2023-2024学年山东省德州市宁津县德清中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市宁津县德清中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第19届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，“心心相触，爱达未来”是本次亚运会的主题口号，在下列运动图片中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知△ABC，小慧同学利用尺规工其作出△A1B1C1与其全等，根据作图痕迹请判断小慧同学的全等判定依据( )
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
3.已知平面直角坐标系内的点P1(3,b)和P2(a+2,2)关于x轴对称，则ab=( )
A. 2B. −2C. −1D. 1
4.下列命题中：
①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；
④有一个角是60°的三角形是等边三角形；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
正确命题的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.若实数m、n满足|m−3|+ n−6=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A. 12B. 15C. 12或15D. 16
6.如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，则∠DFE的度数为( )
A. 68°
B. 81°
C. 85°
D. 87°
7.如图，在△ABC中，∠A=90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE=3，则BC长为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.如图，已知BD为△ABC中∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，与BD交于点D.若∠ABD=20°，∠ACD=50°，则∠A+∠D=( )
A. 70°B. 90°C. 80°D. 100°
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠C=80°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF/​/AD，FN/​/DC，则∠B=( )
A. 75°
B. 85°
C. 95°
D. 100°
10.如图，AD是△ABC的中线，若AE=3BE，S△ABC=32，则S△ADE=( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
11.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
12.图1是二环三角形，S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，图2是二环四边形，S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，图3是二环五边形，S=∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S=度．( )
A. 1440B. 1800C. 2880D. 3600
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名.射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______．
14.若点P(−1,3)与点P′(a+1,3)关于y轴对称，则a为______．
15.如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=140°，则图中∠D应______(填“增加”或“减少”) ______度．
16.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积为_____cm2．
17.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．
18.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab.其中正确的结论为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB=AD．
(1)用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，连接PD、求证：PD=PB．
20.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)在y轴上求作点D，使得AD+BD值最小，请你直接写出D点坐标．
21.(本小题10分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=10，BE=2，求AB的长．
22.(本小题12分)
已知a、b、c为△ABC的三边长．
(1)化简|a−b+c|+|a−b−c|；
(2)若△ABC为等腰三角形，且周长为16，已知a=4，求b、c的值．
23.(本小题12分)
如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF/​/BC．
(1)求证：M为EF中点；
(2)若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度数．
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系？并说明理由．
25.(本小题14分)
已知，点D是等边△ABC边AB所在直线AB上一动点(点D与点A、B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCE，连接AE；
操作发现：
(1)如图(1)，当动点D在AB上，你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
(2)如图(2)，在(1)的条件下，作△DCE关于直线CD对称的△DCF，连接BF，探究AE、BF与BC有何数量关系？并证明你探究的结论；
拓展探究：
(3)如图(3)，当动点D在BA的延长线上，其他作法与(2)相同，当AE=5，BF=2时，求BC的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意知，是轴对称图形，
故选：D．
根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：由作图可知，∠A=∠A1，AC=A1C1，AB=A1B1，
在△ABC和△A1B1C1中，
AC=A1C1∠A=∠A1AB=A1B1，
∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)，
故选：B．
根据SAS证明三角形全等即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3.【答案】B
【解析】解：∵点P1(3,b)和P2(a+2,2)关于x轴对称，
∴a+2=3，b=−2，
∴a=1，b=−2，
∴ab=1×(−2)=−2．
故选：B．
根据若两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
本题考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，掌握若两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数是关键．
4.【答案】A
【解析】解：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，是真命题；
②等腰三角形的高、中线、顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，是假命题；
故选：A．
根据等腰三角形的性质和判定判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【解答】
解|m−3|+ n−6=0，
∴m−3=0，n−6=0，
解得m=3，n=6，
当m=3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；
当n=6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6=15．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠CDE=180°−360°5=108°，
∵四边形CDFG是正方形，
∴∠CDF=90°，
∵正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，
∴∠EDF=108°−90°=18°，DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=12(180°−18°)=81°，
故选：B．
先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明DE=DF，可得∠DEF=∠DFE，再利用三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合应用，等腰三角形的性质，熟练的利用正多边形的外角求解正多边形的内角的大小是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠B=∠EAB，
∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠C，
∴EA=EC，
∴EC=EB，
∴BC=BE+CE=2BE=6，
故选：B．
连接AE，根据垂直平分线的性质得出EA=EB，得出∠B=∠EAB，根据直角三角形的两个锐角互余得出∠B+∠C=90°，∠BAE+∠CAE=90°，等量代换得出∠CAE=∠C，进而得出EA=EC，即可求解．
本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，∠ABD=20°，∠ACD=55°，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=20°，∠ACD=∠DCE=12∠ACE=50°，
∴∠ABC=40°，∠ACE=100°，
∴∠A=∠ACE−∠ABC=60°，∠D=∠DCE−∠DBC=50°−20°=30°，
∴∠A+∠D=90°，
故选：B．
根据角平分线定义求出∠DCE、∠ACE、∠DBC，∠ABC，根据三角形外角性质求出∠A、∠D，即可求出答案．
本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵MF/​/AD，FN/​/DC，∠A=110°，∠C=80°，
∴∠BMF=110°，∠FNB=80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=55°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠B=∠F=180°−55°−40°=85°．
故选：B．
首先利用平行线的性质得出∠BMF=110°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=55°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质．能够得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为32，
∴△ABD的面积为：12×32=16，
∵AE=3BE，
∴△ADE的面积为：34×16=12，
故选：C．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【解答】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
12.【答案】C
【解析】解：依题意可知，二环三角形，S=360度；
二环四边形，S=720=360×2=360×(4−2)度；
二环五边形，S=1080=360×3=360×(5−2)度；
…
二环n边形(n≥3的整数)中，S=360(n−2)度．
360×(10−2)=2880°．
故选：C．
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
13.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形的稳定性直接写出答案即可．
本题考查了三角形的稳定性，了解三角形的稳定性是解答本题的关键，难度不大．
14.【答案】0
【解析】解：∵点P(−1,3)与点P′(a+1,3)关于y轴对称，
∴a+1=1，
解得a=0．
故答案为：0．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15.【答案】增加 20
【解析】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB=180°−50°−60°=70°，
∴∠ECD=∠ACB=70°．
∵∠DGF=∠DCE+∠E，
∴∠DGF=70°+30°=100°．
∵∠EFD=140°，∠EFD=∠DGF+∠D，
∴∠D=40°．
而图中∠D=20°，
∴∠D应增加20°．
故答案为：增加；20．
延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD=110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，可得△BEC的面积，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】
解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×4=2，
∵E是AD中点，
同理S△BDE=12S△ABD=S△CDE=12S△ACD=12×2=1，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=2，
∵F为EC中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×2=1．
故答案为1．
17.【答案】108
【解析】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=12×(180°−54°)=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=63°−27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠CAO，
在△AOB和△AOC中，
AB=AC∠BAO=∠CAOAO=AO,
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−36°−36°=108°．
故答案为：108．
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，根据全等三角形的性质可得OB=OC，根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
18.【答案】②③④
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB
=180°−12(∠CBA+∠CAB)
=180°−12(180°−∠C)
=90°+12∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP=OD=1，
∵AB=4，
∴S△ABO=12AB⋅OP=12×4×1=2，故②正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF，
∴△HAO≌△FAO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
∴S△ABC=12AB⋅OM+12AC⋅ON+12BC⋅OD=12(AB+AC+BC)⋅a=ab，故④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO(SAS)，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO(ASA)，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的判定和性质定理等知识，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO(SAS)，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．
19.【答案】(1)解：如图，AP为所作；

(2)证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴PB=PD．
【解析】(1)利用基本作图作∠BAC的角平分线即可；
(2)通过证明△ABP≌△ADP得到PB=PD．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是(3,−2)；

(2)如上图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′与y轴交于点D，则此时AD+BD最小，D点坐标是(0,2)．
【解析】(1)先根据轴对称性质得到对应点A1、B1、C1，再顺次连接可得△A1B1C1，进而可得点C1坐标；
(2)根据轴对称性质，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′与y轴交于点D，则此时AD+BD最小，根据图形可得点D坐标．
本题考查坐标与图形变换−轴对称变换、利用轴对称性质求最短路径，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CD BE=CF ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE=2，
∴CF=BE=2，
∵AC=10，
∴AF=AC−CF=10−2=8，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
AD=AD DE=DF ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF=8，
∴AB=AE−BE=8−2=6．
【解析】(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
(2)根据全等三角形的性质得出AE=AF，由线段的和差关系求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22.【答案】解：(1)由三角形三边关系定理得：a+c>b，b+c>a，
∴|a−b+c|+|a−b−c|
=a−b+c+b+c−a
=2c；
(2)如果△ABC的腰是a，
∵a=4，
∴△ABC的底边长是16−4×2=8，
∵4+4=8，不满足三角形三边关系定理，
∴△ABC的腰不能是a，a只能是底边，
∴b、c是△ABC的腰，
∴b=c=12×(16−4)=6．
【解析】(1)由三角形三边关系定理得：a+c>b，b+c>a，即可化简|a−b+c|+|a−b−c|．
(2)分两种情况，由三角形三边关系定理，即可解决问题．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
23.【答案】解：(1)∵CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，
∴∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF，
∵EF/​/BC，
∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，
∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，
∴EM=MC，MC=MF，
∴EM=MF，
∴M是EF的中点，
(2)∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CF平分∠ACD，
∴∠FCD=12∠ACD=50°
∵EF/​/BC，
∴∠F=∠FCD=50°
【解析】(1)根据角平分线可知∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF，由EF/​/BC可知：∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，由等腰三角形的性质可知，EM=MC=MF，从而得证．
(2)根据∠A与∠B的度数求出∠ACD的度数，利用角平分线的定义可知∠F的度数．
本题考查角平分线的定义，解题的关键是根据角平分线的定义求出∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF，本题涉及等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，本题属于基础题型．
24.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵BE⊥MN，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ACD=∠CBE∠ADC=∠CEB=90°AC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(3)DE=AD−BE，
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠DAC=∠ECB∠ADC=∠CEB=90°AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE−CD=AD−BE．
【解析】(1)根据同角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，由“AAS”可证△ADC≌△CEB；
(2)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得AD=CE，CD=BE，可得结论．
本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的应用．
25.【答案】解：(1)AE=BD；
理由如下：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD；
(2)BC=AE+BF，
理由如下：由(1)知△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠CAE=60°，BD=AE，
∴∠CDE=∠CAE=60°，
∵∠AHE=∠ADE，
∴∠CDE+∠ACD=∠CAE+∠AED，
∴∠ACD=∠AED，
∵作△DCE关于直线CD对称的△DCF，
∴△DCE≌△DCF，
∵∠BDC为△ACD的一个外角，
∴∠BCD=∠ACD+∠BAC=60°+∠ACD，
∵∠BCD=∠BDF+∠FDC=∠BDF+60°，
∴∠BDF=∠ACD=∠AED，
在△AED与△BDF中，
AE=DB∠AED=∠BDFDE=FD，
∴△AED≌△BDF(SAS)，
∴AD=BF，
∴AE+BF=BD+AD=AB=BC；
(3)同(1)∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD=5，
∵作△DCE关于直线CD对称的△DCF，
∴△DCE≌△DCF，
∴△ABC和△DCF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴BF=AD=2，
∵BC=AB=BD−AD，
∴BC=AB=5−2=3，
故BC的长度为：3．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得∠ACE=∠BCD，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，即AE=BD；
(2)由等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论；
(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质可得AE=BD，BF=AD，即可求AB的长．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．