2024年中考数学压轴题专项练习—将军饮马（2）

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简单运用
（1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．
综合运用
（2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
拓展延伸
（3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
【分析】（1）当时，有最小值；
（2）过点作交于，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长的最小值为，求出即可；
（3）作出所在的圆，连接交于点，连接，，，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，取的中点，连接，过点作交于，此时的周长最小，求出即为所求．
【解答】解：（1）如图1，当时，有最小值，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作交于，作关于的对称线段，作关于的对称线段，
连接交于点，交于点，连接，，
由对称可知，，，
，此时的周长的最小，
，，
，
，
，
，
过点作交于，
在中，，
，
的周长的最小值为；
（3）如图3，作出所在的圆，连接交于点，连接，，，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，取的中点，连接，过点作交于，
、、三点共线，
线段最短，
由对称可知，，，，，
，
此时的周长最小，
为，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
的周长的最小值为．
【点评】本题是圆的综合题，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
22．（2022春•泗水县期末）将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数的图象与、轴分别交于点、，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．
（1）如果点在轴上，将沿着直线翻折，使点落在点上，求直线的坐标三角形的面积；
（2）如果一次函数的坐标三角形的周长是21，求值；
（3）在（1）（2）条件下，如果点的坐标是，直线上有一点，使得周长最小，求此时的面积．
【分析】（1）由得，，即可得，根据翻折的性质可得，在中，由勾股定理即得，故直线的坐标三角形的面积为；
（2）设，则，在中，有，可解得点，，代入即知；
（3）连接交于点，根据点与点关于直线对称，可得当点、、在一条直线上时，有最小值，从而的周长最小，设直线的解析式，由待定系数法可得直线的解析式，解，得点，故．
【解答】解：（1）将代入，得：，
点，
，
又点，即，
，
由翻折的性质可得：，
在中，由勾股定理可得：
，
直线的坐标三角形的面积为；
（2）设，则，
在中，，
，
解得：，
点，，
将点，代入，得：，
；
（3）如图，连接交于点，
点与点关于直线对称，
，
，
当点、、在一条直线上时，有最小值，
又的长度不变，
当点、、在一条直线上时，的周长最小，
由（1）知，
，
设直线的解析式，将点、代入得：
，
解得：，
直线的解析式，
由（2）知直线解析式为，
联立，
解得：，
点，
，，
，
，
答：的面积是112.5．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用“将军饮马“模型．
23．（2022春•江岸区校级月考）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，把直线沿直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点．
（1）试求点、、的坐标；
（2）点是直线上的一个动点，且的面积为4，求点的坐标；
（3）如图2，点为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，求的最小值．
【分析】（1）设，则，，由折叠可知，，，在中，由勾股定理可求的值，即可求点坐标；
（2）设点到直线的距离为，由面积可得，求出直线是解析式，再联立方程组，可得，，再，由此可得，设，则，从而求点坐标即可；
（3）过点作轴交于，可证明，设，可求，从而可知点在直线上运动，设直线与轴交于点，，作点关于直线的对称点，连接，，求出，当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
，
，
设，
，，
由折叠可知，，
，
在中，，
解得，
，；
（2），，，
，
点到直线的距离为，
，
，
设直线是解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，，
，
，，
，
，
，
设，
，
解得或，
，或，；
（3）过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，
点在直线上运动，
设直线与轴交于点，
，
作点关于直线的对称点，连接，，
，
，
，
，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，
的最小值为．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，掌握轴对称求最短距离的方法，能够确定点的运动轨迹是解题的关键．
24．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图1，在中，是边上的中线，点、在上，连接，，，延长交于点．
（1）若，，则 4 ；
（2）若，．求证：；
（3）如图2，在（2）条件下，点、、分别是三边上的动点，且，，当的周长最小时，直接写出的值．
【分析】（1）由是中线可得，再由题意可知，进而可求解；
（2）延长至，使，则可证，再证明，即可求解；
（3）作点关于的对称点，连接，，作点关于的对称点，连接，，连接交于，交于，连接，，则的周长，设，在中，，可得，从而得到是等边三角形，当最小时，就最小，从而可得．
【解答】（1）解：是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4；
（2）证明：如图1，延长至，使，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图2，作点关于的对称点，连接，，作点关于的对称点，连接，，连接交于，交于，连接，，
，，
的周长，
设，
，
，
，
由（2）知，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
当最小时，就最小，
，
，
点是的中点，
，
．
【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离，垂线段最短是解题的关键．
25．（2022春•安新县期末）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出点的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值．
【分析】问题1．根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点，作交的延长线于点，根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，即可求解；
问题2．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
问题3．（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．此时，的值最小，可得出，利用待定系数法求出的解析式，即可得点的坐标；
（2）根据勾股定理即可求得的最小值；
【模型迁移】
问题4．过作，交于，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可．
【解答】解：问题1．延长至，连接交于点，
则点即为所求的“将军饮马”的位置，
作交的延长线于点，
则四边形为矩形，
米，米，
米，
由勾股定理得，（米，
则米，
“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；
问题2．如图3，连接，设与交于点，
四边形是正方形，
点与关于对称，
，
最小．
即在与的交点上时，最小，为的长度．
四边形是正方形，，，
，，
在直角中，，，，
．
故答案为：；
问题3．（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．此时，的值最小，
点．
，
设直线的解析式为，
点，点．
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，解得：，
点的坐标；
（2）点，点，点，点的坐标．
的最小值；
【模型迁移】
问题4．如图5，过作，交于，连接，
此时线段最小，且，
四边形是菱形，
，，，
，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
．
的最小值是．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查的是轴对称最短路径问题、正方形的性质、菱形的性质，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
26．（2022春•龙岗区期末）龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点是直线上一动点，则的最小值为 ；
（2）几何应用：如图3，中，，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（3）代数应用：代数式的最小值为 ．
【分析】（1）连接交于，则的值最小，再由勾股定理求出的长即可；
（2）作点关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案；
（3）由勾股定理构造图形，再由轴对称最短路线问题得到最小值就是求的值，然后由勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图2，连接交于，
则的值最小，
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）如图3，作点关于直线的对称点，连接，
则与直线的交点即为所求的，且的最小值为，
过作交的延长线于，
由题意得：，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
（3）构造图形如图4，，，，于，于，
则，
代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于．
则，，，
，
代数式的最小值为10，
故答案为：10．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了轴对称最短路线问题、勾股定理以及最小值问题，本题综合性强，解题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
27．（2022春•重庆期中）在平面直角坐标系中，直线经过点和点．点的横坐标为，点为线段的中点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，若点为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
【分析】（1）设直线解析式为，用待定系数法可得直线解析式为；
（2）作关于轴的对称点，连接交线段于，由点为线段的中点得，根据关于轴的对称点，知，，当、、共线，最小，在中，得，，设直线解析式为，用待定系数法得直线解析式为，即得；
（3）设，，又，，可得，，，①当时，，解得；②当时，，解得，③当时，，解得．
【解答】解：（1）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）作关于轴的对称点，连接交线段于，如图：
，点为线段的中点，
，
关于轴的对称点，
，，
，
而、、共线，
此时最小，即最小，
在中，令得，
，，
设直线解析式为，将、，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
；
（3）设，，
又，，
，，，
①当时，如图：
，
解得，
此时横坐标为1；
②当时，如图：
，
解得（舍去）或，
此时横坐标为；
③当时，如图：
，
解得或（舍去），
此时横坐标为；
总上所述，的横坐标坐标为1或或．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．
28．（2022•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即为所求；
（2）作点关于和的对称点和，连接，交和于点、，此时的周长最小，连接、，然后根据等腰三角形的性质求得的长即为的周长最小值；
（3）作点关于和的对称点和，连接交于点，连接，交和于点、，此时的周长最小，过点作于点，过点作于点，从而利用含角的直角三角形的三边关系求得、、的长，即可得到、的长，设，得到、、、的长，过点作于点，然后得到、、的长，再根据直角三角形的勾股定理求得的大小，进而利用二次函数的最小值求得的最小值，最后得到的周长最小值和的长．
【解答】解：（1）如图①，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即为所求．
（2）的周长存在最小值，理由如下，
如图②，作点关于和的对称点和，连接，交和于点、，此时的周长最小，连接、、，
由对称得，，，，
，
，
过点作于点，则，，
，
，
，
周长最小值为．
（3）周长存在最小值，理由如下，
如图③，作点关于和的对称点和，连接交于点，则，
连接，交和于点、，此时的周长最小，
过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，
设，则，
，
，，
由对称的性质得，，，
，
过点作于点，则，
，
，
，，
，
当时，的值随的增大而减小，
当时，，
的长为4时，周长最小值为．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含角的直角三角形的三边关系、二次函数的性质，解题的关键是熟知轴对称的性质作出取得最小值时的点和点的位置．
29．（2022•潮南区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为；线段的垂直平分线交抛物线于点、，点、横坐标分别为、且满足．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上一动点，当点在什么位置上时，的周长最小？求出此时点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，线段上的一点，过点作直线轴于，交抛物线于，且；点是直线上一个动点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
【分析】（1）根据直线，求出点，，由是线段的垂直平分线，可求出对称轴为直线，运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据点是直线上一动点，、是定点，求周长的最小值，即求的最小值，连接，则，当点、、在同一直线上时，最短，由此即可求得答案；
（3）设，且，则，，进行分类讨论即可：①为菱形的边且点在点左侧，②为菱形的边且点在点右侧，③为菱形的对角线．
【解答】解：（1）由直线，可得与轴交点为，与轴交点为，
是线段的垂直平分线，
轴，
、关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线解析式为，将代入，
得：，
解得：，
，
故该抛物线解析式为．
（2）如图1，连接，
是线段的垂直平分线，
，
当点、、在同一直线上时，最短，
当时，解得：，
，
，
，
周长最小值．
（3）设，且，
则，，
，
，
解得：，（舍去），
，，
，
①为菱形的边且点在点左侧，如图2，
延长交轴于点，
，，，
，，
，
，
点在第三象限，
，，
②为菱形的边且点在点右侧，如图3，
设交轴于点，
，，，
，，
，
，
，，
③为菱形的对角线，如图4，连接交于点，
是菱形，
，，
轴，
轴，
、、的纵坐标都等于，
，
解得：，
，，
，，
，，
④为菱形的对角线，如图5，
点与点重合时，四边形是正方形（特殊的菱形），
此时点；
综上所述，点的坐标为：，，，，，，．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，将军饮马的最值问题，解一元二次方程，菱形的性质，等腰直角三角形判定和性质等，熟练掌握二次函数图象和性质及菱形性质等相关知识，灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
30．（2022•西山区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，抛物线的最低点的坐标为．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段绕点逆时针旋转得到线段，与抛物线相交于点，求点的坐标．
（3）如图2，点，是线段上的动点，且，求周长的最小值．
【分析】（1）设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；
（2）过点作直线轴，过点作于点，则，所以，过点作于，则，先求出点、的坐标，得到，，再证，得到，，即可求出点的坐标，即可用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求得点的坐标；
（3）先求得直线的解析式，然后设点的坐标为，进而得到点的坐标为，再由两点间的距离公式求得的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得的最小值，最后得到的周长最小值．
【解答】解：（1）抛物线的最低点的坐标为，即顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得，
，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，
解得：或，
，
如图1，过点作直线轴，过点作于点，则，
，
过点作于，则，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
由，解得：或，
点的坐标为，．
（3）设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
表示点到点和点的距离之和，点在直线上，
如图2，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点，
此时，取得最小值即为的值，
直线是第二、四象限的角平分线，
，
由对称得，，
，
和△都是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征与交点坐标，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟知轴对称的性质和两点之间线段最短得到周长的最小值．
31．（2022•长安区模拟）如图，是半圆形量角器的直径，点为半圆的圆心，与半圆相切于点，点在半圆上，且点对应的示数为，点是上一点（不与点重合）．连接交半圆于点，点对应的示数为．
（1）连接，，求的度数；
（2）连接，，求证：；
（3）若直径上存在一点，使得的值最小，已知半圆的半径是2，直接写出的最小值．
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理解答即可；
（2）连接，，由题意和同圆的半径相等可得和为等边三角形，则得，；利用切线的性质定理和直径所对的圆周角为直角得到，利用即可得出结论；
（3）利用将军饮马模型，作点关于的对称点，连接，通过说明，，三点在一条直线上，得到当点与点重合时，直径上存在一点，使得的值最小，则的最小值．
【解答】解：（1）连接，，如图，
由题意得：．
，
；
（2）连接，，如图，
由题意得：，，．
，
和为等边三角形．
，．
，．
为圆的直径，
．
与半圆相切于点，
．
．
．
在和中，
，
．
（3）的最小值为4．
作点关于的对称点，连接，如图，
则垂直平分线段，
．
．
．
，
．
，，三点在一条直线上．
当点与点重合时，使得的值最小．
的最小值．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，切线的性质定理，全等三角形的判定，线段的最小值的应用，利用将军饮马模型构造辅助线是解题的关键．
32．（2021秋•海陵区校级期末）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处，展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则 2 ；
②若，则 ；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、，求的最小值．
【分析】（1）①由折叠知，则；
②由角平分线的性质知，点到的距离等于点到的距离，则，从而解决问题；
（2）由，得，而，从而证明结论；
（3）由对称性知，则的最小值为，证明是等边三角形，利用勾股定理可求出的长．
【解答】解：（1）①将沿折叠，使点刚好落在边上的点处，
，
，
，
故答案为：2；
②将沿折叠，使点刚好落在边上的点处，
平分，
点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高，
由三角形面积公式可知，
又，
，
故答案为：12；
（2）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处，
，
，，，
又，，
，
，
又，
；
（3）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处，
，
，
当点运动到连线时，有最小值为，
的最小值为，
，，
是等边三角形，
为的中点，
，
，即，
的最小值为75．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
33．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽
的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
【分析】【问题情境】证明，即可求解；
【变式探究】利用等量代换即可求解；
【拓展应用】①用等量代换即可求解；
②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，先证明，得到，在求出，即可确定点在射线上运动，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可．
【解答】解：【问题情境】，理由如下：
，
，
，
，
，
，
；
【变式探究】，；
，
，
，；
【拓展应用】①，
，
，
，
；
②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
34．（2021秋•硚口区期末）在等腰中，，点和点分别为和边上的点，，与相交于点．
（1）当时，
①如图1，求证：；
②如图1，求的度数；
③如图2，若，作，垂足为点，连接，求证：．
（2）当时，如图3，若取得最小值，直接写出的值．
【分析】（1）①当时，是等边三角形，得到，，然后结合得证，进而得到；
②由得到，由外角的性质可求；
③先由、得到，进而得到，再结合得到，即可得到，再结合得到，进而得到，最后结合得证，从而得到，进而得证．
（2）过点作于点，过点作于点，然后通过勾股定理求得、的长，再设，用含有的式子表示的长，然后利用两点间的距离公式和轴对称的性质求得的最小值，最后求得的值．
【解答】（1）证明：①当时，，
是等边三角形，
，
，，
，
；
②解：，
，
，
，
；
③证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图3，过点作于点，过点作于点，则，，
，
，
令，，则，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
解得：，
，，
，，
，，
点始终在线段上，
设，则，，
，，
，
的长为点到点，和点，的距离之和，
如图4，建立平面直角坐标系，作点关于轴对称的点，，连接，此时，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，即，
，
．
解法二：如图，作，使得．设，连接．则，
，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形三边关系、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是熟练应用两点之间的距离公式建立平面直角坐标系结合轴对称的性质求得的最小值．
35．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于和，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使得的周长最小，请求出点的坐标和点的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点的坐标；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；
（2）设，将的面积用的式子表示出来，根据二次函数的性质解出点的坐标，再根据“将军饮马”模型确定点的坐标即可；
（3）分为①为底边；②为腰：（Ⅰ）：当时，（Ⅱ）：当时，两种情况讨论，利用参数构建方程即可得解．
【解答】解：（1）将、代入抛物线的解析式，得
，解得：，
．
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设，
如图1，作垂直于轴交于，则，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，
当时，取得最大值8，取得最大值32，
，
作关于对称轴对称的点，
，
当、、共线时，有最小值，此时有最小值，
设，则
，解得：，
，
又，
，
综上所述，，
（3）存在，理由如下，
①如图2，以为底边时，点在的中垂线上，
的中垂线与轴交点即为所求，
连接，，作垂直于轴，
，
设，则，
，，，
，
解得：，
；
②以为腰时，，
当时，
设，则，
，
解得：，
当时，，
当时，；
当时：
，，，
在线段的中垂线上，
，
；
由关于点对称得，
轴，
，
但此时、、三点共线，不合题意；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，线段和最值问题，等腰三角形的判定与性质；熟练地掌握二次函数的性质，会构建二次函数模型求最值，用参数构建方程，不重不漏的进行分类讨论是解决本题的关键；本题是常见中考压轴题，思维跨度较长，难度较大．
36．（2020秋•仁寿县期末）已知：，，，，，如图1，点是线段上的一个动点，连接、．
（1）当时，求的长；
（2）线段上是否存在点，使的值最小，若存在，在线段上标出点，并求的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在线段上以2个单位每秒的速度从点向点运动，同时点在线段上从点以个单位每秒的速度向点运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点、运动的时间为秒，是否存在实数，使与全等？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理分别表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案；
（2）延长至，是，连接，过点作交的延长线于，根据勾股定理计算距离；
（3）分、两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：（1），
，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
当时，；
（2）如图3，延长至，是，连接，交于点，此时的值最小，
过点作交的延长线于，
则，，
，
，
的最小值为；
（3）当时，，，
，
，
当时，，，
，
，
，
综上所述：与全等时，，或，．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称—最短路径问题，灵活运用分情况讨论思想、正确作出点是解题的关键．
37．（2021春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，，则①两点的距离；②线段的中点坐标为，．
解决问题：
如图，平行四边形中，点在轴负半轴上，点在第一象限，，两点的坐标分别为，，边的长为6．
（1）若点是直线上一动点，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值；
（2）已知直线过点，且将平行四边分成面积相等的两部分，求直线的解析式；
（3）若点在平面直角坐标系内，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）“将军饮马”模型：设点关于直线的对称点为，连接交于，连接，求出直线的解析式为，即得，，的最小值；
（2）设与交于点，则直线经过点，由，，，得点的坐标为，用待定系数法即可求得直线的解析式为；
（3）分类画出图象：①以为边时，可得，即得，，当与重合时，四边形为菱形，可得；
②以为对角线时，设此时，由可得：，即可求出，．
【解答】解：（1）设点关于直线的对称点为，连接交于，连接，如图：
，
，，
，
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
，，
的最小值；
（2）设与交于点，由平行四边形的中心对称性可知，直线将平行四边分成面积相等的两部分，则直线经过点，
如图：
在平行四边形中，，
，，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
（3）存在，理由如下：
①，，
，
以为边时，如图：
此时，
，，
当与重合时，如图：
此时，过作平行线，过作的平行线，两平行线交于，此时四边形为菱形，
，
②以为对角线时，如图：
设此时，由可得：，
解得，
，，
综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或，．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及待定系数法，一次函数图象、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是分类画出图形，数形结合解决问题．
38．（2021春•丰泽区校级期中）已知一次函数．
（1）无论为何值，函数图象必过定点，求该点的坐标；
（2）如图1，当时，该直线交轴，轴于，两点，直线交于点，点是上一点，若，求点的坐标；
（3）如图2，在第2问的条件下，已知点在该直线上，横坐标为1，点在轴负半轴，，动点的坐标为，求的最小值．
【分析】将一次函数变形，根据图象过定点，得到与值无关，求出，进而求出定点坐标；
（2）求出直线解析式，设点坐标为；分点在两侧分类讨论即可；
（3）先根据题意，求出点坐标，点坐标，在根据坐标特点，得到点所在直线解析式，求出点对称点，连接，求出长即可．
【解答】解：（1）一次函数．
，
不论为何值，上式都成立，
，
，．
无论为何值，函数图象必过定点，；
（2）当时，一次函数为，
当时，；当时，，；
点坐标为；点坐标为；
点在直线上，
设点坐标为；
①如图，当点位于右侧时，根据题意得．
．
解得．
点坐标为；
②如图，当点位于左侧时，恰好位于轴上，此时，
此时坐标为；
综上所述：若，点的坐标为或；
（3）如图，将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，延长、交于点，则四边形为正方形，且，，，
设，则，
在中，，解得．
所以点坐标为．
如图： 点在直线上，横坐标为 1．
．
所以点坐标为1，；
动点 的坐标为，．
点在直线上．
点关于直线对称的点的坐标为，
连接，则为的最小值；
作点轴，垂直为，
在中，；
的最小值为．
【点评】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大．解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确定相应的解题模型．
39．（2021春•赣榆区期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，其中中点与坐标原点重合，点在轴上；在轴上有一点，其横坐标是4；点是线段上的一个动点，它从点向点运动；点是平面内的一点．
（1）若四边形是菱形，则点的坐标是 ；
（2）若四边形是矩形，请求出点的坐标；
（3）在点运动的过程中，若四边形是平行四边形，试探索点的位置，若个数有限，请直接写出点的坐标；若个数无限，请直接写出点运动路径的长度；
（4）在第（3）问的条件下，在点运动的过程中，试求出当最小时点的坐标．
【分析】（1）根据菱形的性质可得点与点重合，再含直角三角形可得出结论；
（2）根据题意可画出图形，借助特殊直角三角形可求出点的坐标；
（3）根据点的运动可知，若四边形是平行四边形，则点的轨迹是一条线段，有无数多个点，再找到点的运动轨迹可直接得出结论；
（4）根据平行四边形的性质可知，，则的最小值可转化为的最小值，根据轴对称最值问题可得出结论．
【解答】解：（1）如图，若四边形是菱形，则，
，
点与点重合，
点和点关于对称，
是等边三角形，且，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
（2）如图，若四边形为矩形，则，
，，
过点作轴于点，
，，
，
，
．
（3）如图，点在线段上运动，有无数个点，
且．
点有无数个，且运动轨迹长5．
（4）四边形是平行四边形，
，
，
作点关于的对称点，连接，与的交点即为使最小的点，
，点的纵坐标为，
，
直线，
当时，，
，．此时的值最小，即的值最小．
【点评】本题属于一次函数最值问题，涉及菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，含的直角三角形的性质，轴对称最值问题等知识，熟知相关性质定理及轴对称最值模型是解题关键．
40．（2020秋•市南区期末）如图1，图2，图3是每个小正方形的边长为1正方形网格，借用网格就能计算出一些三角形的面积的面积．
（1）请你利用正方形网格，计算出如图1所示的的面积为 ．
（2）请你利用正方形网格，在图2中比较与的大小．
（3）已知是正数，请利用正方形网格，在图3中求出的最小值．
（4）若三边的长分别为，，（其中，且，请运用构图法，求出这个三角形的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理求出、，根据三角形的三边关系解答即可；
（3）根据勾股定理、轴对称—最短路径解答；
（4）根据三角形的面积公式、勾股定理解答即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）如图2，由勾股定理得：，，
在中，，
；
（3）如图3，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
则，，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于，
此时的值最小，最小值，
的最小值为；
（4）如图4，设小长方形的长为，宽为，
则，，，
则．
【点评】本题考查的是三角形的面积、勾股定理等，解题的关键是灵活运用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．