 9 5
8.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=12x+12相交于点P(−1,0).直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…则当动点C到达An处时，则An−1Bn+AnBn为( )
A. n2B. 2nC. 2n−1D. 2n+1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9. 81的算术平方根是______．
10.已知点M(a−4,5+a)在y轴上，点N(3b−1,8+b)在x轴上，则a−b的值为______．
11.点P1(a−3,y1)，P2(a,y2)在一次函数y=2x−3的图象上，则y1______y2.(填“>”，“<”或“=”)
12.已知点P(1,2)在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向左平移2个单位，所得直线的表达式为______．
13.如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A(6,0)，B(6,6)，点D在边AB上，AD=5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为______．
三、解答题：本题共12小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：
(1)| 2−2|−(−12)−2+ 18；
(2)|2− 3|+(12)−1−( 5+1)( 5−1)．
15.(本小题8分)
计算：
(1)( 7− 3)( 7+ 3)−( 6+ 2)2；
(2)2 18+ 32−16 18．
16.(本小题5分)
先化简，再求值：a(1−a)+(a+ 3)(a− 3)，其中a= 2+1．
17.(本小题6分)
有一块四边形的土地，量得各边的长分别为：AB=130米，BC=120米，CD=40米，AD=30米，∠ADC=90°.求这块土地是面积是多少平方米？
18.(本小题5分)
已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x−2成正比例，当x=1时，y=0；当x=−3时，y=4．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当x=3时，求y的值．
19.(本小题5分)
已知实数x，y满足等式y= x−5+ 5−x+3，求3x+4y的立方根．
20.(本小题6分)
如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在D′处．
(1)求证：AF+D′F=CD；
(2)求△AFC的面积是多少？
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x−4的图象，并完成下列问题：
(1)函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______．
(2)观察图象，当x>2时，y的取值范围是______．
(3)将直线y=2x−4平移后经过点(−3,1)，求平移后的直线的函数表达式．
22.(本小题6分)
已知，一次函数y=12x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为(−2,0)．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)过点C作直线CD，与AB交于点D，且S△AOB=2S△ACD，求点D的坐标．
23.(本小题8分)
某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元.该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,0)，其中a，b满足 a+1+(b−3)2=0．
(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)如果在第三象限内有一点M(−2,m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；
(3)在(2)的条件下，当m=−32时，此时线段BM与y轴交于点C(0,−910)，问在y上是否存在点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
25.(本小题10分)
如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,4)，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
(1)求k、b的值；
(2)若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
(3)将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、y=x2是一次函数，故此选项符合题意；
B、y=−x2+3是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=1x不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y=2(1−x)+2x=2−2x+2x=2不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
一般地，形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数y=kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2.【答案】B
【解析】解：因为2< 6<3，
所以3< 6+1<4，
故选：B．
首先确定 6在整数2和3之间，然后可得 6+1的值在3到4之间．
此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3.【答案】C
【解析】解：A、12=1，22=4，22=4，1+4≠4，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；
B、(32)2=81，(42)2=256，(52)2=625，81+256≠625，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；
C、由52=25，122=144，132=169得25+144=169，根据勾股数的定义，这组数是勾股数，符合题意；
D、62=36，62=36，62=36，36+36≠36，根据勾股数的定义，该选项不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
根据勾股数的定义：两数的平方和等于一个数的平方，逐项验证即可得到答案．
本题考查勾股数定义，根据定义逐项验证是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=ax+b，ab>0，且y随x的增大而增大，
∴a、b同号且a>0，
∴a>0，b>0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
根据一次函数y=ax+b，ab>0，且y随x的增大而增大，可以得到a、b的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是判断出a、b的正负情况，利用一次函数的性质解答．
5.【答案】D
【解析】解；由题意可知一次函数y=kx+b的图象也经过点(3,6)，
可得2k+b=33k+b=6，
解得k=3b=−3
此函数表达式是y=3x−3，
函数y=3x−3的图象向上平移2个单位长度的表达式为y=3x−1，
故选：D．
分析：
根据题意得出一次函数y=kx+b的图象也经过点(3,6)，根据待定系数法求得解析式，进而根据平移的规律即可求得平移后的函数解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵关于x一次函数y=(3a−7)x+a−2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随着x的增大而减少，
∴a−2>03a−7<0，
解得2故选：C．
根据已知函数的增减性判定3a−7<0，由该函数图象与y轴交点的位置可得a−2>0．
考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx−b(k≠0)：函数值y随x的增大而减小⇔k<0；函数值y随x的增大而增大⇔k>0；
一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b>0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b<0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．
7.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，
∴∠ADC′=∠ADC=45°，CD=C′D，
∴∠CDC′=∠C′DB=90°，
∵BD=2CD，
∴BD=2C′D，
设CD=C′D=x，则BD=2x，BC=3x，
在Rt△BDC′中，BD2+C′D2=BC′2，
∴(2x)2+x2=102，
解得x=2 5(−2 5已舍去)，
∴BC=6 5，
故选：C．
由折叠，可得∠CDC′=∠C′DB=90°，设CD=C′D=x，则BD=2x，BC=3x，在Rt△BDC′中，根据勾股定理即得(2x)2+x2=102，即可解得BC=6 5．
本题考查三角形中的折叠，掌握折叠的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由直线直线l1：y=x+1可知，A(0,1)，
∵l2：y=12x+12，
∴12x+12=1，解得：x=1，
∴B1(1,1)，AB1=1，
同理可得：A1(1,2)，A1B1=1，
∴AB1+A1B1=2，
同理可得：B2(3,2)，A2(3,4)，A1B2=2=A2B2，
∴A1B2+A2B2=2+2=22，
∴A2B3+A3B3=4+4=23，
…，
∴An−1Bn+AnBn=2n，
故选：B．
由直线l1：y=x+1可知，A(0,1)，则B1纵坐标为1，代入直线l2：y=12x+12中，得B1(1,1)，又A1、B1横坐标相等，可得A1(1,2)，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，分别求AB1+A1B1=2，A1B2+A2B2=22，再总结一般规律即可．
本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律即可．
9.【答案】3
【解析】解：∵ 81=9，
∴ 81的算术平方根是3．
故答案为：3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
10.【答案】12
【解析】解：∵点M(a−4,5+a)在y轴上，点N(3b−1,8+b)在x轴上，
∴a−4=0，8+b=0，
解得：a=4，b=−8，
故a−b=4−(−8)
=12．
故答案为：12．
直接利用坐标轴上点的坐标特点，在y轴上横坐标为0，在x轴上纵坐标为0，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．
11.【答案】<
【解析】解：k=2>0，
故y随x的增大而增大，
∵a−3∴y1故答案为：<．
k=2>0，故y随x的增大而增大，即可求解．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由k值的符号，确定函数的增减性即可求解．
12.【答案】y=−x+1
【解析】解：将P(1,2)代入y=kx+3，得k+3=2，
解得k=−1，
∴y=−x+3，
直线y=−x+3的图象向左平移2个单位，所得直线的表达式为：
y=−(x+2)+3=−x−2+3=−x+1，
故答案为：y=−x+1．
将点代入即可求解．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是按照“左加右减，上加下减”原则求解．
13.【答案】(92,92)
【解析】解：∵A(6,0)，B(6,6)，
∴AB=OA=6，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∵AD=5BD，点C为OA的中点，
∴AD=5，OC=AC=3，
∴C(3,0)，D(6,5)，
作C关于直线OB的对称点E，连接ED交OB于P′，连接CP′，
则此时，四边形P′DAC周长最小，E(0,3)，
∵直线OB的解析式为y=x，
设直线ED的解析式为y=kx+b，
∴b=36k+b=5，
解得k=13b=6，
∴直线ED的解析式为y=13x+3，
解y=xy=13x+3得，x=92y=92，
∴P′(92,92)，
故答案为：(92,92).
根据已知条件得到AB=OA=6，∠AOB=45°，求得AD=5，OC=AC=3，得到C(3,0)，D(6,5)，作C关于直线OB的对称点E，连接ED交OB于P′，连接CP′，则此时四边形P′DAC周长最小，E(0,2)，求得直线ED的解析式为y=13x+2，解方程组即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
14.【答案】解：(1)| 2−2|−(−12)−2+ 18
=2− 2−4+3 2
=2 2−2；
(2)|2− 3|+(12)−1−( 5+1)( 5−1)
=2− 3+2−(5−1)
=4− 3−4
=− 3．
【解析】(1)先化简绝对值，求解负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可；
(2)先化简绝对值，求解负整数指数幂，计算二次根式的乘法，再合并即可．
本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键．
15.【答案】解：(1)( 7− 3)( 7+ 3)−( 6+ 2)2
=( 7)2−( 3)2−(6+2 12+2)
=7−3−8−4 3
=−4−4 3．
(2)2 18+ 32−16 18
=6 2+4 2−16× 24
=10 2−4 2
=6 2．
【解析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，平方差公式和完全平方公式，准确计算．
16.【答案】解：原式=a−a2+a2−3
=a−3，
将a= 2+1代入得：
原式=a−3= 2+1−3= 2−2．
【解析】直接利用乘法公式化简合并同类项得出即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式是解题关键．
17.【答案】解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=302+402=2500，
∵AC>0，
∴AC=50，
在△ABC中，AC2+BC2=2500+14400=16900=AB2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△BAC−S△ADC=12AC⋅BC−12AD⋅DC，
=12×50×120−12×30×40=2400(米 ​2)，
答：这块四边形草坪ABCD的面积是2400米 ​2．
【解析】连接AC.首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠ACB=90°，由题意可知四边形ABCD的面积等于两个直角三角形的面积问题的差．
考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．
18.【答案】解：(1)设y1=k1x，y2=k2(x−2)，则y=k1x+k2(x−2)，依题意，得k1−k2=0−3k1−5k2=4，
解得k1=−12k2=−12，
∴y=−12x−12(x−2)，
∴y是x的一次函数为y=−x+1；
(2)把x=3代入y=−x+1，得y=−2．
∴当x=3时，y的值为−2．
【解析】(1)设y1=ax，y2=k(x−2)，由当x=1时，y=0.当x=3时，y=4可得关于a、k的两个等式联立方程组即可求出a，k，可得出y的表达式与x的函数关系式；
(2)然后把x=3代入(1)的关系式中，求解即可．
本题考查了待定系数法求解析式以及求函数值，熟练掌握正比例函数的性质是关键．
19.【答案】解：∵y= x−5+ 5−x+3要有意义，
∴x−5≥05−x≥0，
∴x=5，
∴y= 5−5+ 5−5+3=3，
∴3x+4y=3×5+4×3=27，
∵27的立方根是3，
∴3x+4y的立方根是3．
【解析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．
本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：由折叠可得，∠D′=∠D=∠B=90°，AD′=AD=BC，
在△AD′F和△CBF中，
∠AFD′=∠CFB∠D′=∠BAD′=CB，
∴△AFD′≌△CFB(AAS)，
∴FD′=FB，
∴AF+FD′=AF+FB=AB=CD，
∴AF+D′F=CD；
(2)解：∵△AFD′≌△CFB，
∴AF=CF，
设BF=x，则AF=CF=8−x，
∵∠B=90°，
∴在Rt△BCF中，BF2+CB2=CF2，
即42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴BF=3；
∴AF=8−3=5，
∵BC=4，CB⊥AF，
∴S△ACF=12AF×BC=12×5×4=10．
【解析】(1)根据翻折的性质证明△AFD′≌△CFB，可得FD′=FB，进而可以解决问题；
(2)设BF=x，则AF=CF=8−x，根据勾股定理求出x的值，进而可以求△AFC的面积．
本题考查的是图形翻折变换的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
21.【答案】4 y>0
【解析】解：(1)令y=0，解得x=2，
∴直线与x轴交点坐标为(2,0)，与y轴交点坐标为(0,−4)，
∴此三角形的面积S=4．
故答案为：4；
(2)画图如下：
由图可知，y的取值范围为y>0．
故答案为：y>0；
(3)设平移后的函数表达式为y=2x+b，将(−3,1)代入，解得b=7．
∴函数解析式为y=2x+7．
(1)分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
(2)根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
(3)设平移后的函数表达式为y=2x+b，把(−3,1)代入求出b的值即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)令y=12x+4=0，得x=−8，
令x=0，得y=4，
∴A(−8,0)，B(0,4)；
(2)∵C(−2,0)，A(−8,0)，B(0,4)，
∴AC=−2−(−8)=6，OA=8，OB=4，
∵点D在直线y=12x+4上，
∴设点D的坐标为(m,12m+4)，
∵S△AOB=2S△ACD，
∴12OA⋅OB=2×12AC⋅|12m+4|，即12×8×4=2×12×6×|12m+4|，
解得m=−83或m=−403，
当m=−83时，12m+4=12×(−83)+4=83，
当m=−403时，12m+4=12×(−403)+4=−83，
∴点D的坐标为(−83,83)或(−403,−83)．
【解析】(1)令y=0可求点A的坐标，令x=0可求点B的坐标；
(2)设点D的坐标为(m,12m+4)，根据S△AOB=2S△ACD可得12OA⋅OB=2×12AC⋅|12m+4|，求出m的值即可．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，掌握一次函数与图形面积问题的解法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，由题意可得：
150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得：m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
(2)购买普通练习本m个，则购买精装练习本(500−m)个，
由题意可得：W=(3−2)m+(10−7)(500−m)=−2m+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴m≥3(500−m)，
解得：m≥375，
即W关于x的函数关系式是；W=−2m+1500(375≤m≤500)；
∵−2<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当m=375时，W取得最大值，此时W=750，500−m=125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【解析】(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程组，求出即可；
(2)购买普通练习本x个，则购买精装练习本(500−m)个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可；根据一次函数的性质和x的取值范，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
24.【答案】−1 3
【解析】解：(1)∵ a+1+(b−3)2=0，
∴a+1=0且b−3=0，
解得：a=−1，b=3，
故答案为：−1，3；
(2)过点M作MN⊥x轴于点N，
∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=1+3=4，
又∵点M(−2,m)在第三象限，
∴MN=|m|=−m，
∴S△ABM=12AB⋅MN=12×4×(−m)=−2m；
(3)当点P在y轴正半轴上时，设BM交y轴于点C，如图，
当m=−32时，M(−2．−32)，
∴S△ABM=−2×(−32)=3，
∵S△BMP=S△PCM+S△PCB=S△ABM=3，
∴12×2×PC+12×3×PC=3，
∴PC=65，
∴C(0,−910)，
∵OP=310，
∴P(0,310)；
当点P在y轴的负半轴时，同理可得P(0,−2110).
∴点P坐标为(0,310)或(0,−2110)．
(1)根据双重非负性可知，a+1=0，b−3=0，求解即可；
(2)过点M作MN⊥x轴于点N，根据三角形面积公式和第三象限坐标的特点分析即可；
(3)根据三角形BMP由三角形CMP和三角形CBP组成分析即可．
本题是三角形综合题，考查了绝对值、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，根据题意建立方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点A(4,0)、B(0,4)在直线y=kx+b上，
∴4k+b=0b=4，
解得：k=−1，b=4；
(2)存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，
则OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°，
∵OB=OA=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=4 2，∠OAB=45°，
∴△PO′A是等腰直角三角形，
由折叠得：O′B=OB=4，
∴AO′=4 2−4，
Rt△PO′A中，O′P=AO′=4 2−4=OP，
∴S△BOP=12OB⋅OP=12×4×(4 2−4)=8 2−8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO′B=∠POB=90°，O′B=OB=4，
∵∠BAO=45°，
∴PO′=PO=AO′=4 2+4，
∴S△BOP=12OB⋅OP=12×4×(4 2+4)=8 2+8；
(3)分4种情况：
①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为(0,0)；
②当BP=PQ时，如图3，
∵∠BPC=45°，
∴∠PQB=∠PBQ=22.5°，
∵∠OAB=45°=∠PBQ+∠APB，
∴∠APB=22.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=4 2，
∴OP=4+4 2，
∴P(4+4 2,0)；
③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC=45°，
∴∠PBA=∠PCB=67.5°，
△PCA中，∠APC=22.5°，
∴∠APB=45°+22.5°=67.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP=4 2，
∴OP=4 2−4，
∴P(4−4 2,0)；
④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P(−4,0)；
综上，点P的坐标是(0,0)或(4+4 2,0)或(4−4 2,0)或(−4,0)．
【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．
(1)用待定系数法直接求出；
(2)分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP=O′P=AO′=4 2−4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
(3)分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，②当BP=PQ时，如图3，③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标．