2023-2024学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图为芜湖市轨道交通Lg，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年前三季度，芜湖市实现全市进出口总额135亿美元，135亿用科学记数法表示为( )
A. 1.35×1010B. 135×108C. 13.5×109D. 1.35×1011
3.若分式1x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x>3B. xb>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=2，∠ODC=40°，则在扇形OCD中，弧CD长是( )
A. π2
B. 2π9
C. 4π9
D. 5π9
8.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，且⊙O的半径为2 2，则S正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A. 8
B. 8 2
C. 16 2
D. 16
9.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是( )
A. 4月份的利润为50万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D. 9月份该厂利润达到200万元
10.如图，等边△ABC边长为4 3，E、F分别是边BC、CA上两个动点且BE=CF.分别连接AE、BF，交于P点，点M为AC的中点，N为BC上一动点，则PN+MN的最小值为( )
A. 2 3+1
B. 2 19−4
C. 19−2
D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知A(a,1)和A′(−2,b)关于原点对称，则a+b= ______．
12.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______．
13.2024年“元旦”期间，小明与小亮准备从芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是______．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP=45°，连接BP，AP.点M为弧AP上一点(不与A，P重合)，过P作PD⊥BM于D点．
(1)△ABP的形状为______；
(2)若AM=2，DM= 3，则BM= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
求不等式2x+1>5的解集．
16.(本小题8分)
已知△ABC的一边长为10，另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，请判断△ABC的形状，并说明理由．
17.(本小题8分)
观察下列点阵：图1中共有3个点，图2中共有5个点，图3中共有8个点．
(1)按此规律，图4中有______个点，图8中有______个点；
(2)按此规律，图n中共有______个点．
18.(本小题8分)
如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点．
(1)在图中仅用无刻度的直尺作∠ABC的平分线；
(2)连接AC，求△ABC内切圆的半径．
19.(本小题10分)
如图，某人对地面的压强ρ(单位：N/m2)与这个人和地面接触面积S(单位：m2)满足反比例函数关系．
(1)图象上点A坐标为(10,80)，求函数解析式；
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400cm2，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为320N/m2，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷(木板的质量忽略不计)？
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−4ax+2．
(1)抛物线的对称轴为直线______，抛物线与y轴的交点坐标为______；
(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为−6，求此时y的最大值．
21.(本小题12分)
为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
22.(本小题12分)
李明同学在研究一道直线和圆的关系题目时，有如下发现：如图1，点B是⊙O外一点，射线BC经过点O与⊙O交于点M和点N，BP是∠ABC的平分线，BA与⊙O相切于点D，过D作BP的垂线交BP于点E，交BC于点F，交⊙O于点G.当∠ABC=60°时，可以得到FG=2DF．
(1)李明的研究结论正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明原因；
(2)如图2，如果我们将∠ABC的角度变小，使得BA与⊙O相交于点D和D′，仍过点D′作BP的垂线交BP于点E′，交BC于点F，交⊙O于点G′，其他条件保持不变，请你猜想F′G′与FG之间的关系，并证明．
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，如图①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点M(−3,0)和点N(1,0)，与y轴交于点B，且OM=OB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图②，若过(1)中抛物线上的点A作线段AC平行于x轴，交对称轴于H点，且AH=2CH，过C作y轴的平行线交抛物线于D点，A点横坐标x满足−4≤xA4，
x>2．
【解析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
16.【答案】解：x2−14x+48=0，
(x−6)(x−8)=0，
∴x=6或8，
∵另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，
∴△ABC一边长为10，另外两边长为6，8，
∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形．
【解析】首先解方程求出三角形的另外两边，然后判断三角形形状即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力、直角三角形的判定，解题的关键是选择适当的方法熟练解一元二次方程方程．
17.【答案】12 38 [n(n+1)2+2]
【解析】解：(1)由所给图形可知，
图1中点的个数为：3=1×22+2；
图2中点的个数为：5=2×32+2；
图3中点的个数为：8=3×42+2；
图4中点的个数为：12=4×52+2；
…，
所以图n中点的个数为：n(n+1)2+2；
当n=8时，
n(n+1)2+2=8×92+2=38，
即图8中点的个数为38个．
故答案为：12，38．
(2)由(1)知，
图n中点的个数为：n(n+1)2+2；
故答案为：[n(n+1)2+2].
(1)根据所给图形，发现图中点个数的规律即可解决问题．
(2)根据(1)发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形用含n的代数式表示出图n中点的个数是解题的关键．
18.【答案】解：(1)BD即为所求；
(2)∵点A、B、C都是格点，
由图可知AB=5，BC=5，AC=2 5．
∴AB=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
设△ABC内切圆的半径为r，
过△ABC内切圆的圆心O作AB的垂线OE，
∵∠ABD=∠OBE，∠BEO=∠ADB，
∴△BOE∽△BAD，
则OEAD=BOAB，
则：r 5=2 5−r5，
解得：r=5− 52．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质作图；
(2)根据等腰三角形的性质求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题可设p=kS(k≠0)，
∵点A(10,80)在函数p=kS图象上，
∴80=k10，
解得k=800．
∴函数解析式为p=800S；
(2)S=400×2=800(cm2)=8×10−2(m2)，
p=800S=8008×10−2=104(N|m2)；
(3)将p=320代入函数解析式，得
S=800320=2.5(m2).
答：此人应站立在面积至少为2.5m2的木板上才不至于下陷．
【解析】(1)依题意可设P关于S的函数解析式为p=kS(k≠0)，然后将点(10,80)代入即可；
(2)先求出双脚站立时对地面的接触面积S=S=800×10−4m2，然后将其代入到函数的解析式求出P即可；
(3)将p=320N/m2代入函数的解析式求出S即可．
此题主要考查了反比例函数应用，熟练掌握待定系数法求反比例解析式的方法，理解压强与受力面积成反比例是解答此题的关键．
20.【答案】x=2 (0,2)
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=−−4a2a=2．
令x=0，则y=2．
∴抛物线y=ax2−4ax+2与y轴的交点为(0,2)．
故答案为：x=2；(0,2)．
(2)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=2，
∴顶点在1≤x≤5范围内，
∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为−6，
∴当a0，抛物线开口向上，x=2时y有最小值−6，
∴4a−8a+2=−6，
解得a=2，
∴抛物线为y=2x2−8x+2，
当x=5时，y=2×25−8×5+2=12，
∴此时y的最大值12．
综上，y的最大值为12．
(1)由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x=0，求得y，答案可得；
(2)利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为−6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练应用上述知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)表中a的值是：
a=50−4−8−16−10=12；
(2)根据题意画图如下：
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44．
答：本次测试的优秀率是0.44；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13．
【解析】(1)用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；
(2)根据(1)得出的a的值，补全统计图；
(3)用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)李明的研究结论正确，
证明：如图1，连接OD、OG，
∵BA是⊙O的切线，
∴∠BDO=90°，
又∵∠ABC=60°，BP是∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠CBP=30°∠BOD=30°，
过D作BP的垂线交BP于E，
∴∠BDF=∠BFD=∠OFG=60°，
∴∠ODG=∠BOD=30°，
∴DF=OF，
又∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=30°，
∴∠BOG=90°，
在Rt△OFG中，FG=2OF，
即FG=2DF；
(2)猜想F′G′与FG平行且相等，
证明：如图2，连接G′G，
∵D′G′⊥BP，DG⊥BP，
∴D′G′//DG．
即F′G′//FG，
∵D′G⊥BP，BP平分∠ABC，
∴∠BD′F′=∠BF′D′，
∵∠BF′D′=∠FF′G′，
∴∠BD′F′=∠FF′G′，
∵四边形D′G′GD是⊙O的内接四边形，
∴∠BD′F′=∠G，

又∵F′G′//FG，
∴∠G′+∠G=180°，
∴∠G′+∠BD′F′=180°，
即∠G′+∠FF′G′=180°，
∴F′F//G′G，
∴四边形F′G′GF为平行四边形，
∴F′G′=FG，
综上，F′G′与FG平行且相等．
【解析】(1)图1中，连接OD、OG，根据切线的性质得到∠BDO=90°，根据角平分线的定义得到∠ABP=∠CBP=30°，∠BOD=30°，过D作BP的垂线交BP于E，推出DF=OF，得到∠OGD=∠ODG=30°，求得∠BOG=90°，即可得到结论；
(2)如图2，连接GG，根据平行线的判定定理得到D′G//DG.即FG//FG，根据角平分线的定义得到∠BD′F′=∠BF′D′，求得∠BD′F′=∠FF′G′，得到∠BD′F′=∠G，根据平行线的性质得到∠G′+∠G=180°，推出FF//G′G，得到四边形F′G′GF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意OM=OB，M(−3,0)，故B(0,−3)
将M(−3,0)，N(1,0)，B(0,−3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=−3，
解得a=1b=2c=−3，
∴抛物线解析式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3，
∴对称轴为直线x=−22=−1，
设D点坐标为(t,t2+2t−3)，
∵CD平行于y轴，
∴C点横坐标为t，
∴CH=t+1，
∵AC平行于x轴，且AH=2CH，
∴−1−xA=2t+2，即xA=−3−2t．
把xA=−3−2t代入y=x2+2x−3得yA=4t2+8t，
∵−4≤xA−1时，四边形AMDO的面积S随t的增大而增大，
∴⋅0