2022-2023学年山东省济南市钢城区艾山一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市钢城区艾山一中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中，一定是二次根式的是( )
A. −6B. x+2C. 39D. 3
2.下列二次根式中与 2是同类二次根式的是( )
A. 12B. 32C. 23D. 18
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 2×3 2=6 2
C. 8÷ 2=2D. 3 2− 2=3
4.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形D. 四边相等的平行四边形是正方形
5.用配方法解一元二次方程2x2−12x−9=5，则方程可变形为( )
A. 2(x−6)2=43B. (x−6)2=43C. 2(x−3)2=16D. (x−3)2=16
6.已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2−14x+48=0的两个实数根，则此菱形的面积是( )
A. 20B. 24C. 48D. 不确定
7.一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
8.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是( )
A. DA=DE
B. ∠ABC=2∠E
C. ∠EAC=90°
D. BD=CE
9.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a−1|− (a−2)2的结果是( )
A. 2a−3B. −1C. 1D. 3−2a
10.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE=∠DCE；②∠AHB=∠EHD，③S△BHE=S△CHD；④AG⊥BE.其中正确的是( )
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，那么a=______．
12.已知m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，则2m2−4m=______．
13.若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 a−10+(b−2)2=0，第三边c为偶数，则c= ．
14.某商品原售价为100元，连续两次涨价后售价为120元，设两次平均增长率为x，则根据题意可列出方程为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是______．
16.观察下列各式：① 1+13=2 13，② 2+14=3 14，③ 3+15=4 15，…，根据以上规律，第n个等式应为：______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.已知x=2+ 3，y=2− 3，求下列各式的值：
(1)x2−y2；
(2)x2+y2−3xy．
四、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 32− 18+15 75−3 13；
(2)(2 6+ 3)(2 6− 3)−(3 3− 2)2．
19.(本小题6分)
解方程：
(1)x(x−7)=8(7−x)；
(2)(m−2)(3m−5)=1．
20.(本小题6分)
已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE=∠CBF.求证：DE=DF．
21.(本小题8分)
阅读理解
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程：(x2−x)2−8(x2−x)+12=0．
解：设x2−x=y.原方程化为y2−8y+12=0.∴(y−2)(y−6)=0.∴y−2=0或y−6=0.∴y1=2，y2=6．
当y=2时，即x2−x=2.∴(x−2)(x+1)=0，∴x−2=0或x+1=0.∴x1=2，x2=−1
当y=6时，即x2−x=6.∴(x−3)(x+2)=0.∴x−3=0或x+2=0.∴x3=3，x4=−2.∴原方程的解是x1=2，x2=−1，x3=3，x4=−2．
请你利用换元法解方程：(x2−7)2−(x2−7)−2=0．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：△BDE≌△FAE；
(2)求证：四边形ADCF为矩形．
23.(本小题10分)
已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24.(本小题10分)
某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
25.(本小题12分)
阅读下列解题过程：
1 2+1=1×( 2−1)( 2+1)×( 2−1)= 2−1( 2)2−12= 2−1；
1 3+ 2=1×( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2( 3)2−( 2)2= 3− 2
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①1 7+ 6=______；②1 n+ n−1=______；
(2)应用：求1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+1 5+ 4+…+1 10+ 9的值；
(3)拓广：1 3−1−1 5− 3+1 7− 5−1 9− 7=______．
26.(本小题12分)
如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)求证：PC=PE；
(2)求∠CPE=______；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 −6无意义，不符合题意；
B、当x=2时， x+2= 4=2，不是二次根式，不符合题意；
C、39是三次根式，不符合题意；
D、 3是二次根式，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵ 12=2 3，
∴ 12与 2不是同类二次根式，
故A不符合题意；
B、∵ 32= 62，
∴ 32与 2不是同类二次根式，
故B不符合题意；
C、∵ 23= 63，
∴ 23与 2不是同类二次根式，
故C不符合题意；
D、∵ 18=3 2，
∴ 18与 2是同类二次根式，
故D符合题意；
故选：D．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式加减与二次根式乘除的运算法则．
根据相关法则一一计算，即可解答．
【解答】
解：A． 2+ 3= 5 ，不能合并，故错误；
B.2 2×3 2=6 2×2=12 ；故错误；
C. 8÷ 2= 4=2 ；故正确；
D.3 2− 2=2 2；故错误；
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理，矩形、正方形的判定，属于基础题．根据矩形的判定方法对A、B进行判断；根据正方形的判定方法对C、D进行判断．
【解答】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、四边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：∵2x2−12x−9=5，
∴2x2−12x=14，
x2−6x=7，
则x2−6x+9=7+9，即(x−3)2=16，
故选：D．
先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
本题考查了配方法解一元二次方程的运用．
6.【答案】B
【解析】解：x2−14x+48=0，
(x−6)(x−8)=0，
x−6=0或x−8=0，
所以x1=6，x2=8，
即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为6和8，
所以此菱形的面积=12×6×8=24．
故选：B．
先利用因式分解法解方程得到AC和BD的长，然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了菱形的性质．
7.【答案】A
【解析】解：方程化为一般式为x2−2x−4=0，
∵Δ=(−2)2−4×(−4)=20>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，从而可判断根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当ΔAE，
∴CE>BD，故D错误．
故选：D．
因为四边形ABCD是菱形，得AB//DE，AB=AD，AC⊥BD，由AE/​/BD，得四边形ABDE是平行四边形，依次判断即可．
本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟记菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由图知：1