福建省福州市第十八中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份福建省福州市第十八中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.
3. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）

A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
4. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
【详解】解：4430万，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将数据排序后，中间一个数就是中位数．
【详解】解：由表格可知，处在中间位置的数据为，
∴中位数，
故选C．
【点睛】本题考查中位数．熟练掌握中位数的确定方法：将数据进行排序后，处在中间位置的一个数据或者两个数据的平均数为中位数，是解题的关键．
6. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
7. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
8. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
【详解】解：由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A. 直线是的垂直平分线B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算： _______．
【答案】a4
【解析】
【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【详解】解：a3•a，
=a3+1，
=a4．
故答案为：a4．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
13. 若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】由，可得，再代入求解即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是代数式的值，等式的基本性质，掌握整体代入法求解代数式的值是解题的关键．
14. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程求出即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 将含角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】△EDC与△ACB为两个含30°角的直角三角形，在Rt△ACB和在Rt△ECD中，利用解直角三角函数得，根据相似三角形的判定得到△ECA～△DCB，根据相似比的性质得到=tan60°=，
【详解】解：∵△EDC与△ACB为两个直角三角形，且∠DEC=∠BAC=30°，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠DCA=∠ECD+∠DCA，
∴∠DCB=∠ECA，
在Rt△ACB中，
tan∠CAB==tan30°，
在Rt△ECD中，
tan∠CED==tan30°，
∴，
∴在△ECA与△DCB中，，∠DCB=∠ECA，
∴△ECA～△DCB，
∴，
在Rt△ACB中，=tan∠ABC=tan60°=，
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，解本题的关键熟练掌握相似三角形的性质与判定．
16. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【详解】解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式是解题的关键．
18. 已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．

【答案】证明见详解；
【解析】
【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件．
19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴表示见解析
【解析】
【分析】结合题意，首先分别求解一元一次不等式，从而得到不等式组的解集，再结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】由①得，；
由②得，；
∴原不等式组的解集是：
；
解集在数轴表示如下：
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组合数轴的性质，从而完成求解．
20. 在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗，已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元；（2）至少要购买乙种树苗67棵．
【解析】
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x-6）元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200-y）棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
依题意列方程得，，
，
解得，
经检验是原方程的根，
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
，
，
∵为整数
∴的最小值为67
答：至少要购买乙种树苗67棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
21. 为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人；
（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
【答案】（1）；
（2），补全统计图见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；
（2）求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解∶人，
故答案为∶；
【小问2详解】
解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，
选择组的人数为∶（人），
补全条形统计图如下∶
【小问3详解】
解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶

共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，
所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法或树状图求概率，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的总数关键．
22. 如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可．
【小问1详解】
解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
【小问2详解】
∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键．
23. 如图，是的直径，E为上的一点，点C是弧的中点，连接，过点C的直线垂直于的延长线于点D，交的延长线于点P．
（1）求证：PC为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；
（2）连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接交于，
，，
，
，
，
在中，
，
或（不符合题意，舍去），
点是的中点，是半径，
垂直平分，
，
是的中位线，
，
是直径，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查切线判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行线间线段成比例等知识，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键．
24. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
（1）若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，
∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
【小问2详解】
∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，在中，，，点P在边上，D、E分别为、的中点，连接．过点E作的垂线，与、分别交于F、G两点．连接，交于点H．

备用图
（1）的度数为________；
（2）与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（3）求的最大值．
【答案】（1）
（2），，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，然后根据两直线平行，同位角相等即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的判定和性质，得到，，再证明，得到，，利用等角替换和三角形内角和定理，即可得到，然后根据线段中点，即可得到；
（3）先说明得到，进而得到，设，求出相关线段，然后将求得的量代入可得，然后根据当，时，，求最值即可．
【小问1详解】
解：，，
，，
、分别为、的中点，
，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，理由如下：
，，，
和是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
；
【小问3详解】
由（2）知，
∴，
又∵，
∴，
∴，即
∴，
∵和是等腰直角三角形，
，，
则，，
设，则，，
则，，，，
∴，
又∵，
∴，
当，时，，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次根式的运算等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．打网球
跳绳
爬楼梯
慢跑
游泳