广东省湛江市雷州市第八中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省湛江市雷州市第八中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解：相反数是8，故C符合题意，
故选：C．
2. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】15233000=,
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于熟练掌握科学记数法的表示方法．
3. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项可判断A，C，由同底数幂的乘法可判断B，由幂的乘方可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算准确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，合并同类项和幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
5. 如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（ ）
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作OC⊥AB于点C．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C
∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm
∴OC=4，AC= AB=3
∴OA==5cm
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
6. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，4B. 2，3，5C. 4，6，8D. 5，6，12
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．
7. 在三角形中，、、的对边分别是，下列条件一定不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义，实数的非负性即可求解．
【详解】解：、能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
、，
∵，
∴，化简得，，
∴，
∴能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
、，
∵，
∴，，，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
、
根据非负性可得，，
∵，
∴能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的定义，实数的非负性，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象与比例系数的关系，是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵函数的，，
∴它的图象经过第一、三、四象限．
根据反比例函数的性质：图象分别位于第一、三象限；
综上所述，符合上述条件的选项是C．
故选：C．
10. 如图，已知开口向上抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂和负整指数幂，掌握“”是解题的关键．
根据零指数幂和负整指数幂的法则，先计算零指数幂和负整指数幂，再算加减．
【详解】解：
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案8．
13. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的两倍，本题可以用完全平方公式．
【详解】原式．
故答案为：．
【点睛】本题根据完全平方公式法进行因式分解，能熟练掌握用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
14. 化简：____
【答案】
【解析】
【详解】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
解： -=2-=．
故填：．
15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有________名同学．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
【详解】解：设全组共有名同学，则，
，即，解得或（舍弃），
故答案为：．
二、解答题
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：方程整理，得：，
，
则或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. 解不等式组：．
【答案】原不等式组的解集为．
【解析】
【分析】分别求解2个不等式，然后合并解集即可．
【详解】
由①得，
由②得，
∴原不等式组的解集为.
【点睛】本题考查解不等式组，在确定最终解集时，可以利用画数轴辅助理解．
18. 先化简，再求值：，其中.
【答案】；.
【解析】
【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】原式
=，
当时，原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
19. 已知关于x的方程，．求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
【详解】证明：
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
20. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，某食品厂为了解某市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A,B,C,D表示）这四种不同口味粽子喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成下面的两幅统计图甲、乙（尚不完整），请根据图中信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）若有外形完全相同的A,B,C,D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据喜爱B口味的有60人，所占的百分比是10%即可求解；
（2）画树状图得出所有情况数，然后找出他第二个吃到的恰好是C粽的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是：60÷10%＝600（人）；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的情况有3种，
所以他第二个吃到的恰好是C粽的概率是：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21. 某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+540；
（2）当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【解析】
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【小问1详解】
解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
【小问2详解】
解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 已知：如图，在中，是中点，平分交于点E，点O是上一点，过两点，交于点G，交于点F．
（1）试说明直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）的半径是
【解析】
【分析】（1）连接，通过证明证明，得出与相切；
（2）通过证明，解直角三角形求的长，即半径的长度．
【小问1详解】
解： 直线与相切，理由如下：
连接，
∵且D是的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴.
∵与相切于点E，
∴，
∴，
∴，
即的半径是．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，利用了方程思想．
23. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）12
【解析】
【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出的值，得到反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式，求出的值，得到点的坐标，最后将，代入一次函数解析式得：，求出、的值即可；
（2）在中，当时，，求出点的坐标，得出，最后根据三角形面积公式进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入反比例函数解析式得：，
解得：，
反比例函数的解析式为：，
点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，
当时，，
，
把，代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
解得：，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
24. 如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）①直接写出：当 时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当 时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①4；②7，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
25. 如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
【答案】（1）；（2）P（﹣1，4），，；（3）．
【解析】
【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论；
（2）设P点坐标为（x，），根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，
解得：，
故该抛物线的解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，
则易得B（1，0），
设P点坐标为（x，），
∵，
∴，
整理，得或，
解得x=﹣1或x=，
则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4），，；
（3）设直线AC的解析式为，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，
解得：，
即直线AC的解析式为．
设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，），
QD===，
∴当x=时，QD有最大值．