2024年中考数学压轴题专项练习—分类讨论思想

这是一份2024年中考数学压轴题专项练习—分类讨论思想，文件包含77分类讨论思想答案docx、77分类讨论思想docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。

1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。

分类讨论思想
1．（2022秋•丰都县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求点的坐标以及面积的最大值．
（3）如图3，将点右移一个单位到点，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点代入抛物线，
得，
，
抛物线的解析式为，
在中，令，得，
，
点在抛物线上，
把代入，
得，
，
设直线的解析式为则，
，，
，
解得，
直线的解析式为．
（2）过点作轴，交直线于点，
设为，则为，
，
面积：，
，
当时，面积的最大值为9，
此时，点的坐标为．
（3）抛物线，
当时，有最大值，
，
抛物线对称轴为，
，
点右移一个单位到点，
，
，，
直线解析式为，
直线与抛物线的交点为，
另一交点设为，则，
抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，
抛物线向左平移了4个单位，向上平移了4个单位，
新抛物线，
对称轴为，
顶点，
设，
则，，，
假设是等腰三角形，则分三种情况讨论：
当为顶点时，由得，
，
或，
或，
当为顶点时，由得，
，
或，
或，
当为顶点时，由得，
，
，
，
存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或或．
2．（2023春•小店区期末）综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，，．将从图1的位置开始绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为点，，旋转角为．
操作思考：（1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点时的图形．求此时旋转角的度数；
（2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点作的平行线交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿射线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．若，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出平移的距离．
【解答】解：（1）如图2，绕点顺时针旋转得到△，
，
，，
，
是等边三角形，
，
即；
（2）猜想：，
理由：如图3，作于点，
设，则，
，
，
，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
在中，，
；
（3）①如图4，延长，作于点，连接，，，
，，，
，，
，且是等边三角形，
，
，，
，
在中，，
沿射线的方向平移得到，
，
，
，
，，
以，，为顶点的三角形是等腰三角形，
，
在△中，，
，
②如图5，连接并延长交于点，连接，，
由①得，，，
以，，为顶点的三角形是等腰三角形，
，
在△中，，
，
综上所述，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为或．
3．（2023•济南模拟）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线所对应的函数解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
如答图1，当点在轴上方时，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，（舍去），
，
综合以上可得的值为；
（3）抛物线平移后得到，且顶点为，
，
即．
设，则，
，
①如答图2，当在点上方时，
，，
与全等，
当且时，，
，，
当且时，无解；
②如答图3，当点在点下方时，
同理：，，，
，
则，．
综合可得点坐标为或．
4．（2022秋•宁海县校级期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的周长．
（2）问为何值时，为等腰三角形？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【解答】解：（1）如图1，，，，
，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，则，
，
由勾股定理得：，
的周长为：；
（2）①如图2，若在边上时，，
此时用的时间为，为等腰三角形；
②若在边上时，有三种情况：
如图3，若使，此时，运动的路程为，
所以用的时间为，为等腰三角形；
如图4，若，作于点，
，
，
，
在中，，
所以，
所以运动的路程为，
则用的时间为，为等腰三角形；
如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为，
则所用的时间为，为等腰三角形；
综上所述，当为3或5.4或6或6.5时，为等腰三角形；
（3）分两种情况：
①当点在上，在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
（不符合题意，舍）；
②当点在上，在上，则，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
（此时在处），
当为6时，直线把的周长分成相等的两部分．
5．（2021秋•锦江区校级月考）如图1，在中，，，为的中点，连结．过点作射线，为射线上一动点．
（1）求的长和的面积；
（2）如图2，连结交于点，连结，作点关于的对称点，当点恰好落在的边上时，连结，求△的面积．
（3）如图3，连结，，在点的运动过程中，若为等腰三角形，求所有满足条件的的长．
【解答】解：（1），，为的中点，
，，
，
，
；
（2）①当落在上时，作于点，
则，
，为中点，
，
，，
，，
，，
由题知，关于对称，
是的平直平分线，
，，，
△，，
，，
设，则，
，，
，
为直角三角形，
，
解得，
，
；
②当落在上时，作于点，与的交点为，
则，
由题知，关于对称，
点为的中点，
为中点．
则在中，为中位线，
，且’，
，
，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形．
．
；
③当落在上时，此时，
与点重合，
，
该情况不存在，
综上所述，△的面积为或42；
（3）当时，如图，作于，
，
，
解得，
，即，
不成立；
当时，作于，延长交于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
当时，作于，作于，延长交于，
由上述过程可得，
，
设，
，
当时，在中，
，
在中，，
，
解得，
，
综上所述，或．
6．（2021•三亚模拟）如图，已知抛物线与轴交于点和两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点，与的面积比为．
①求点的坐标；
②过点作直线轴，点是直线上的点，点是抛物线上一动点，是否存在这样的、，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）方法一：抛物线经过点，，
将点，代入解析式，得，
解得．
抛物线的解析式为；
方法二：抛物线经过点，，
即抛物线与轴的交点为，，
抛物线解析式为：，
即，
抛物线的解析式为；
（2）①由抛物线解析式得，
，
如图1，设直线与轴交于点，
，
，
，
同理可得，
，
．
直线的解析式为．
联立方程组得，
解得（舍去第四象限的解），
；
②存在，理由如下：
由上可知，，
设，，
如图2，
当为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，
、互相平分，
，
解得：，
，．
如图3，
当为边，、为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，
、互相平分，
，
解得：，
，．
如图4，
当为边，、为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，
、互相平分，
，
解得：，
，．
综上所述，存在点、使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，；；．
7．（2021•南岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的正半轴上．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作交于点，连接，设的长为，的面积为，求的最大值；
（3）若点在抛物线的对称轴上，是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）、，
，
在中，令得，
，，
，
，
，，
，
，
，
，即，
；
过点作，垂足为，则，
，
，
，
，
有最大值，当时，的最大值为8；
（3）存在一点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，
，
抛物线对称轴是直线，
设点的坐标为，
①当点在轴右侧时，如图：
过点作轴的平行线交函数对称轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，，
，
，
，
在中令得：，
解得：或（舍去），
点的坐标为，；
②当点在轴左侧，对称轴的右侧时，如图：
过点作轴的平行线交函数对称轴于点，交轴于点，
同理可得：，
，
而，，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，；
③当点在对称轴的左侧时，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，过点作轴的平行线交函数对称轴于点，如图：
同理可得：，
，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，或，．
8．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系 ．
（2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长．
【解答】解：（1）结论．
理由：如图1中，，
，
，，
，
．
故答案为：．
（2）结论不成立．与的数量关系：．
理由：，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
（3）中，，，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
，，
当时，，
当时，
综上所述，满足条件的的值为或．
9．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使．
（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．
（2）当时，连接，取的中点，连接．
①如图2，若点落在边上，求的长．
②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：①延长至，使，连接，
，，，
，，
点落在边上，
，
是等边三角形，
，
，
，
是的中点，
，
，，
，
，
，
；
②由①可知，，
，
，
是直角三角形，此时；
如图，时，
是的中点，
，
作于，
设，则，，，，
，
，，
，
解得：或（舍去），
此时，；
如图，时，作于，于，于，交于，于，
设，则，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，，
由得，，
，
化简得，，
解得：或（舍去），
此时；
当时，如图，构造，
由，，，，
，
化简得，，
（舍，，
，
综上所述，的长为或或4或．
10．（2021•高邮市二模）如图，是的高，，，，点是边上的一个动点（与、不重合），于点，，于点，交于点，连接．
（1）若点是的中点，则 ；
（2）在点的运动过程中，
①的值为 ；
②当点运动到何处时，线段最小？最小值是多少？
③当是等腰三角形时，求的长．
【解答】解：（1）如图1，设，
，，，
，
，
，
是的中位线，
，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
故答案为：；
（2）①如图2，过点作于，
，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
故答案为：8；
②由①得：，
设，则，
，
当时，取最小值为，
此时，，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
，
当时，线段最小，最小值是；
③设，，，
，，，
，，
当为等腰三角形时，存在以下三种情况：
，则，
解得：，
；
，
，
，
，
，
；
，则，
，
解得：（舍，，
；
综上所述，的长为或或．
11．（2018春•淮阴区校级期中）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．点为顶点，点为点关于对称轴的对称点．
（1）点的坐标为 ， ；点的坐标为 ．
（2）如图1，若点是抛物线上位于点、之间的一个动点（不与、重合），当四边形面积最大值时，求点的坐标．
（3）如图2，连接、，直线交轴于点，连接，过点作轴的垂线交于点，已知点为线段上一动点．连接，将沿翻折到，与直线的交点为，若点落在直线的左侧或直线上，当与重叠部分为直角三角形时，求点的坐标．
（4）在（3）的条件下，将绕点逆时针转，记旋转后的为△，若分别与直线、直线交于、，当是以为底角的等腰三角形，请直接写出的长．
【解答】解：（1），
，，抛物线的对称轴为直线，
令，则，
．
点为点关于对称轴的对称点，
，．
故答案为：，；，；
（2），
是定值，
当取最大值时，四边形面积有最大值．
连接，过点作轴，交于点，如图，
设直线的解析式为，则：
，
解得：．
直线的解析式为．
设，则．
．
，
，
当时，取最大值，即四边形面积有最大值．
此时点的坐标为，．
（3）①当与重叠部分为直角三角形，且时，如图，
令，则．
解得：或．
，，，．
，．
直线的解析式为，
则．
．
．
．
，
．
．
，
．
由翻折的性质可知：．
．
．
，的纵坐标相同．
，
．
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
当时，．
．
，．
②当与重叠部分为直角三角形，且时，如图，
此时，落在直线上．
由①知．
由抛物线的对称性可知：．
为等边三角形．
．
，
．
．
由翻折的性质可知：，
，
，
点，重合．
为的中点．
由①得：直线的解析式为．
当，．
．
，．
综上，当与重叠部分为直角三角形时，点的坐标为，或，．
（4）的长为或或或．理由：
①当与重叠部分为直角三角形，且时，
此时点，．
可得：，，，，．
当时，点落在直线上，如图，
则，
，
是以为底角的等腰三角形，
此时点与点重合．
．
当，，如图，
此时与重合，．
则，
是以为底角的等腰三角形，
．
②当与重叠部分为直角三角形，且时，
此时为的中点，．
当时，点落在上，落在直线上，如图，
此时，，是以为底角的等腰三角形，
，
．
．
当时，，如图，
此时，是以为底角的等腰三角形，
．
．
．
综上，当是以为底角的等腰三角形，的长为或或或．
12．（2023春•朝阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为射线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向右作正方形．
（1）直接写出直线的函数关系式为 ；
（2）当时，求线段的长；
（3）求正方形的周长（用含的代数式表示）；
（4）当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）设直线的函数关系式为，则有：
，
解得：，
直线的函数关系式为；
故答案为：；
（2）当时，
，
，，
；
即线段的长为6；
（3）由题意可知：，
点不在直线上，
，即，
当时，点在点的下方，
，
；
当时，点在点的上方，
，
，
故正方形的周长为：或；
（4）设直线的解析式为，把点代入得：，
直线的解析式为，
当时，
可得：，，，，
当时，点与重合，此时点恰好在边上，满足题意，
当点在直线上时，可得：
，
解得：，
；
当时，
可得：，，，，
当点在直线上时，可得：
，
解得：，
当点在直线上时，可得：
，
解得：，
，
综上所述，的取值范围为或．
13．（2023•广安）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将、分别代入一次函数，得
．
解得．
故．
将其代入反比例函数，得
．
解得．
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由（1）知，、，则．
设，
当时，．
解得或（舍去）．
故；
当时，．
解得或．
故或．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或．
14．（2023春•海州区期末）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点与点重合．
①当时， 65 ；
②若点恰好在线段上，则的长为 ；
【深入思考】
（2）若点恰好落在边上．
①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形；
②在①的条件下，当时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长．
【解答】解：（1），
①，，
，
由折叠可得：，
；
②由折叠可得：，，，
，，
，
点在上，
，
，
在中，，
，
；
（2），
①证明：，
，
由折叠可知，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
②解：由折叠可知，
，
，
在 中，，
菱形的边长为，
，
由折叠可知，，
，
，
在 中，，
在 中，又勾股定理得：
．
（3），
由折叠可知，
设，则，，
①当 时，
在中，
，
解得：，
，
②当时，过点作交于，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：的长为 或．
故答案为：（1）①65；②2；
15．（2023•乳山市二模）过四边形的顶点作射线，为射线上一点，连接．将绕点顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点在何处，总有，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．
【解答】（1）证明：如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
将绕点顺时针方向旋转至，
，
，
．
（2）解：如图2，过点作于点，连接，
四边形是菱形，
，
由旋转得：，
，
即，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当时，如图3，连接，，过点作于点，
设交于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图4，过点作于点，于点，
则，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
③当时，
由②知：，，，
，
，
解得：或，均不符合题意；
综上所述，的长为或．
16．（2023春•石狮市期末）已知直线：与、轴分别交于点、．经过点的直线与轴交于点．
（1）求的值及直线的函数表达式；
（2）已知点是线段上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）在（2）的前提下，试探索：在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点代入直线，
得，
将点、代入直线：得，
，解得，
直线；
（2）由（1）得直线，
当时，，
解得，
，
，
，
，
，
设点的坐标为，
则，
解得，
，
，；
（3）由图可知，，
，，
，即，
为直角三角形，，
，
，
直线上存在点，使得是等腰直角三角形，此时，
①当点在点左侧时，作轴于点，
，，
△，
，即，
解得，，
，
，；
②当点在点右侧时，作轴于点，
，，
，
，即，
解得，，
，
，，
综上，，或，．
17．（2023春•渝中区校级期末）已知是等边三角形．
（1）如图1，点是边的中点，点为射线上一动点，当是轴对称图形时，的度数为 或或 ；
（2）如图2，，点在边上，点在射线上，且，作于，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间有什么数量关系，并对结论加以证明；
（3）如图3，点在延长线上，连接，为上一点，，连接交于，若，，直接写出线段的比值为 ．
【解答】（1）解：当是轴对称图形时，其一定是等腰三角形，
是等边三角形，
，
是边的中点，
平分，
，
当时，如图1，
，
；
当，点在线段上时，如图2，
，
；
当，点在线段延长线上时，如图3，
，
，
，
，
综上，的度数为或60或，
故答案为：或60或；
（2）．
证明如下：如图4，过点作于，交延长线于，
，
，
，
又于，于，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
即，
，
，
即；
（3）解：如图5，过作交延长线于点，交延长线于，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
设，，
则，
，，
，
即，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（2023春•门头沟区期末）我们给出如下定义：两个图形和对于上的任意一点，与上的任意一点，，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”．
（1）如图1，点在线段，上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为 ；
（2）有射线，和线段，点在线段上，点在射线上：
①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为 ；
②如图3，保持线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出的取值范围．
【解答】解：（1）点在线段，上，点在线段上，
当与点重合，与点重合时，最小，
，，
，
理想距离，
故答案为：．
（2）①如图，过点作于点，则的长即是的长，
射线，，
，
，
，
，
故答案为：．
②如图，当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即为的长，
，
，
，
，即；
当在射线的左侧时，的长即为的长，
，
，
的取值范围为：．
19．（2023•婺城区模拟）在矩形中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点．
（1）①当点为中点时，求与的长；
②求的值．
（2）若为等腰三角形时，求满足条件的的长．
【解答】解：（1）①当点为中点时，如图，过点作于点，
则，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，
点为的中点，
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，；
②如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，，，
，
，，
，即，
，即，
，，
，
，
，即，
；
（2），，
，
，即，
设，则，，
，
由（1）②可知，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
（Ⅰ）当时，如图，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
（Ⅱ）当时，如图，过点作于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（Ⅲ）当时，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
综上，当或1或时，为等腰三角形．
20．（2023•河南模拟）如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接．（点、在的两侧）
【问题发现】
（1）如图1所示，若时，、的数量关系为 ，直线、的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1），，
是等腰直角三角形，
，，
同理：，，
，
，
即，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）不成立，，理由如下：
，，
，
又，
，
，
又，
，
即，
，
，
在中，，
，
；
（3），，
，，，
分两种情况：
①如图3，当时，
同（2）可知，，
，
；
②如图4，当时，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
同（2）可知，，
，
即，
解得：；
综上所述，的长为或3．