四川省宜宾市叙州区第一中学2024届高三下学期开学考试数学（理）试题（Word版附解析）

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本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数的共轩复数满足：，则复数（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,在这几场比赛中,甲、乙两人的最高分分别为( )
A. 51分，83分B. 41分，47分C. 51分，47分D. 41分，83分
4. 设函数 ，若，则的值为
A. 2B. 1C. D.
5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）
A B. C. D.
6. 一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况.
A. 288B. 864C. 1436D. 1728
7. 已知数列是等比数列，是其前项和，若，，则
A. 4B. 8C. 12D. 16
8. 若函数为上的奇函数，且在定义域上单调递减，又，，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
9. 在四面体中，，，．则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知两点A，M在双曲的右支上，点A与点B关于原点对称，交y轴于点N，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，，则实数的值为___________.
14. 若二项式的展开式的各项系数和为，则实数的值为____________.
15. 已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点在上，且，则异面直线与所成角为__________
16. 已知等比数列满足，且成等差数列，则 的最大值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列的公差不为0，且，；数列的前n项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18. 为了解某校学生参加社区服务情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
（1）求m，n；
（2）能否有95%把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.
附：
K2.
19. 图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
（1）证明：图2中C，D，E，G四点共面；
（2）求图2中二面角的平面角的余弦值．
20. 如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C.
（1）求椭圆E的方程；
（2）问：在x轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，射线与曲线C交于点A．
（1）求曲线C的普通方程与点A的极坐标；
（2）如下图所示，点B在曲线C上(B在A的上方)，,,且,求△AOB的面积．
23. 设实数a，b，满足．
（1）若，求a取值范围超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828