重庆市渝北中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试题（Word版附解析）

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（全卷共四大题19小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
3. 2023 年11月30日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D. 3
5. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（ ）
A. 关于对称B. 为奇函数
C. D. 为偶函数
11. 已知正项数列满足，，其中，则（ ）
A. 为单调递减数列B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等差数列满足，前项和为，则______________________．
13. 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.
14. 如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为____________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．
（1）求通项公式；
（2）令，求数列的前项积．
16. 某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布．
（1）已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取K（，）个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求；
（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布，则，，．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角大小.
18. 已知双曲线C中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率．
19. 已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围.