四川省泸州市泸县五中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念进行求解即可.
【详解】.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 必要条件D. 既不充分也不必要条什
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得或，即充分性不成立；
反之，若，可得，则，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，
所以该窗的面积为.
故选：C
5. 函数部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B、D，由时，可排除C.
【详解】，又定义域为，故函数为偶函数，
可排除B、D，当时，，故可排除C.
故选：A.
6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的单调性与对数函数的单调性求解即可
【详解】∵，，
∴．
故选：A
7. 在当今这个时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来通讯的速率有望达到，香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小．其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的（ ）（参考数据）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】B
【解析】
【分析】将及代入计算对应的，再计算比例即可得.
【详解】，，
则.
故选：B.
8. 若函数在上恰有一个零点，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分，和，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数在上恰有一个零点，
当时，可得，令，解得，符合题意；
当时，由，则满足，
解得，即；
当时，要使得函数在上恰有一个零点，
则满足或，即，
解得或，
综上可得，实数的取值范围为或.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对所给的函数注意判断即可.
【详解】对A：是偶函数，在上递减，排除A；
对B：为偶函数，在上递增，故B正确；
对C：为偶函数，在上递增，故C正确；
对D：为奇函数，排除D.
故选：BC
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式性质逐项分析判断.
【详解】因为，由不等式的性质可知：，，故A正确；D错误；
可知，则，即，故B错误；
可知，可得，故C正确；
故选：AC.
11. 已知，且，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得，由此即可逐一判断每一选项.
【详解】因为，，解得或（舍去），
所以，所以，，，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
12. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数与表示同一函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知，且，则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 求值_______________
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.
【详解】
，
故答案为：
14. 已知幂函数的图象经过点，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】图象经过的点代入函数解析式，求出，得到，再求即可.
【详解】幂函数的图象经过点,则有，解得，
所以，有.
故答案：9
15. 若函数是奇函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解.
【详解】由，可得，即，
且，即，
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，所以，
故，定义域为，
因为函数是奇函数，
所以，所以，
经检验，符合题意，所以，，
所以.
故答案为：.
16. 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据增函数的定义求参数的取值范围.
【详解】因为在递增，
则，解得：，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，
（1）若是充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再根据集合得包含关系即可得解；
（2）由题意可得，再分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
因为是的充分条件，
所以，
所以，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
当时，符合题意，则，解得，
当时，则，解得，
综上所述，.
18. 已知函数.
（1）化简
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．
（2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解．
【小问1详解】
由题意得.
【小问2详解】
由（1）知．
∵，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∴.
19. 已知函数.
（1）用五点法作图作出在的图象；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；
（2）根据，求出的范围，再根据三角函数的性质求出最值.
【小问1详解】
列表如下：
对应的图象如图：
【小问2详解】
，
又，
即，
.
20. 下表是地一天从时的 部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数来近似描述温度与时刻的关系．
（1）写出函数的解析式：
（2）若另一个地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数且气温变化也是从到，只不过最高气温都比地区早2个小时，求同一时刻，地与地的温差的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数，由以及，即可求得，最后代入一个点即可得.
（2）由题意可得，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角公式即可得解.
【小问1详解】
由题意不妨设，
可以发现周期，解得，
而，解得，
所以，即，不妨取，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
设地区的温度变化函数为，
令
，其中，不妨设，
所以，等号成立当且仅当，
即，
所以只能取或满足地与地的温差的最大值为.
21. 已知函数是指数函数，且其图象经过点，.
（1）求的解析式；
（2）判断的奇偶性并证明：
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）为奇函数，证明见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）设，代入点可求的解析式；
（2）利用定义法判断并证明的奇偶性；
（3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
设指数函数，且，
函数图象经过点，有，解得，
所以.
【小问2详解】
为奇函数，证明如下：
，函数定义域为R，
，
所以为奇函数.
【小问3详解】
不等式，
即，得，
令，
由，当且仅当，即时等号成立，得，
则有在时恒成立，得在时恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，则有，
所以实数的最大值为6.
【点睛】关键点点睛：
不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可.
22. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最大值是，求的值；
（3）已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；
（2）设，通过二次函数的性质分析即可；
（3）通过二次函数单调性得到，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当时，，
则，解得，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，，不合题意；
时，设，令.
①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意;
②当时，此时对称轴，函数的最大值是，
所以，
解得或(舍)，
所以
【小问3详解】
当时，设，
而的对称轴，
所以当时，为增函数，故为增函数.
因为函数的定义域为时，的值域为，
，
；，
所以为方程的两根.
故有两个大于1的不同实根.
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.
0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
0
0
1
3
1
时刻/h
2
6
10
14
18
温度/℃
20
10
20
30
20